2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的包含关系课件 新人教A版必修1

方法二：(特征性质法) 集合 A：x＝2k＋2 1(k∈Z)，分子为奇数. 集合 B：x＝k2(k∈Z)，分子为整数， ∴A B.
【答案】 A B
探究 3 几种等价表示方法(n∈Z). ①“2n－1”等价于“2n＋1”. ②“2n－1”等价于“4n±1”. ③“4n＋3”等价于“4n－1”等.
思考题3 设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，N＝{x|x＝
2k－1，k∈N*}，则M，N之间的关系为( )
A.M N
B.M N
C.M⊆N 【答案】 A
D.M＝N
题型二 集合相等 例4 已知A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3n－2，n∈ Z}，则A与B的关系为__________.
【解析】 (1)任取x1∈A，则x1＝3k1＋1＝3(k1＋1)－2，k1 ＋1∈Z.∴x1∈B，故A⊆B.
(2)将数集A表示在数轴上(如下图)，要满足A B，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集 合为{a|a≥4}.
探究5 (1)数形结合形象、直观、有利于呈现集合之间的关 系，使问题变得简洁而清晰，因此要善于运用它解决问题.
(2)用不等式表示的集合之间的关系往往用数轴(数形结合)的 方法解决.
其中表示不正确的序号是________. 答案 ①④⑤
6.已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数 x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说 明理由.
解析 ∵B⊆A，∴当x＋2＝3，即x＝1时， A＝{1，3，1}不满足互异性，∴x＝1(舍). 当x＋2＝x2，即x＝2或x＝－1. 若x＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，满足B⊆A. 若x＝－1时，A＝{1，3，1}不满足互异性. 综上，存在x＝2使得B⊆A. 此时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}.
1.1.2 集合间的包含关系
要点1 子集 (1)理解子集的三种语言. ①文字语言：对于两个集合A与B，若集合A的任何一个元 素都是集合B的元素，则称A是B的子集. ②符号语言：若x∈A⇒x∈B，则A⊆B(或B⊇A). ③图形语言(Venn图).
(2)子集的性质. ①A⊆A. ②若 A⊆B，B⊆C，则 A⊆C.即子集具有传递性.
【解析】 (1)集合{1，2}中的元素1，2都是集合{1，2，3} 的元素，而集合{1，2，3}中的元素3不是集合{1，2}的元素， 故{1，2} {1，2，3}正确；
(2)∵3∉{1，2，4}，∴{1，2，3}⊆{1，2，4}错误； (3)任何一个集合是它本身的子集，因此{a}⊆{a}正确；
(4)∅中没有任何元素，而{0}中有一个元素，两者不相等， 故∅＝{0}错误；
要点 4 空集
不含任何元素的集合；{x|x2－x＋1＝0}＝∅；{x∈N|x＋2＝ 0}＝∅.
1.集合 A＝{x|x≤1}与集合 B＝{1，0}之间有包含关系吗？ 答：因为 B 中的元素 1，0 都满足小于等于 1，故满足包含关系， 即 B⊆A.
2.若 A⊆B，则 A 的元素一定是 B 的元素的一部分，对吗？ 答：不对.A 的元素是 B 的一部分或是 B 的全部.
【解析】 A＝{－3，2}，
当m＝0时，B＝∅，有B⊆A.
当m≠0时，方程mx＋1＝0解为x＝－m1 ，又∵B⊆A， ∴－m1 ＝－3或－m1 ＝2，即m＝13或m＝－12. 故所求集合为{0，13，－12}. 【误区警示】 本题易漏掉m＝0这种情况，原因是忽略对 空集的讨论.
探究6 (1)解决集合问题时，若遇到“B⊆A，B A(A为非
空集合)”这些条件时，要首先考虑B＝∅这种情况.
(2)在解决有关分类讨论的问题时，根据实际问题分类要恰 当、合理，做到不重复、不遗漏，克服分类讨论问题中的主观 性和盲目性.
思考题6 在例6中，若B A，其它条件不变，求m的可 取值组成的集合.
【解析】 ∵A＝{－3，2}，而B中至多有一个元素，若B⊆ A，则必有B A.故求解过程与例6相同.
5}，写出集合M. 【答案】 M＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，
5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3， 4，5}.
例2 判断下列关系是否正确. (1){1，2} {1，2，3}； (2){1，2，3}⊆{1，2，4}；
(3){a}⊆{a}; (4)∅＝{0}； (5)∅ {0}; (6)∅⊆∅.
③∅⊆A.即空集是任何集合的子集.
要点2 集合相等 (1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)证明A＝B，只要证A⊆B，且B⊆A.
