向量高三综合试卷
高三向量练习题及答案
高三向量练习题及答案向量是数学中重要的概念之一，它广泛应用于各个领域，尤其在几何学和物理学中。
本文将为高三学生提供一些向量练习题，并附上详细的答案和解析，以帮助他们更好地理解和掌握向量的相关知识。
1. 练习题一已知向量A = (3, -2) 和向量B = (-1, 4)，求向量A + B的结果。
答案解析：向量A + B的结果等于将A和B的对应分量相加，所以A +B = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。
2. 练习题二已知向量C = (5, -3) 和向量D = (-2, 1)，求向量C - D的结果。
答案解析：向量C - D的结果等于将C和D的对应分量相减，所以C -D = (5 - (-2), -3 - 1) = (7, -4)。
3. 练习题三已知向量E = (2, 5)，求向量E的模长。
答案解析：向量E的模长等于它的分量平方和的平方根，所以|E| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29。
4. 练习题四已知向量F = (3, -4)，求向量F的单位向量。
答案解析：向量F的单位向量等于将F除以它的模长，所以F的单位向量 = (3/|F|, -4/|F|) = (3/5, -4/5)。
5. 练习题五已知向量G = (1, 2) 和向量H = (3, -1)，求向量G和向量H的数量积。
答案解析：向量G和向量H的数量积等于将G和H的对应分量相乘，然后再相加，所以G·H = (1 * 3) + (2 * (-1)) = 3 - 2 = 1。
6. 练习题六已知向量I = (2, -3) 和向量J = (-4, 5)，求向量I和向量J的向量积。
答案解析：向量I和向量J的向量积等于将I和J的对应分量相乘，然后再相减，所以I × J = (2 * 5) - ((-3) * (-4)) = 10 - 12 = -2。
通过以上的练习题，我们可以看到向量的运算方法和性质。
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。
高三数学平面向量的几何应用试题
高三数学平面向量的几何应用试题1.在中，是边上的高，给出下列结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，①；②取BC中点M，，而，∴；③，，所以；所以正确的个数为3个.【考点】向量的运算.2.设平面向量，，函数．（1）当时，求函数的取值范围；（2）当，且时，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）．当时，，则，，所以的取值范围是．（2）由，得，因为，所以，得，．3.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．4.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．5.在Rt△ABC中，，，，则_____．【答案】2【解析】作，则，由题设可知是正三角形，所以.【考点】三角形与向量.6.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A．B．2C．5D．10【答案】C【解析】因为·=(1,2)·(-4,2)=1×(-4)+2×2=0,所以⊥,且||==,||==2,=||||=××2=5.故选C.所以S四边形ABCD7.已知点P为△ABC所在平面上的一点,且=+t,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是()A．0<t<B．0<t<C．0<t<D．0<t<【答案】D【解析】如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,由=+t可知,P点落在EF上,而=,∴点P在E点时,t=0,点P在F点时,t=.而P在△ABC的内部,∴0<t<.8.已知向量m，n满足m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC边的中点，则||等于()．A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】由题意知，＝(＋)＝2m－2n＝(1，－)．∴||＝2.9.在平面四边形ABCD中，满足＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是()．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形，又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．10.已知点，则与向量同方向的单位向量是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】与向量同方向的单位向量是.【考点】单位向量的求法.11.在直角梯形中，，，,，点在线段上，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可求得。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：．（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由长方体及E、F分别为AB、C1D1的中点知，AE平行且等于C1F，所以AEC1F是平行四边形，所以C1E∥AF，由线面平行的判定定理知，C1E∥面ACF；（2）易证FG⊥面ABCD，过F作FH⊥AC于H，连结HG，因为FG⊥面ABCD，则FG⊥AC，所以∠FHG为二面角F—AC—G的平面角，然后通过解三角形，求出FG、GH的长，即可求出∠FHG的正切值，即为二面角F-AC-G的正切值.试题解析：(1)证明：在长方体中，分别为中点，且四边形是平行四边形3分，5分(2)．长方体中，分别为中点，7分过做于，又就是二面角的平面角 9分，在中， 11分直角三角形中 13分二面角的正切值为 14分考点:线面平行的判定定理；二面角的计算；逻辑推理能力2.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．∵cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，∴n1·＝0，n 1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1【答案】C【解析】如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)．4.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】（1）（2）－（3）（4）【解析】解：设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，(1)·＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝；(2)·＝ (c－a)·(b－c)＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋ c.||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.即||＝，所以EG的长为.(4)设、的夹角为θ.＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cosθ＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【答案】D【解析】设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.【考点】空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.6.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】(1);（2）证明见解析.【解析】（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，， 10分，.又，平面. 12分【考点】（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.7.（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（2）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（3）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，所以△ECB是等边，,（2）建立空间坐标系如图，取向观点的坐标为, 向量设平面PBC的法向量平面PDC的法向量则【考点】本题主要考查空间垂直关系的证明、平行关系的运用，考查空间角的求解方法，考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）余弦值为.【解析】思路一：坐标法.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），写出各点的坐标，利用空间向量即可解决问题.思路二：几何法.（Ⅰ）如图，取中点，连接，.易得四边形为矩形，从而使问题得证.（Ⅱ）由于，那么BF在平面ABCD内的射影与AC垂直，故考虑作出BF在平面ABCD 内的射影.在中，过点作交于点.由题设可得，从而得，.在平面内，作交于点，于是.显然为二面角的平面角. 在三角形PAG中，由余弦定理可得二面角的余弦值.试题解析：解法一：坐标法.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.（Ⅰ）向量，，故. 所以，.（Ⅱ）向量，，，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，，解得.即.