济南市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)(有答案)Awwqqw

2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）
A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i
2．一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）
A．20米/秒B．28米/秒C．14米/秒D．16米/秒
3．下面是一个2×2列联表
y1y2总计
x1 a 22 71
x2 4 25 29
总计 b 47 100
则a﹣b的值为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
4．若（3x2﹣2mx）dx=34，则m等于（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
5．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）
A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（﹣1＜X≤2）=0.35，则P（X≥5）等于（）A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.1
7．已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）
X ﹣1 0 1 2
P a b c
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）
9．在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为（）
A．B．C．D．
10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．[，1] B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]
二、填空题
11．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为．
12．（1+x）8的展开式中x6的系数是．
13．观察下面一组等式：
S1=1，
S2=2+3=5，
S3=4+5+6=15，
S4=7+8+9+10=34，
S 5=11+12+13+14+15=65，
…
根据上面等式猜测S 2n ﹣1=（2n ﹣1）（an 2+bn +c ），则a •b •c= ． 14．将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ．
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=7且4S n =n （a n +a n+1），则S n ﹣8a n 的最小值为 ．
三、解答题
16．（1）用分析法证明： +；
（2）用反证法证明：，，不可能成等差数列．
17．设函数f （x ）=x 2﹣8lnx +3．
（1）求曲线y=f （x ）在点（1，4）处的切线方程；
（2）求f （x ）的单调区间．
18．5位大学生站在一排照相．
（1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？
（2）若上述5位大学生中有3位女大学生和2位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？ 19．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
年份
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t
1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．
20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：
年龄 [5，15） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65）
频数
5 10 15 10 5 5 支持“生育二胎” 4
5 12 8 2 1 （1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
支持
a= c= 不支持 b=
d= 合计
参考数据：
P （K 2≥k ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
K 2=．
21．已知f （x ）=e x lnx ．
（1）求y=f （x ）﹣f ′（x ）的单调区间与极值；
（2）证明：f ′（x ）＞1．
2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）
A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵（3+i）z=4﹣2i，∴z====1﹣i，
故选：A．
2．一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）
A．20米/秒B．28米/秒C．14米/秒D．16米/秒
【考点】导数的几何意义．
【分析】求函数的导数，利用导数的物理意义即可得到结论．
【解答】解：∵s=s（t）=（2t+3）2，
∴s′（t）=4（2t+3），
则物体在2秒末的瞬时速度s′（2）=28米/秒，
故选：B．
3．下面是一个2×2列联表
y1y2总计
x1 a 22 71
x2 4 25 29
总计 b 47 100
则a﹣b的值为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3
【考点】独立性检验的应用．
【分析】由列联表中数据的关系，直接求得答案．
【解答】解：由列联表中数据的关系，可知：a+22=71，a+4=b
解得：a=49，b=53，
∴a﹣b=﹣4．
故选：A．
4．若（3x2﹣2mx）dx=34，则m等于（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的计算法则计算即可．
【解答】解：（3x2﹣2mx）dx=（x3﹣mx2）|=19﹣5m=34，
∴m=﹣3，
故选：D．
5．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）
A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
【考点】数学归纳法．
【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．
【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，
当n=1左边所得的项是1+2；
假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，
则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），
∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），
∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．
故选：D．
6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（﹣1＜X≤2）=0.35，则P（X≥5）等于（）A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.1
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】随机变量X服从正态分布N（2，σ2），得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到结论．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
∴曲线关于x=2对称，
∵P（﹣1＜X≤2）=0.35，
∴P（2＜X≤5）=0.35，
∴P（X≥5）=0.5﹣0.35=0.15．
故选：C．
7．已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）
X ﹣1 0 1 2
P a b c
A．B．C．D．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】由E（X）=0，D（X）=1，结合离散型随机变量X的分布列性质列出方程组，求出a，b，c，由此能求出P（X＜1）的值．
【解答】解：∵E（X）=0，D（X）=1，
∴由离散型随机变量X的分布列，得：，且a≥0，b≥0，c≥
0，
解得a=，b=，c=，
∴P（X＜1）=P（X=﹣1）+P（X=0）=+=．
故选：D．
8．已知函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可．
【解答】解：由f（x）=x3lnx+m=0得x3lnx=﹣m，
设g（x）=x3lnx，函数的定义域为（0，+∞），
则g′（x）=x2（3lnx+1），
由g′（x）＞0得x＞，
由g′（x）＜0得0＜x＜，
即当x=时，函数g（x）取得极小值同时也是最小值g（）=﹣，
要使函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，等价为方程x3lnx=﹣m有两个根，
则﹣m＞﹣，即m＜，
故实数m的取值范围是（﹣∞，），
故选：C
9．在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】设抽到红球的个数为X，则X服从超几何分布，中奖的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3），由此能求出结果．
【解答】解：设抽到红球的个数为X，则X服从超几何分布，
∴中奖的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=+=．
故选：B．
10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．[，1] B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]
【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，
∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）
即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，
即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，
