2019年高中三年级数学下期末试卷(附答案)(2)

2019年高中三年级数学下期末试卷(附答案)(2)
一、选择题
1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
2．若43i z =+，则z
z
=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．
4355
i + D ．
4355
i - 3．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图象向右平移43
π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．
2
3
B ．
43
C ．
32
D ．3
4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）
A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈
B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈
C ．[]6,63k k +，k Z ∈
D ．[]63,6k k -，k Z ∈
5．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =
c =( )
A ．
B ．2
C
D ．1
7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．(22)-，
B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，
， C ．(22]-，
D ．(2]-∞，
8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）
x
3 4 5 6 y 2.5
t
4
4.5
A ．产品的生产能耗与产量呈正相关
B ．回归直线一定过
4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D ．t 的值是3.15
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
5
4钱 B ．
43
钱 C ．
32
钱 D ．
53
钱 11．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =AC =（ ） A 3B 3
C ．23
D ．4312．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
二、填空题
13．设正数,a b 满足21a b +=，则
11
a b
+的最小值为__________． 14．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．
15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．
16．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则
b
a
的取值范围是__________． 17．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r 0OA OB •=u u u r u u u r
，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设
OC mOA nOB
=+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则m
n
=__________． 18．若函数2
()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是
__________．
19．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．
三、解答题
21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r
，()1,d k =u r
(),x R k R ∈∈
（1）若,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，且()
//a b c +r r r ，求x 的值.
（2）若函数()f x a b =⋅r r
，求()f x 的最小值.
（3）是否存在实数k ，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
23．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.
（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;
（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积. 24．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α=+⎧⎨=-⎩
（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1
sin 2cos θθρ
-=
，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.
25．已知函数()()2
f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．
()1求()f x 的单调区间；
()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．
26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为6
，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点
为顶点的三角形的面积为22． （1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
求得基本事件的总数为222
422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为2224222
2
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n ==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2．D
解析：D 【解析】 【详解】
由题意可得 ：5z =
=，且：43z i =-，
据此有：4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
3．C
解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移43
π
个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π
πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=-
++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以有
4333
2013222
w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C
4．D
解析：D 【解析】 【详解】
由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是
2448
[
6,6]()22
k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．
点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+
(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是
2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
5．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4
y x =-=，故所给的复数的模该为5，故
选D.
考点：复数相等，复数的模.
6．B
解析：B 【解析】
1sin A ===cos A =
,
所以2
22122
c c =
+-，整理得2
320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0
30,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出cos A =
00
30,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
7．C
解析：C 【解析】
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；
当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2
20
4(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩
n ， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 8．D
解析：D 【解析】 【分析】
设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】
设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
9．D
解析：D 【解析】 由题意，x =
3456
4
+++=4.5， ∵ˆy
=0.7x+0.35， ∴y =0.7×
4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．
10．B
解析：B 【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则
22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又
225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4
42263
3a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故
选B.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果.
【详解】 解：在ABC ∆中， 可得
sin sin BC AC
A B
=
,
即sin 60sin 45
AC 鞍
=
2
=
解得AC = 故选C. 【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
12．B
解析：B 【解析】
等比数列的性质可知2
26416a a a ⋅==,故选B .
二、填空题
13．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个
解析：3+【解析】
21a b Q +=
，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11
a b
+的最小值
为3+
点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有
1111
2a b a b a b
+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
14．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的
解析：
4
【解析】 【分析】
将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】
过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，
1122,23BC C D BD ===，故16
cos 422223
C B
D ∠=
=⨯⨯.
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
15．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-
【解析】 【分析】
首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到
12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得
11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.
【详解】
根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以66(12)
6312
S --==--，故答案是63-.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明
确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
16．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以
解析：
【解析】 【分析】 【详解】
因为ABC ∆为锐角三角形，所以022
02B A A B πππ⎧
<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以046
3A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<
⎪⎩，
所以(
,)64A ππ
∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==
，所以b
a ∈. 17．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则
解析：3 【解析】
因为30AOC ∠=o
，所以cos cos302OC OA AOC OC OA
⋅∠===⋅o
u u u r u u u r
u u u r u u u r
，从而有
2=u u u r u u u r u u u r
．因为1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则
3m
n
= 18．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的
解析：1
8
【解析】 【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到
22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结
果. 【详解】
Q 函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增
()210a
f x x x
'∴
=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()2
2g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14
x =
时， ()max 18g x =
1
8a ∴≥
，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：1
8
【点睛】
本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
19．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单
解析：1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】 作出可行域，y
x
表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】
如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩
„„…表示的平面区域ABC V （包括边界），所以y
x 表示()
,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以1
22
OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得121
11222222212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L
所以其前n 项和()1
122n n S n +=-+； （3）()
()
()()
()()()()()()2
2
2
11
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n
n n
n n
n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=+++
()()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n
n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231212231
111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()11
12113621?2n n
n n ++-⎛⎫
=-
+--
⎪+⎝⎭
或写成()()()1
1412331?2n n n n +++---+.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负
数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（1）6
x π
=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--
【解析】 【分析】
（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；
（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．
【详解】
（1）()sin 1,1b c x +=--r r
Q ，()
//a b c +r r r ，
()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，6x π∴=-.
（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r
.
x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟
，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r
， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，
()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，
∴存在[]5,1k ∈--，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．
23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111
132
C A DE V -=⨯= 【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为
1
3
•S △A1DE •CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点， 连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分
所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分
（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩AB=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分 由AA 1=AC=CB=2，
得∠ACB=90°，
，
，
，A 1E=3，故
A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分 所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：
=
=1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 24．（1）2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（26
525
【解析】 【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
，整理
即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】
（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin α
α-=⎧⎨-=-⎩
，
两式两边平方并相加，得()()2
2
314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.
将y sin x cos ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入得()()22
cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=
所以曲线C 的极坐标方程为2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1
sin 2cos θθρ
-=
，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=
所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离()23111
65
5
d ⨯+-⨯+=
=
，
所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为65
25
d r +=+. 【点睛】
本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
25．（1）见解析； （2）2e 2e
a 2e 2
-≥-.
【解析】 【分析】
()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范
围． 【详解】
()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>Q ．
()()()()
22x 2a 1x 2a
2x 1x a f'x (x 0)x
x
-++--∴=
=
>，
由
得1x a =，2x 1=，
当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，
在()x a,1∈时
，
()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；
当a 1=时，在()x 0,∞∈+时
，
()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；
当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，
在()x 1,a ∈时
．
()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．
()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，
即有()()f 112a 10=-+≤且()()2
f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，
解得2e 2e
a 2e 2
-≥-．
即实数a 的取值范围是2e 2e
a 2e 2
-≥-．
【点睛】
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．
26．（1）22
162
x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+.
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；
（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ⋅，结合
弦的长度为
即可求斜率k 的值，从而求得直线方程．
【详解】
解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>
得c =
，b =.
由2
1223
S c b a =⋅⋅==
a =
b =22162x y +
=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．
联立方程()22
2360
y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()2222
13121260k x k x k +-+-=， 2212122212126
,1313k k x x x x k k -+==++
.()
2
122113k AB x x k
+=-=+． 所以2
02
613k x k
=+， 点M 到直线1x =的距离为22
022
316111313k k d x k k
-=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =
2
22
22AB d ⎛⎛⎫-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，所以(
)
2
2
22
22213113132k k k k ⎤+⎛⎫⎛⎫-⎥-= ⎪ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ⋅，代入弦长公式
AB =
，考查学生的计算能力，属于中档题．。