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.解法二：几何法.（Ⅰ）如图，取中点，连接，.由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（Ⅱ）如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在底面内，可得，.在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，，，，由余弦定理可得，在三角形PAG中，由余弦定理得.所以，二面角的余弦值为.【考点】1、空间直线的垂直关系；2、二面角.2.在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.（Ⅰ）若，证明：直线平面；（Ⅱ）是否存在过的平面，使得直线平行，若存在请作出平面并证明，若不存在请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）存在，证明见解析【解析】（Ⅰ）由四边形和都为矩形知，⊥AB，⊥AC，由线面垂直判定定理知⊥面ABC，由线面垂直定义知⊥BC，又因为AC⊥BC，由线面垂直判定定理知，BC⊥面；（Ⅱ）取AB的中点为M，连结交于D，连结DE，显然E是的中点，根据三角形中位线定理得，DE∥，又由于DE在面过的平面内，根据线面平行的判定定理知和该平面平行.试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形和都是矩形，所以 2分因为为平面内的两条相交直线，所以 4分因为直线平面，所以又由已知，为平面内的两条相交直线，所以平面 7分（Ⅱ）存在 8分连接，设，取线段AB的中点M，连接.则平面为为所求的平面. 1１分由作图可知分别为的中点，所以 13分又因为因此 14分考点: 空间线面垂直垂直的判定与性质；线面平行的判定；推理论证能力3.平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A．(，－1，－1)B．(6，－2，－2)C．(4,2,2)D．(－1,1,4)【答案】D【解析】设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与 (或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.4.如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，且∠AOB＝∠AOC，则、夹角θ的余弦值为()A．0B．C．D．【答案】A【解析】设＝a，＝b，＝c.由已知条件∠AOB＝∠AOC，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|cos∠AOC－|a||b|cos∠AOB＝0，∴cosθ＝0.故选A.5.若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.【答案】2【解析】c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·(2b)＝－2，得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，即2(1－x)＝－2，解得x＝2.6.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】（1）（2）－（3）（4）【解析】解：设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，(1)·＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝；(2)·＝ (c－a)·(b－c)＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋ c.||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.即||＝，所以EG的长为.(4)设、的夹角为θ.＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cosθ＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.7.已知点A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B，关于xOy平面的对称点为C，则BC中点D的坐标为________．【答案】(1,0,1)【解析】因为A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B(1，－t,1)，关于xOy平面的对称点为C(1，t,1)，所以BC中点D的坐标为(，，)，即D(1,0,1)．8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.【考点】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.9.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA 的中点。
高三数学平面向量试题
高三数学平面向量试题1.若向量的夹角为，且.则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设向量与的夹角等于,因为向量的夹角为，且，所以，,,,．故选A．【考点】平面向量数量积的运算．2.已知向量满足，，，则与夹角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设可得，即，所以，即，代入可得，应选答案A。
点睛：本题旨在考查平面向量及平行位置关系等有关知识的综合运用，检测等价化归与转化的数学思想运算求解能力和分析问题解决问题的能力。
3.平面向量不共线，且两两所成的角相等，若，则______．【答案】【解析】因向量不共线，故可设三个向量的始点为，则由题设三个向量两两相等可知每两个向量的夹角均为，则，所以，即，应填答案。
4.平面向量满足，在上的投影为，则的模为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由题意，所以，即，由于，所以，应选答案B。
5.已知平面向量，，则的值是（）A．1B．5C．D．【答案】B【解析】由题意可知，则，应选答案B。
6.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,D为BC边中点,且,那么( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可知，，即，所以有，故选B．【考点】向量的运算．7.若的内角的余弦值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，故，应选答案B。
8.对于非零向量，，下列命题中正确的是A．或B．在方向上的投影为C．D．【答案】C【解析】因为,所以A,D是错的,由投影的定义可知当方向相反时为—,所以B是错的,答案选C.【考点】向量的数量积运算与几何意义9.已知向量, 若, 则实数等于（）A．B．C．或D．0【答案】C【解析】.【考点】向量平行的坐标运算.10.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，同理可求，所以，故选C.【考点】1.向量的线性运算；2.向量数量积的几何运算.【名师】本题考查向量的线性运算、向量数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积定义涉及到了两向量的夹角与模，是高考的常考内容，题型多为选择填空，主要命题角度为：1.求两向量的夹角；2.两向量垂直的应用；3.已知数量积求模；4.知模求模；5.知模求数量积.。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.2.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．(1)若|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）x＝或x＝（2）(5，＋∞)【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max ，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．5.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．6.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为________．【答案】6【解析】由a⊥b得，4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6．当且仅当“32x＝3y”时，即y＝2x时，上式取“＝”．此时x＝，y＝1．7.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A8.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．10.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.11.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线12.设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为【答案】【解析】设，∵与的方向相反，故又∵，则，解得，，故答案为.【考点】共线向量，平面向量的坐标运算.13.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．-B．C．-或D．0【答案】C【解析】由a∥b,得m2-2=0,解得m=±.故选C.14.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.15.