要点 3 真子集 (1)若集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，则 A B.
(2)空集是任何非空集合的真子集，即∅ A(A 非空).
(3)性质：若 A B，B C，则 A C.
{a}
∅，{a}
2
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，b，c}
8
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1
个，非空真子集有2n－2个.
探究1 熟练写出给定集合的子集是学生必须掌握的基本功.
思考题1 已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，
(5)空集是任何非空集合的真子集，因此∅ {0}正确； (6)空集是任何集合的子集，因此∅⊆∅正确.
探究2 要注意区分“∈与⊆”，“⊆与 ”.“∈”表示 元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关 系，“⊆”与“ ”均表示集合间的包含关系，但后者是前者 “≠”情形时的包含情况.
思考题2 设a＝ 2 ＋ 3 ，M＝{x|x≤ 10 }，给出下列关
【答案】 {13，－12}
课后巩固
1.下列命题中正确的是( ) A.空集没有子集 B.空集是任何一个集合的真子集 C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D.设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B 答案 D
2.下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关 系的Venn图是( )
(2)任取x2∈B，则x2＝3n2－2，n2∈Z. ∵3n2－2＝3(n2－1)＋1，n2－1∈Z， ∴x2∈A，∴B⊆A.由(1)(2)可知A＝B. 【答案】 A＝B
探究4 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
思考题4 集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝ 4k±1，k∈Z}，则X与Y的关系是________.
确；再由{a}是以a为元素的集合，{∅}表示的是以∅为元素的集
合，且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从 而可以断定③④错误，②正确.
【答案】 ②⑤
例 3 已知集合 A＝{x|x＝k＋12，k∈Z}，B＝{x|x＝12k，k∈ Z}，则 A 与 B 的关系为________.
【解析】 方法一：(列举法) 对于集合 A，取 k＝…，0，1，2，3，…，得 A＝{…，12，32，52，72，…}. 对于集合 B，取 k＝…，0，1，2，3，4，5，…，得 B＝{…，0，12，1，32，2，52，…}.故 A B.
系：①a⊆M；②M⊇{a}；③{a}∈M；④{∅}∈{a}；⑤2a∉M.
其中正确的关系式有________.
【解析】 a2＝5＋2 6＝5＋ 24<5＋5＝( 10)2， ∴a＝ 2＋ 3< 10.∴a是集合M中的一个元素. 又∵2a> 10 ，∴2a不是集合M中的元素.而元素与集合之间 的关系应由“属于或不属于”来描述，∴①是错误的，⑤是正
思考题 5 已知 A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜a}.
(1)若 B⊆A，求 a 的取值范围； (2)若 A⊆B，求 a 的取值范围. 【答案】 (1)a≤5，(2)a≥5
题型四 子集的应用 例6 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B ⊆A.求由m的可取值组成的集合.
【答案】 X＝Y
题型三 “直观化”判定集合间的关系 例5 (1)设集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是平行四边形}， C＝{x|x是正方形}，指出A，B，C之间的关系. (2)已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，且A B，求实数
a的取值集合.
【解析】 (1)用Venn图表示集合A，B，C，如下图， ∴C A B.
4.设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且A⊆B，则实数a的取值范
围为( )
A.a<1
B.a≤1
C.a>1 答案 B
D.a≥1
解析 如图，结合数轴可知a≤1时，有A⊆B.
5.给出下列五个关系： ①{1}∈{0，1，2}；②{1，－3}＝{－3，1}；③{0，1，2}
⊆{1，0，2}；④∅∈{0，1，2}；⑤∅∈{0}.
原集合
子集
∅
________
子集的个数 ________
{a}
________
________
{a，b}
________
________
{a，b，c}
________
________
由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真
子集的个数及非空真子集个数呢？
【答案】
原集合
子集
子集的个数
∅
∅
1
答案 B 解析 由N＝{－1，0}，知N M，故选B.
3.设2 017∈{x， x2 ，x2}，则满足条件的所有x组成的集合
的真子集的个数为( )
A.3
B.4
C.7
D.8
答案 A 解析 由题意得x＝－2 017或x＝－ 2 017 ，所以集合{－2 017，－ 2 017}的真子集有22－1＝3个.
3.“⊆”与“≤”一样吗？ 答：不一样.“⊆”专表示集合间的关系；“≤”表示代数式间 的关系.
4.(1)0＝∅吗？ (2)0∈∅吗？ (3)∅________{0}.
答：(1)0≠∅，0 是数，∅是集合； (2)0∉∅，∅不含任何元素；(3)∅ {0}.
课时学案
题型一 子集与真子集的概念
例1 填写下表，并回答问题