高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第七节 抛物线教师用书 理-人教版高三全册数学试题

第七节抛物线
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做
抛物线的焦点，直线l
叫做抛物线的准线。

2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p 2，0
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，p 2 F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－p 2
离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p 2 x ＝p
2 y ＝－p 2 y ＝p 2 X 围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口
方向 向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF |＝x 0＋p
2
|PF |＝－x 0＋p
2
|PF |＝y 0＋p
2
|PF |＝－y 0＋p
2
注：抛物线上P 点坐标为(x 0，y 0)。

微点提醒
抛物线焦点弦的4个常用结论
设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
(1)x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2。

(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)。

(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切。

(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p 。

小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修2－1P 67练习T 3(1)改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________。

【解析】 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2，由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6。

【答案】 6
2．(选修2－1P 72练习T 1(1)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________________________________________________。

【解析】 很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上。

当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p >0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2
＝－2p ×(－2)，
解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2
＝－8x ； 当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，
把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝1
2，此时抛物线的标准方
程为x 2
＝－y 。

综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y 。

【答案】y 2
＝－8x 或x 2
＝－y 二、双基查验
1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1)
【解析】 因为抛物线的准线方程为x ＝－p
2＝－1，
∴p
2＝1，∴焦点坐标为(1,0)。

故选B 。

【答案】 B
2．抛物线y ＝1
4x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2
【解析】 抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2
＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1。

故选A 。

【答案】 A
3．设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.1
2B ．1 C.3
2D ．2
【解析】 易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛
物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝k
x (k >0)得k ＝2。

故选D 。

【答案】 D 4．若抛物线
y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是
___________________________________________________________。

【解析】 抛物线y ＝ax 2
可化为x 2
＝1
a y ，
∴－1
4a ＝2， ∴a ＝－1
8。

【答案】 －1
8
5．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________。

【解析】∵A (－2,3)在抛物线y 2
＝2px 的准线上，
∴－p
2＝－2，∴p ＝4，∴y 2
＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，①
将①与y
2
＝8x 联立，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝m y －3－2，
y 2＝8x ，
得y 2
－8my ＋24m ＋16＝0，②
则Δ＝(－8m )2
－4(24m ＋16)＝0，即2m 2
－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1
2(舍去)，
将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8，
y ＝8，
即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝4
3。

【答案】4
3
微考点 大课堂
考点一
抛物线的定义及应用……母题发散
【典例1】 已知抛物线y 2
＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标。

【解析】 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6。

∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图。

设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1
2的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为7
2，即|PA |＋|PF |的最小值为7
2，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)。

【答案】 最小值7
2，P (2,2)
【母题变式】 将本典例中点A 的坐标改为(3,4)，求|PA |＋|PF |的最小值。

【解析】 当P ，A ，F 共线时，|PA |＋|PF |最小，|PA |＋|PF |≥|AF |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－122＋42
＝254＋16＝892。

【答案】89
2
反思归纳 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关。

由于抛物线的定义在运用上
有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度。

“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径。

【拓展变式】 (2016·某某某某二模)若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )
A ．(0,2)
B ．(0，－3)
C ．(0,3)
D ．(0,6)
【解析】 直线y ＋3＝0是抛物线x 2
＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)。

故选C 。

【答案】 C 考点二
抛物线的标准方程与几何性质
【典例2】 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝x
B ．x 2
＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝y D ．y 2
＝x 或x 2
＝－8y
(2)已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心， |FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是128
3，则抛物线的方程为__________________。

【解析】 (1)(待定系数法)设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (4，－2)，解得m ＝1，则抛物线方程为y 2＝x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y 。

故选D 。

(2)(定义法)如图，依题意得|DF |＝p ，|DF ||BF |＝cos30°，因此|BF |＝2p 3，|AF |＝|BF |＝2p
3。

由抛物线的定义知，点A 到准线的距离也为2p
3，又△ABC 的面积为1283，因此有12×2p 3×2p 3＝128
3，p ＝8，该抛物线方程为y 2＝16x 。

【答案】 (1)D (2)y 2
＝16x
反思归纳 1.求抛物线的标准方程的方法 1先定位：根据焦点或准线的位置。

2再定形：即根据条件求p 。

2.抛物线性质的应用技巧 1
利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛
物线方程化成标准方程。

2要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数。

【变式训练】 (2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点。

已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2
＋8＝p 2
4＋5，得p ＝4。

故选B 。

【答案】 B
考点三
焦点弦问题
【典例3】 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9。

(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值。

【解析】 (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有
4x 2
－5px ＋p 2
＝0，所以x 1＋x 2＝5p
4。

由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p
4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2
＝8x 。

(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2
＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)。

设C (x 3，y 3)，则OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)。

又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2
＝4λ＋1，解得λ＝0
或λ＝2。

【答案】 (1)y 2
＝8x (2)λ＝0或λ＝2
反思归纳 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解。