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．【答案】(－2，－4)【解析】＝＋＝－＝(－2，－4)．16.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．17.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.18.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.19.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)【答案】D【解析】设B(x，y)，由＝3a，得解得20.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.21.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.22. .若向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算.23.若向量，且与的夹角为则 .【答案】（-3，-6）【解析】由与的夹角为知,【考点】向量数量积的性质和向量的坐标运算.24.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算25.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.26.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.27.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.28.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.29.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算30.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示31.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.试题解析：（1）解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【考点】平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式.32.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模33.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A．4B．6C．4D．16【答案】C【解析】因为｜2－｜，故其最大值为，最小值为，它们的和为，选C.【考点】平面向量坐标运算、平面向量的模、两角差的正弦定理.34.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，，解得，，故，故选A.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算35.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.36.已知，，，为坐标原点.（Ⅰ），求的值；；（Ⅱ）若，且，求与的夹角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求、的坐标，，利用三角函数公式化简求得；（Ⅱ）利用已知条件求，确定的值，在由求解.试题解析：（Ⅰ）,，，∴，.（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，又，，，∴.【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角与模.37.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.38.已知向量，，，若∥，则=___ ．．【答案】5【解析】因为，向量，，，所以，，又∥，所以，，故答案为5.【考点】平面向量的坐标运算39.已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴,.∵与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.【考点】向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.40.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算41.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若向量,,试求的取值范围【答案】(Ⅰ) . （Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由题意得，即. 3分由余弦定理得,. 6（Ⅱ）∵， 7∴.∵，∴，∴.∴，故. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象和性质，余弦定理的应用。
高三数学平面向量高考题选_word
2010-2014年高考数学试题汇编 平面向量1.ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 2.平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积等于（A 222()a b a b -⋅ （B 222()a b a b +⋅（C 222()a b a b -⋅ （D 222()a b a b +⋅3.已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ∙===，则2a b -= A. 0B. C. 4 D. 84.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣= （A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）15.如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD=，则AC AD ⋅=（A）（B（C（D 6.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-3-+4-+ (D)3-+7.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，， AB AC AB AC +=-，则AM = （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）18.在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅uu u r uu u r等于A 、-16B 、-8C 、8D 、169.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m= A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= A ．0B ．BEC ．ADD ．CF11.已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p12.设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2 BCD ．113.若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 （A ）12-（B ）1（C ）2（D ）214.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知点为的外接圆的圆心，且，则的内角等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以四边形为菱形，因此，即.【考点】1.向量运算；2.三角形外心.2.已知是单位向量，.若向量满足（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.3.已知向量，，则向量在上的正射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量在上的正射影的数量为选D.【考点】向量正投影4.设向量，，则向量在向量上的投影为．【答案】-1【解析】由已知向量，，向量在向量上的投影为．【考点】向量的投影．5.已知向量，，若与垂直，则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】因为两向量垂直，所以，即，代入坐标运算：，解得：，所以．【考点】向量数量积的坐标运算6.已知向量满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是．【答案】【解析】设,则,设OA中点为D，则,因此四点A,D,B,C共圆,圆心为AB中点M,直径为AB,从而的最大值和最小值分别是因此【考点】向量几何意义7.已知向量满足，则在方向上的投影为．【答案】【解析】根据，求得，根据投影公式可得在方向上的投影为．【考点】向量在另一个向量方向上的投影．8.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC一定是A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据题意有，即，从而得到，所以三角形为直角三角形，故选B．【考点】向量的加减运算，向量垂直的条件，三角形形状的判断．9.已知、是不共线的向量，，那么三点共线的充要条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为三点共线，所以，所以，故选B．