高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破理含解析

A．6 B．－6 C．2 3 D．－2 3 【解析】由O→D＋D→E＋D→F＝0得，D→O＝D→E＋D→F.
∈DO经过EF的中点，∈DO∈EF. 连接OF，∈|O→F|＝|O→D|＝|D→F|＝4，
∈∈DOF为等边三角形，∈∈ODF＝60°.∈∈DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4 3. ∈向量E→F在F→D方向上的投影为|E→F|·cos〈E→F，F→D〉＝4 3cos150°＝－6，故选B.
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn ＝( )
1
1
A.2 B．2 C．－2 D．－2
【解析】由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b 共线，得2m4－n＝3m－＋12n，所以mn ＝－12，故选C.
【答案】 B
4．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于( )
A. 7 B. 10 C. 13 D．4
1 【解析】依题意得a·b＝2，|a＋3b|＝
a2＋9b2＋6a·b＝
13，故选C.
【答案】 C
5．已知∈ABC是边长为1的等边三角形，则(A→B－2B→C)·(3B→C＋4C→A)＝( )
( ) 则a＝
1 2，
3 2
，b＝(1,0)．
设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－1，y－ 3)，c－b＝(x－1，y)．
又∈(c－2a)·(c－b)＝0，∈(x－1)2＋y(y－ 3)＝0.
4
( ) 即(x－1)2＋
y－
3 2
2＝34，
( )3
3
∈点C的轨迹是以点M 1， 2 为圆心， 2 为半径的圆．
3
3
又|c|＝ x2＋y2表示圆M上的点与原点O(0,0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋ 2 ，|c|min＝|OM|－ 2 ，
( )3
∈|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2× 12＋ 2
( ) ＝A→D－A→G＝A→D－12A→B，∈A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋23B→C＝A→B＋23 A→D－12A→B ＝23A→B＋23A→D，于是 B→F＝A→F－ ( ) A→B＝12A→E－A→B＝12 23A→B＋23A→D －A→B＝－23A→B＋13A→D，故选C.
解法二：B→F＝B→A＋A→F＝B→A＋12A→E
平面向量及其应用
1．在∈ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且B→D＝2D→C，C→E＝3E→A，若A→B＝a，A→C＝b，则D→E＝( )
A.13a＋152bB.13a－1132b C．－13a－152bD．－13a＋1132b 【解析】 D→E＝D→C＋C→E
＝13B→C＋34C→A ＝13(A→C－A→B)－34A→C ＝－13A→B－152A→C＝－13a－152b，故选C. 【答案】 C
cosθ＋12cosθ＋
3 2 sinθ
＝3－
3sin
( )π
θ＋3
，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－ 3，故选B.
【答案】 B
9．已知∈ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且B→N＝2N→C，O为∈ABC的外心，则A→N·A→O的值为(
3
) A．8 B．10 C．18 D．9 10．已知∈DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果O→D＋D→E＋D→F＝0，且|O→D|＝|D→F|，则向量E→F在F→D 方向上的投影为 ( )
【答案】 C
3．已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
1
C．充要条件
D．既不充分也不必要 条件
[ ) ( ) ( ) 【解析】由a·b>0，可得到θ∈ 0，π2 ，不能得到θ∈ 0，π2 ；而由θ∈ 0，π2 ，可以得到a·b>0.故选B.
【答案】 A
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，B→C＝3E→C，F为AE的中点，则B→F＝( )
2
A.23A→B－13A→DB.13A→B－23A→D C．－23A→B＋13A→DD．－13A→B＋23A→D 【解析】解法一：如图，取AB的中点G，连接DG、CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以B→C＝G→D
( ) ＝－A→B＋12 A→D＋12A→B＋C→E ( ) ＝－A→B＋12 A→D＋12A→B＋13C→B
＝－A→B＋12A→D＋14A→B＋16(C→D＋D→A＋A→B) ＝－23A→B＋13A→D.
【答案】 C
8．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝12，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( ) A．－2 B．3－ 3 C．－1 D．0
【解析】由|a|＝|b|＝1，a·b＝12，可得〈a，b〉＝π3，令O→A＝a，O→B＝b ，以O→A
( ) 的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝O→A＝(1,0)，b＝O→B＝
1 2，
3 2
，设c＝O→C
( ) ＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－
【答案】 B
11．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a∈(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的 2 D. 7 【解析】 ∈a∈(a－2b)，∈a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∈a·b＝12，a与b的夹角为60°. 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，以O为坐标原点，O→B的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
A．－123B．－121
3
3
C．－6－ 2 D．－6＋ 2
6．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若D→E＝λA→B＋μA→D
(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A.58 B.14 C．1 D.156 【解析】D→E＝12D→A＋12D→O＝12D→A＋14D→B＝12D→A＋14(D→A＋A→B)＝14A→B－34A→D，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝ 58，故选A.