即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，
设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），
则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，
∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，
∴g（x）∈[﹣，0]，
即即，得﹣≤a≤1，
故选：B．
二、填空题
11．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数a+，又已知复数a+（a∈R）是纯虚数，得实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案．
【解答】解：复数a+=，
由复数a+（a∈R）是纯虚数，
得，即a=．
故答案为：．
12．（1+x）8的展开式中x6的系数是28．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为6，求出对应的系数即可．
【解答】解：（1+x）8的展开式的通项公式为
T r+1=•x r，
令r=6，得展开式中x6的系数是==28．
故答案为：28．
13．观察下面一组等式：
S1=1，
S2=2+3=5，
S3=4+5+6=15，
S4=7+8+9+10=34，
S5=11+12+13+14+15=65，
…
=（2n﹣1）（an2+bn+c），则a•b•c=﹣160．
根据上面等式猜测S2n
﹣1
【考点】归纳推理．
=（2n﹣1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论．
【分析】利用所给等式，对猜测S2n
﹣1
【解答】解：由题意，，
∴a=4，b=﹣8，c=5，
∴abc=﹣160
故答案为：﹣160．
14．将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意可以分两类，两名男生一组，两名女生各一组，或1名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，根据分类计数原理可得．
【解答】解：由题意可知，4人只能分为；两名男生一组，两名女生各一组，
或1名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，
故有A33（1+C21C21）=30种，
故答案为：30
15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S n﹣8a n的最小值为﹣56．
【考点】数列的求和．
【分析】4S3=3（a3+a4）=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，解得：a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，…，可得a n=2n﹣1，S n．代入4S n=n（a n+a n+1）验证成立，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵4S3=3（a3+a4）=3（a3+7），
4S2=2（a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，
解得：a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，…，∴a n=2n﹣1．
可得S n==n2．代入4S n=n（a n+a n+1）验证成立，
∴S n﹣8a n=n2﹣8（2n﹣1）=（n﹣8）2﹣56，∴当n=8时，S n﹣8a n取得最小值﹣56．
故答案为：﹣56．
三、解答题
16．（1）用分析法证明： +；
（2）用反证法证明：，，不可能成等差数列．
【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）．
【分析】（1）寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要11+2•＞11+2，只要证＞，即证30＞24；
（2）假设，，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2=+，能推出6=12（矛盾）．
【解答】证明：（1）要证+，只要证11+2•＞11+2，
只要证＞，即证30＞24．
而30＞24显然成立，故原不等式成立．
（2）假设：，，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2=+，
∴20=2+6+2，∴12=2，∴6=12（矛盾），故假设不成立，
∴，，这三个数不可能成等差数列．
17．设函数f（x）=x2﹣8lnx+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）依题意，可求得f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，4）处的切线方程；（2）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣8lnx+3，
∴f′（x）=（x＞0），
∴f′（1）=﹣6，
∴曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程为y﹣4=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣10=0；
（2）令f′（x）＞0，可得x＞2，f′（x）＜0，可得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
18．5位大学生站在一排照相．
（1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？
（2）若上述5位大学生中有3位女大学生和2位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．
（2）先排3位女大学生，然后把2位男大学生插空，由分步计数原理可得．
【解答】解：（1）∵5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，
∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，
再者甲和乙之间还有一个排列，
共有A44A22=48；
（2）先排3位女大学生的排法有A33=6种，然后把2位男大学生插空，有A42=12种，由分步计数原理可得，共有6×12=72种方法．
19．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求y关于t的线性回归方程；
（2）根据条件进行估计预测即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得=4，==4.3，
b==0.5．
a=4.3﹣0.5×4=2.3
即y关于t的线性回归方程为y=0.5t+2.3；
（2）∵线性回归方程为y=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，
可知2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，
当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3；
预测该地区2016年农村家庭人均纯收入为6.3千元．
20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：
年龄[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）
频数 5 10 15 10 5 5
支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1
（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；
年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计
支持a= c=
不支持b= d=
合计
参考数据：
P（K2≥k）0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
K2=．
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表
年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计
支持a=3 c=29 32
不支持b=7 d=11 18
合计10 40 50
…
＜6.635…
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…
（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…
，
，
，
，…
所以ξ的分布列是
ξ0 1 2 3
P
所以ξ的期望值是．…
21．已知f（x）=e x lnx．
（1）求y=f（x）﹣f′（x）的单调区间与极值；
（2）证明：f′（x）＞1．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）先求出f（x）的导数，代入y=f（x）﹣f′（x）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，构造函数，求最值，即可证明结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（lnx+1）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=e x lnx+，则y=f（x）﹣f′（x）=﹣，
∴y′=，由y′=0可得x=1．
当x＞1时，y′＜0；当x＜1时，y′＞0；
∴y=f（x）﹣f′（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
∴当x=1时，y取极大值﹣e，函数无极小值；
（2）证明：f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，
设h（x）=xlnx+1，则h′（x）=1+lnx，
∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（）=﹣+1．
设F（x）=，则F′（x）=
x∈（0，1），F′（x）＞0，x∈（1，+∞），F′（x）＜0
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数F（x）的最大值为F（1）=，
∴F（x）≤，
∵﹣+1﹣=1﹣＞0，
∴h（x）＞F（x），
∴f′（x）＞1．
2016年8月21日。