【考点】向量共线的充要条件．10.已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为、、，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可．因为，，所以故选B．【考点】平面向量；均值不等式11.设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，则a 与b的数量积等于（）A．－B．－C．D．【答案】D【解析】由已知可得，因为与平行，所以可得，解得．即．．故D正确．【考点】1向量共线；2数量积公式．12.在中，已知，，分别是边上的三等分点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为、分别是边上的三等分点所以，所以又所以得所以故答案选【考点】1．向量的线性关系；2．向量的数量积．13.如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是；当面积最大时，．【答案】，【解析】如图，作,交延长线于，则,易证得，所以设，则所以所以由题知，所以故的值域是因为，所以当面积最大时，，即则在中，所以【考点】1．向量的数量积；2．二次函数的最值．14.边长为2的正三角形内（包括三边）有点，，求的取值范围．【答案】．【解析】如下图所示，建立平面直角坐标系，∴，，，，，∴，即点P的轨迹为圆夹在三角形ABC内及其边界的一段圆弧，在中，有，又∵，即的取值范围是．【考点】平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中的取值范围是．【答案】【解析】建立如下图所示直角坐标系，则，,，，，所以，，又因为点在以为圆心、为半径的圆上，且在第一象限，所以点的坐标为，，所以，所以．,,由三角函数的性质可知，函数的值域为，所以的取值范围为．【考点】1．向量的坐标运算；2．圆的参数方程；3．三角函数的性质．【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、圆的参数方程的应用、三角函数的性质、数形结合思想，属难题．平面向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解进行，并注意方程思想与转化思想的应用．16.已知向量，，若与平行，则的值是 _．【答案】【解析】由题意与平行，则可得到【考点】共线向量17.在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．【考点】正余弦定理【名师】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．18.已知向量，其中，则向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，则，即，则，则有，所以向量的夹角是．【考点】平面向量的数量积的运算．19.（2015秋•上海月考）已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．【答案】1【解析】代入向量数量级定义式计算．解：=||•||cos=2×1×=1．故答案为：1．【考点】平面向量数量积的运算．20.（2015•河南模拟）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．【答案】5【解析】本题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出λ的值，得到本题答案．解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．【考点】平面向量数量积的运算．21.已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（）A．－12B．12C．一9D．9【答案】D【解析】由，可得点的轨迹是以两定点，为焦点的双曲线的上支，且∴的轨迹方程为：，由和联立可解得：，则．故选D．【考点】椭圆的简单性质．22.在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________．【答案】．【解析】如图：由知点D是BC边的中点，点E是CA边上靠近点C的一个三等分点，．故答案应填：．【考点】向量的数量积．23.在中，则∠C的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，解得，所以，故选B．【考点】平面向量数量积的应用．24.已知点P是内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点M是中点，则点P是一个三等分点，，选C.【考点】向量表示25.知△ABC和点M满足＋＝－，若存在实数m使得m＋m＝成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】由，得，知点是的重心，由，由于是的重心，所以，，故选C．【考点】平面向量．26.已知向量，设．（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．【答案】（1）,；（2）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，可解得函数的单调增区间．（Ⅱ）由，可得，结合范围，可得，从而求得，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解．试题解析：解：（Ⅰ）由可得所以函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由可得【考点】1．余弦定理；2．三角函数中的恒等变换应用．27.在中，,点是线段上的动点，则的最大值为_______．【答案】．【解析】，所以当M,N重合时，，最大，为，又设所以，显然当时，最大为，故的最大值为3．【考点】数量积的应用．28.已知向量若则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由已知，因为，所以，，所以．故选C．【考点】向量垂直的坐标运算，向量的模．29.已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．【答案】150°．【解析】根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．【考点】平面向量数量积的运算．30.已知点为内一点，且则________．【答案】【解析】如图，即，又，所以有，则.【考点】向量的运算.【思路点睛】因为有相同的底边，所以只要分别求得顶点的距离或者其比值便可求得面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点的距离之比等于的比值，所以要结合利用向量的运算求得的比值.31.若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以有，其中为与的夹角，将代入前式中，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】向量的运算.32.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．33.等腰直角三角形中，是斜边上一点，且，则．【答案】4【解析】因为，而，.所以答案应填：4．【考点】平面向量数量积的运算．【方法点睛】欲求的值的关键是选为一组基底，用表述出，代入数量积进行运算.另一种方法：以为原点，分别以为轴，建立直角坐标系，则,所以，由知，所以.本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.34.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，又因为三点共线，所以.【考点】1.向量的线性运算；2.向量共线定理.35.如图，在中，为的中点，为上任一点，且，则的最小值为．【答案】9【解析】因为是中点，所以，又在线段上，所以，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．【考点】平面向量的基本定理，基本不等式．【名师】设点是直线外任一点，，则是三点共线的充要条件．36.在平面直角坐标系中有不共线三点，，.实数满足，则以为起点的向量的终点连线一定过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，所以.设点在向量的中点连线上，则,所以一点过点，故选C.【考点】向量的坐标运算．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及平面向量的共线定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中，根据，设点在向量的中点连线上，利用平面向量的共线定理和平面向量的坐标运算，得到向量的表示，即可到结论.37.四边形中，且，则的最小值为【答案】【解析】通过建立坐标系，设C（a，0），D（0，b），利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值．设AC与BD交点为O，以O为原点，AC，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），D（0，b），则A（a-2，0），B（0，b-3），当时，取得最小值.【考点】平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．38.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意实数，的最小值为____________.【答案】【解析】,建立如图所示的直角坐标系, 取,设.,当且仅当时取等号. 故答案为.【考点】1、向量的几何性质、平面向量的数量积公式；2、利用基本不等式求最值.