江苏省盐城市伍佑中学高三上学期第三次阶段考试数学试题扫描含答案

阶段考试答案
1.{}2,1
2.1,2<∈∃x R x
3.(]2,1
4.充分不必要
5.
31- 6.45 7.4 8.10
433+ 9.10 10.6 11.()1,0 12.3 13.x y 3±= 14.}59-83335或⎪⎩⎪⎨⎧+=a a
15.
16.(1）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边
PA 、PB 、PC 的中点，
所以AO OG
＝2．又Q 是△PAB 的重心．于是AG GF ＝2＝AO OG
，所以FG∥QO．--------------4分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG∥平面
EBO ．--------------6分
（2）由AB ＝BC ，得△ACB 为等腰三角形，因为O 为边AC 的中点，所以BO⊥AC， 因为平面PAC⊥平面ABC ，平面PAC∩平面ABC ＝AC ，BO ⊂平面ABC ，所以BO⊥面PAC ．--------------10分
因为PA ⊂平面PAC ，故 BO⊥PA．在△PAC 内，O ，E 为所在边的中点，故 OE∥PC， 且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O ，所以PA⊥平面EBO ，EB ⊂平面EBO ，所以PA⊥BE .--------------14分
17(1)因为三楼宇间的距离为2千米，所以2===AC BC AB ，因为楼宇D 对楼宇C B ,的视角为ο120，ο120=∠∴BDC ，在BDC ∆中，
BDC DC BD DC BD BC ∠⋅-+=cos 2222， ---------------2分 所以CD BD CD BD CD BD ⋅≥⋅++=32222， 即3
4≤
⋅CD BD （当且仅当32==CD BD 时取“=”）， ---------------5分 3
34120sin 2160sin 2221≤⋅+⨯⨯⨯=+=∆∆οοCD BD S S S BCD ABC ABDC 四边形， ()33
4max =
∴ABDC S 四边形. ---------------7分 (2) 设铺设此鹅软石路和防腐木路的总费用为y 元，
在BDE Rt ∆中，由（1）知，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈=∠3,0πθBDE ， 则θθθtan 3
322,tan 332,cos 332-=-===BE AB AE BE DE ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅+⋅=3,0,2cos sin 2332tan 3322cos 33222πθθθθθa a a a AE a ED a y ------------9分
记()()0cos sin 21,cos sin 22=+-='-=
θ
θθθθθf f 令，解得⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=3,06ππθ，----------11分
时，当6π
θ=∴()θf 取最小值，此时a y 4min =（元）， ---------------13分
答：（1）四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值为
334平方千米， （2）铺设此鹅软石路和防腐木路的总费用最小值为a 4元. --------------14分
18(1)解 ∵圆C ：x 2＋(y －2)2＝1，
∴圆心C (0,2)，半径r ＝1，
∵直线l ：kx －y ＝0(k >0)与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝25
5，
∴圆心到l 的距离为d ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2552＝25，--------------3分
∴2k 2＋1＝25，解得k ＝±2.--------------4分
∵k >0，∴k ＝2.--------------5分
(2)解 ∵圆C 与y 轴交于M ，N 两点(点N 在点M 上方)，
∴M (0,1)，N (0,3)，
∴AM ：y ＝k 1x ＋1，BN ：y ＝k 2x ＋3，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线AM 与圆C 方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ＋1，
x 2＋(y －2)2＝1， 化简得(k 12＋1)x 2－2k 1x ＝0， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1k 21＋1，3k 2
1＋1k 21＋1，同理可求得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 22＋1，k 22＋3k 22＋1，--------------9分
∵O ，A ，B 三点共线，且OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1k 21＋1，3k 21＋1k 21＋1，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 2
2＋1，k 22＋3k 22＋1，
∴2k 1k 21＋1·k 22＋3k 22＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 22＋1·3k 21＋1k 2
1＋1＝0，
化简得(3k 1＋k 2)(k 1k 2＋1)＝0，--------------11分
∵k 1k 2＋1≠0，∴3k 1＋k 2＝0，即k 1＝－13k 2，
∴存在实数a ＝－13，使得k 1＝ak 2恒成立．-------------12分 (3)证明 设P (x 0，y 0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝k 1x 0＋1，y 0＝k 2x 0＋3且k 1≠k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2k 1－k 2，y 0＝3k 1－k 2
k 1－k 2.
由(2)知k 2＝－3k 1，代入得y 0＝3k 1－(－3k 1)k 1－(－3k 1)＝3
2为定值．
∴点P 在定直线y ＝3
2上．--------------16分
19（1）设切点坐标为
， 由，得，
所以切线方程为：，
即.
因为直线与函数
的图象相切， 所以，解得
.--------------4分 （2）设，则
，令，得， 且当时，
：当时，， 所以在
上单调递减，在上单调递增， 所以
在时取得极小值为0，即. 由
，可得，--------------6分 所以即为，
由题意可得：函数在
上有零点. 因为
， 当
时，，函数在上单调递增， 所以，函数
在上无零点：--------------7分
当时，令，得.
①若，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，函数在上无零点：--------------8分②若，即时，
当时，：当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以函数在上无零点：
又，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，且在的图象连续不断，
所以函数在上有且只有一个零点，
即函数在上有零点.
综上所述，. --------------11分
（3）当时，，
令，
则，
令，则当时，，
所以函数在区间上是增函数，--------------13分
又，，
所以函数存在唯一的零点，
且当时，；当时，.
所以当时，；当时，.
所以函数在上递减，在上递增，
故，--------------15分
由得：，
两边取对数得：，故，
所以，即.--------------16分
20.(1）当为奇数时，，所以.
.--------------2分当为偶数时，，所以.
.--------------4分所以，数列是“数列”.
（2）由题意可得：，
则数列，，，是等差数列，设其公差为，
数列，，，是等差数列，设其公差为，
数列，，，是等差数列，设其公差为.
因为，所以，
所以，--------------6分
所以①，②.
若，则当时，①不成立；--------------8分
若，则当时，②不成立；--------------10分
若，则①和②都成立，所以.--------------11分
同理得：，所以，记.
设，
则
.--------------14分
同理可得：，所以.
所以是等差数列.--------------16分
【另解】，
，
，
以上三式相加可得：，所以，
所以，
，
，
所以，所以，
所以，数列是等差数列.。