【变式训练】 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。

证明：直线AC 经过原点O 。

【证明】 设直线AB 的方程为x ＝my ＋p
2，代入y 2
＝2px ，
得y 2
－2pmy －p 2
＝0。

由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2
，
即y B ＝－p 2
y A 。

∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p
2上，
∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B 。

则k OC ＝y B －p 2
＝2p y A ＝y A
x A ＝k OA 。

∴直线AC 经过原点O 。

考点四
直线与抛物线的位置关系
【典例4】 (2016·某某高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)。

(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q 。

①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值X 围。

【解析】 (1)抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
p 2，0，
由点⎝ ⎛⎭⎪⎫
p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p 2－0－2＝0，即p ＝4。

所以抛物线C 的方程为y 2＝8x 。

(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)。

因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b 。

①证明：由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0。

(*)
因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点， 所以y 1≠y 2，
从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0。

方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而
y 0＝y 1＋y 2
2＝－p 。

因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p 。

因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )。

②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p 。

由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0， 所以p <4
3。

因此，p 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，43。

【答案】 (1)y 2
＝8x (2)①见解析 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，43
反思归纳 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式。

【变式训练】 已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点。

当直线l 的斜率是1
2时，AC →＝4AB →。

(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值X 围。

【解析】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝1
2(x ＋4)，即x ＝2y －4，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＝2py ，x ＝2y －4消去x ，得2y 2
－(8＋p )y ＋8＝0，
y 1＋y 2＝8＋p
2，y 1y 2＝4， 由AC →＝4AB →
，∴y 2＝4y 1，
由韦达定理及p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y 。

(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为零， 设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＝4y ，y ＝k x ＋4，
得x 2
－4kx －16k ＝0，
由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0，
∴x 0＝
x B ＋x C
2
＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，
BC 中垂线方程为y －2k 2
－4k ＝－1
k (x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2
，∴b ＞2。

故b 的取值X 围为(2，＋∞)。

【答案】 (1)x 2＝4y (2)(2，＋∞)
微考场 新提升
1．若抛物线y ＝A ．1 B.1
2 C ．2 D.1
4
解析 因为抛物线的标准方程为x 2
＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14。

故选D 。

答案 D
2．已知点P (a ，b )是抛物线x 2＝20y 上一点，焦点为F ，|PF |＝25，则|ab |＝( ) A ．100 B ．200 C ．360 D ．400
解析 根据抛物线的定义，准线方程为y ＝－5，|PF |＝b ＋5＝25，∴b ＝20。

又点P (a ，
b )是抛物线x 2＝20y 上一点，∴a 2＝20×20，∴a ＝±20，∴|ab |＝400。

故选D 。

答案 D
3．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于( )
A ．－4
B ．4
C ．p 2
D ．－p 2 解析①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 2
4；
∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2
，∴y 1y 2
x 1x 2＝－4。

②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，
可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 2
4＝0， 则x 1x 2＝p 2
4。

所以y 1y 2＝－p 2。

故y 1y 2
x 1x 2＝－4。

故选A 。

答案 A
4．(2016·某某高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________。

解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋1＝10，所以x 0＝9。

故M 到y 轴的距离是9。

答案 9
5．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线
x 23－y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________。

解析 如图，在正三角形ABF 中，|DF |＝p ，|BD |＝3
3p ，∴B 点坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫33
p ，－p 2。

又点B 在双曲线上，故13p 23－p 2
43＝1，解得p ＝6。

答案 6
微专题 巧突破
焦点弦的处理规律
直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)两点，如图。

(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24。

(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p 。

(3)1|AF |＋1
|BF |为定值2
p 。

(4)弦长AB ＝2p
sin 2α(α为AB 的倾斜角)。

(5)以AB 为直径的圆与准线相切。

(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的X 角为90°。

【典例】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线
于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物
线的方程为( )
A ．y 2＝9x
B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 2＝3x 【解析】 设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y
＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2代入抛物线方程，得k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，
整理得k 2x 2－(pk 2＋2p )x ＋k 2p 24＝0，则x 1x 2＝p 24，因为|BC |＝2|BF |，所以点B 到准线的距离d ＝23p ，即x 2＋p 2＝2
3p ，解
得x 2＝p
6，所以x 1＝32p ，|AF |＝x 1＋p 2＝2p ＝3，解得p ＝3
2，所以抛物线的方程是y 2＝3x 。

故选C 。

【答案】 C
【变式训练】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( )
A.30
3B ．6
C ．12
D ．7 3
【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，
解法一：直线AB 的斜率为3
3，
所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，
即y ＝33x －3
4，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0。

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝21
2，
所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3
2＝12，故选C 。

解法二：由抛物线焦点弦的性质可得
|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12。

故选C 。

【答案】 C。