【易错点晴】本题主要考查向量的几何性质、平面向量的数量积公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用“或”时等号能否同时成立）.39.已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，（1）求曲线的方程；（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论【答案】（1）；（2）的最小值为2；（3）线段的长度为定值【解析】（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；（2）设，将表示为（或）的函数，根据函数性质求出最小值；（3）设坐标和直线的斜率，根据相切得出的关系，求出坐标得出圆的圆心和半径，利用切线的性质得出的长．试题解析：（1）设为曲线上的任意一点，依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为（2）设，则因为，所以当时，有最小值2（3）当点在轴上运动（与原点不重合）时，线段的长度不变，证明如下：依题意，直线的斜率存在且不为0，设，代入得，由得将代入直线的方程得，又，故圆心所以圆的半径为当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度不变，为定值【考点】抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系40.平面向量与的夹角为60°，，则等于（）A．B．4C．12D．16【解析】，因此，选A.【考点】向量的模41.已知向量，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】两向量夹角为,又两个向量夹角范围是,所以夹角为.【考点】向量数量积与夹角公式【名师】由向量数量积的定义（为，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.42.已知向量，且，则m=A．−8B．−6C．6D．8【答案】D【解析】，由得，解得，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师】已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：|a|＝|a|＝cos θ＝cos θ＝a·b＝0x x＋y y＝043.在中，点M是边BC的中点.若，则的最小值是____.【答案】【解析】设，由，即有，得，点是的中点，则，．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为,故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算.44.已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【解析】因，故，应选A。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接，要证 ,只要证平面由直三棱柱的性质可知 ,只需证，因此只要证明平面事实上，由已知平面侧面，平面，且所以平面成立，于是结论可证.（2）思路一：连接，可证即为直线与所成的角，则过点A作于点，连，可证即为二面角的一个平面角.在直角中，即二面角的大小为思路二：以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用向量的数量积求出这两个法向量的坐标，进而利用法向量的夹角求出锐二面角的大小.试题解析：.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面，又侧面，故.解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴过点A作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角且直角中：，又，∴，且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，设平面的一个法向量，由，得：令，得，则设直线与所成的角为，则得，解得，即又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得∴锐二面角的大小为.【考点】1、空间直线、平面的位置关系；2、空间向量在立体几何问题中的应用.2.如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M为AD的中点．(1)证明：MF⊥BD；(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明由已知得△ADF为正三角形，所以MF⊥AD，因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，MF⊂平面ADEF，所以MF⊥BD.(2)设AB＝x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，，0)，B(－2,0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1＝(0,1,0)．设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则可取n2＝.因为cos〈n1，n2〉＝＝，得x＝，所以AB＝.3.平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A．(，－1，－1)B．(6，－2，－2)C．(4,2,2)D．(－1,1,4)【答案】D【解析】设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与 (或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝.5.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a，0)，＝(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由⇒⇒⇒n1＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.6.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系B－xyz，则A(，，0)，D(0,0,1)，则＝(－，－，1)．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1 C.∴＝(，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈，〉＝－，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，∴sinα＝|cos〈，〉|＝，故选A.7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1【答案】C【解析】如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)．8.若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.【答案】2【解析】c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·(2b)＝－2，得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，即2(1－x)＝－2，解得x＝2.9.已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°【解析】由题意得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)求证：A1、G、C三点共线；(2)求证：A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．【答案】（1）见解析（2）见解析（3） a.【解析】解：(1)证明：＝＋＋＝＋＋，可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1、G、C三点共线．(2)证明：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.(3)∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即||＝a，因此||＝ a.即C到平面BC1D的距离为 a.11.如图，在四棱锥中，，，，，点为棱的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见试题分析；（2）直线与平面所成角的正弦值为；（3）．【解析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明。
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.已知向量＝（1，－1），＝（2，x），若（＋）∥（－2），则实数x的值为（）A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】因为＋＝（3，x－1），＝（－3，－1－2x）由（＋）∥（－2），得3（-1-2x）=-3（x-1），解得x=-2，选A【考点】平面向量的坐标运算2.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，如何，总是无解B．无论k，如何，总有唯一解C．存在k，，使之恰有两解D．存在k，，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．3.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示4. [2013·四川广元模拟]如图，已知＝，用，表示，则等于()A．－B．＋C．－＋D．－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋，选C.5.已知向量=（x，1），=（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．﹣2B．2C．0D．【答案】B【解析】∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．当x=﹣2时，，满足向量和方向相反，应舍去．当x=2时，，满足向量和方向相同．因此，实数x的值是2．故选B．6.已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．【答案】8【解析】∵ A、B、D共线，∴与共线，∴存在实数μ，使＝μ.∵＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴ 3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，∴7.已知，且与的夹角为，，则等于 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴.【考点】1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.8.已知，且与的夹角为，，则等于 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴.【考点】1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.9.已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是．【答案】．【解析】如图，取靠近的三等分点，过作的平行线交于，过作的平行线交于，由平行线等分线段定理得因此，若则从而与，在边上；若则在的延长线上，即落在外．故要使点落在的内部，则．【考点】平面向量的几何意义．10.若向量则 .【答案】（-2，-4）【解析】因为所以.【考点】向量的运算.11.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）若则x的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，由于，点在线段上，故存在实数，使得，，又，，，，即.【考点】平面向量的加法与减法12.在所在的平面上有一点，满足, 若的面积为, 则的面积为【答案】4【解析】因为，所以的面积等于的面积，所以面积等于4.【考点】1.向量的线性运算；2.三角形面积的求法.13.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD，为的中点，则A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点为x轴建立直角坐标系，所以各点坐标依次为,【考点】向量运算点评：向量运算有两种思路：写出各点坐标，将向量转化为坐标，利用坐标实现向量的运算或借助于三角形法则，平行四边形法用有向线段来实现向量运算14.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在上的射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA + AB + AC =" 0" 且| OA |="|" AB |，对于 OA + AB + AC =" 0" ⇔ OB =" CA" ，所以可以得到图形为：因为 CA =" OB" ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于| OA |="|" AB |，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量 CA 在 CB 方向上的投影为：| CA |cos＜ CA ， CB ＞=2×cos30°= 故选：A15.已知向量的夹角为，且，则( )A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】此题考查向量数量积的运算和性质；原式16.若为所在平面内一点，且满足，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形【答案】C【解析】,,所以原式可化为,所以，即以和为邻边的平行四边形对角线相互垂直.所以此平行四边形为菱形,所以是等腰三角形.17.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）【答案】C【解析】【考点】平面向量的基本定理及其意义．分析：由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设=λ后，我们易将表示为(1-λ) + 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值解：∵P是BN上的一点，设=λ，由，则=+=+λ=+λ(-)="(1-λ)" +λ="(1-λ)" +=m+∴m=1-λ，=解得λ=，m=故选C18.在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是A. B. C. D.【答案】C【解析】略19.已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于A．B．3C．D．【答案】B【解析】略20.三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则等于A．B．6C．或6D．3或6【答案】C【解析】略21.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略22.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是所在平面内一点，为边中点，∴，且，∴，即，选A23.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
高考数学专题重组卷第1部分专题6平面向量 含解析
专题六 平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·漳州质量监测)已知向量a,b 满足|a|＝1,|b|＝3,且a,b 夹角为π6,则(a ＋b)·(2a－b)＝( )A.12 B ．－32 C ．－12 D.32 答案 A解析 (a ＋b)·(2a－b)＝2a 2－b 2＋a·b＝2－3＋1×3×32＝12.故选A. 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3),AC →＝(3,t),|BC →|＝1,则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(3,t)－(2,3)＝(1,t －3),|BC →|＝1,∴12＋t －32＝1,∴t ＝3,∴BC →＝(1,0),∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·桂林二模)已知向量AB →与AC →的夹角为60°,且|AB →|＝2,|AC →|＝4,若AP →＝AB →＋λAC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为( )A.45 B ．－45 C ．0 D ．－25 答案 C解析 ∵AP →⊥BC →,∴AP →·BC →＝0,即(AB →＋λAC →)·(AC →－AB →)＝0,∴λAC →2＋(1－λ)AB →·AC →－AB →2＝0,∵AB →·AC →＝2×4×cos60°＝4,AB →2＝4,AC →2＝16,∴16λ＋4(1－λ)－4＝0,∴λ＝0.故选C.4．(2019·潍坊二模)在等腰梯形ABCD 中,AB →＝2DC →,点E 是线段BC 的中点,若AE →＝λAB →＋μAD →,则λ＋μ＝( )A.52B.54C.12D.14 答案 B解析 取AB 的中点F,连接CF,则四边形AFCD 是平行四边形,所以CF ∥AD,且CF ＝AD因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →,∴λ＝34,μ＝12,λ＋μ＝54,故选B.5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b 满足|a|＝2|b|,且(a －b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 由(a －b)⊥b,可得(a －b)·b＝0,∴a·b＝b 2. ∵|a|＝2|b|,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a|·|b|＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a,b 〉≤π,∴a 与b 的夹角为π3.故选B.6．(2019·娄底模拟)已知△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,∠A ＝60°,AD ⊥BC 于D,AD →＝λAB →＋μAC →,则λμ＝( )A ．3B ．6C ．2 3D ．3 2 答案 B解析 ∵BC →＝AC →－AB →,AD →⊥BC →,∴(λAB →＋μAC →)·(－AB →＋AC →)＝0,∴－λAB →2＋μAC →2＋(λ－μ)AB →·AC →＝0,∴λ＝6μ,∴λμ＝6.故选B.7．(2019·呼和浩特质量检测)设a,b 均是非零向量,且|a|＝2|b|,若关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b ＝0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析 ∵关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b＝0有实根,∴|a|2－4a·b≥0,∴a·b≤|a|24,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|≤|a|24|a||b|＝12,又0≤〈a,b 〉≤π,∴π3≤〈a,b 〉≤π.故选B.8．(2019·内江模拟)若|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 ∵|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13, ∴(a ＋2b)2＝a 2＋4b 2＋4a·b＝1＋16＋4a·b＝13,∴a·b＝－1,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π, ∴a,b 的夹角为2π3.故选D.9．(2019·四川一诊)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°,点D 为BC 边上一点,且BD →＝2DC →,则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13CB →＝AC →＋13AB →－13AC →＝13AB →＋23AC →,所以AB →·AD →＝13AB →2＋23AB →·AC →＝3＋23×3×2cos120°＝1.故选C.10．(2019·益阳市高三期末)在△ABC 中,M 为AC 的中点,BC →＝CD →,MD →＝xAB →＋yAC →,则x ＋y ＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.32答案 B解析 如图,∵M 为AC 中点,BC →＝CD →,∴MD →＝MC →＋CD →＝12AC →＋BC →＝12AC →＋(AC →－AB →)＝－AB →＋32AC →.又MD →＝xAB →＋yAC →,且AB →,AC →不共线, ∴根据平面向量基本定理得,x ＝－1,y ＝32,∴x ＋y ＝12.故选B.11．(2019·大兴区第一学期期末)已知i,j,k 为共面的三个单位向量,且i ⊥j,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－2,2]C ．[2－1,2＋1]D ．[1－2,1＋2]答案 D解析 由i ⊥j 得i·j＝0,又i,j 为单位向量,则|i ＋j|＝i 2＋j 2＋2i·j＝2, 则(i ＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i ＋j)·k＋k 2＝(i ＋j)·k＋1＝|i ＋j|cos 〈i ＋j,k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j,k 〉＋1, 由－1≤cos〈i ＋j,k 〉≤1,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－2,1＋2]．故选D.12．(2019·武汉市二月调研)在△ABC 中,AB →·AC →＝0,|AB →|＝4,|BC →|＝5,D 为线段BC 的中点,E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点,则AE →·CB →＝( )A.72B.74 C ．－74 D ．7 答案 A 解析 如图所示,|AC →|＝|BC →|2－|AB →|2＝3,AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB →＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝72.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b 为单位向量,且a·b＝0,若c ＝2a －5b,则cos 〈a,c 〉＝________. 答案 23解析 由题意,得cos 〈a,c 〉＝a·2a －5b|a|·|2a－5b|＝2a 2－5a·b|a|·|2a －5b|2＝21×4＋5＝23. 14．(2019·郴州市高三第一次质检)如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB,AC 两边于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,则3x ＋y 的最小值为________．答案4＋233解析 ∵G 是△ABC 的重心, ∴AG →＝13AC →＋13AB →,又AM →＝xAB →,AN →＝yAC →, ∴AG →＝13x AM →＋13y AN →,∵M,G,N 三点共线,∴13x ＋13y ＝1,∴3x ＋y ＝(3x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋x y ＋y 3x ≥43＋213＝4＋233. 15．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已 知非零向量a,b 满足|2a ＋b|＝|a ＋2b|＝3|a|,则a,b 的夹角为________．答案2π3解析 ∵|2a ＋b|＝|a ＋2b|,∴(2a ＋b)2＝(a ＋2b)2,即4a 2＋4a·b＋b 2＝a 2＋4a·b＋4b 2,∴a 2＝b 2,∴|a|＝|b|. 又|a ＋2b|＝3|a|,∴(a ＋2b)2＝3a 2, ∴a 2＋4a·b＋4b 2＝3a 2, ∴a 2＋4a 2cos 〈a,b 〉＋4a 2＝3a 2. 又a≠0,∴1＋4cos 〈a,b 〉＋4＝3, ∴cos 〈a,b 〉＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π,∴〈a,b 〉＝2π3.16．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE ＝3EF,则AF →·BC →的值为________．答案 13解析 DE ＝3EF,∴AF →＝AE →＋EF →＝AE →＋13DE →＝AE →＋16AC →＝12AB →＋12AC →＋16AC →＝12AB →＋23AC →,BC →＝AC →－AB →,∵△ABC 是边长为2的等边三角形, ∴AB →·AC →＝2×2×12＝2,∴AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋23AC →·(AC →－AB →)＝－16AB →·AC →－12AB →2＋23AC →2＝－16×2－12×4＋23×4＝13.三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·连云港二模)已知向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b.(1)将f(x)表示成x 的函数并求f(x)的单调递增区间； (2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,求cos2θ的值．解 (1)∵向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b,∴1×f(x)＋(cos2x －3sin2x)＝0,即f(x)＝－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,求得kπ－π6≤x≤kπ＋π3,故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.(2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,即f(θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝65,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝35.∵2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π,2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－45,∴cos2θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6sin π6＝－45×32－35×12＝－43＋310.18．(本小题满分12分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量a,b 满足：|a|＝2,|b|＝4,a·(b－a)＝2.(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若|ta －b|＝22,求实数t 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为θ, ∵|a|＝2,|b|＝4,∴a·(b－a)＝a·b－a 2＝|a||b|cosθ－a 2＝42cosθ－2＝2, ∴cosθ＝22,∵0≤θ≤π,∴θ＝π4. (2)∵|ta －b|＝22,∴t 2a 2－2ta·b＋b 2＝2t 2－8t ＋16＝8, 即t 2－4t ＋4＝0,解得t ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·泰安模拟)如图所示,在△ABO 中,OC →＝14OA →,OD →＝12OB →,AD 与BC 相交于点M,设OA →＝a,OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝ma ＋nb,则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb, AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b.又∵A,M,D 三点共线,∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t,使得AM →＝tAD →, 即(m －1)a ＋nb ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋nb ＝－ta ＋12tb.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得m －1＝－2n,即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb,CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b.又∵C,M,B 三点共线,∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1,使得CM →＝t 1CB →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b , ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17,n ＝37,∴OM →＝17a ＋37b.20．(本小题满分12分)(2019·河南段考)已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a ＝(1,－2)． (1)若|c|＝25,且c ∥a,求c 的坐标；(2)若|b|＝1,且a ＋b 与a －2b 垂直,求a 与b 的夹角θ的余弦值． 解 (1)设c ＝(x,y),则由c ∥a 和|c|＝25,可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y＋2·x＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2,4)或c ＝(2,－4)．(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直,∴(a ＋b)·(a－2b)＝0, 即a 2－a·b－2b 2＝0,∴a·b＝3, ∴cosθ＝a·b |a||b|＝355.21．(本小题满分12分)(2019·辽宁六校协作体模拟)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tanα＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m,n ∈R),求m ＋n 的值．解 解法一：∵tanα＝7,α∈[0,π], ∴cosα＝210,sinα＝7210, ∵OA →与OC →的夹角为α,∴210＝OA →·OC →|OA →||OC →|,∵OC →＝mOA →＋nOB →,|OA →|＝|OB →|＝1,|OC →|＝2, ∴210＝m ＋nOA →·OB →2,① 又∵OB →与OC →的夹角为45°, ∴22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2,② 又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝210×22－7210×22＝－35, ∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－35,将其代入①②得m －35n ＝15,－35m ＋n ＝1,两式相加得25m ＋25n ＝65,所以m ＋n ＝3.解法二：过点C 作CM ∥OB,CN ∥OA,分别交线段OA,OB 的延长线于点M,N, 则OM →＝mOA →,ON →＝nOB →, 由正弦定理,得 |OM →|sin45°＝|OC →|sin 135°－α＝|ON →|sinα,∵|OC →|＝2,由解法一知,sinα＝7210,cosα＝210,∴|OM →|＝2sin45°sin 135°－α＝1sin45°＋α＝54,|ON →|＝2sinαsin 135°－α＝2×7210sin45°＋α＝74, 又OC →＝mOA →＋nOB →＝OM →＋ON →,|OA →|＝|OB →|＝1,∴m ＝54,n ＝74,∴m ＋n ＝3.22．(本小题满分12分)(2019·安徽淮北、宿迁一模)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(b,a ＋c),n ＝(a －c,a －b),且满足m ∥n.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3,sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n,所以有b(a －b)－(a －c)(a ＋c)＝0,整理得ab ＝a 2＋b 2－c 2,由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又因为C ∈(0,π),所以C ＝π3. (2)由sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,得 sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝4sinBcosB, 整理得2cosB(sinA －2sinB)＝0.当cosB ＝0时,因为B ∈(0,π),所以B ＝π2.在Rt △ABC 中,tanC ＝ca ＝3,解得a ＝1,此时△ABC 的面积为S ＝12ac ＝32.当sinA －2sinB ＝0时,由正弦定理得a ＝2b, 将其代入c 2＝a 2＋b 2－ab,得c 2＝3b 2, 解得b ＝1.此时S ＝12absinC ＝32.综上所述,△ABC 的面积为32.。
高三数学向量专项练习题及答案
高三数学向量专项练习题及答案一、选择题1. 设向量a = (2, 3)、b = (4, -1)，则a + b的坐标表示为：A. (6, 2)B. (2, 2)C. (6, -2)D. (2, -2)答案：A. (6, 2)2. 设向量a = (3, 2)，则2a的坐标表示为：A. (3, 2)B. (6, 4)C. (2, 3)D. (6, 2)答案：B. (6, 4)3. 已知向量a = (5, -3)和b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. 1C. -7D. -1答案：C. -74. 向量a, b的夹角θ满足sinθ = 1/2，则θ的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C. 60°5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的面积为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B. 6二、填空题1. 设向量a = (2, 5)，则|a|的值为________。
答案：sqrt(29)2. 设向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = 1/√2，则θ的大小为________。
答案：45°3. 平面直角坐标系中，若点A(3, 4)到点B(-2, -3)的距离为√k，则k= ________。
答案：504. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，则向量a - b = (_______,_______)。
答案：(-2, 4)5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的周长为________。
答案：约9.21三、解答题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积为：a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知，若共线，则实数x=A．B．C．1D．2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件；由已知得到，又因为共线，所以。
选B2.已知向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】设量与向量＋2的夹角为故选D4.设向量，是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为，，，则的值可能是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】若则；若则若则无解；故选C5.已知，则实数k的值是。
【答案】-1【解析】略6.已知：（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时，的最小值为5，求m的值.【答案】（1）（2）3【解析】7.已知向量，则实数k的值为（）A．B．0C．3D．【答案】C【解析】，又，，即，解得【考点】平面向量的坐标运算。
8.已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D．【解析】∵，，∴，故选D【考点】平面向量共线的坐标表示．9.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．故选B．【考点】向量减法的坐标的运算．10.已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则的夹角余弦值为．故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．1【答案】C【解析】，根据题意有，解得，故选C．【考点】向量的运算，向量共线的坐标表示．12.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，即可得到结论；第二问，由，则可以得到，运用正弦函数的图象和性质，即可得到函数的值域．试题解析：（1）向量，则函数，，则，；（2）由，则，，则．则的值域为．【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质．13.设，，若，则= ．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以＝．【考点】1、平面向量垂直的充要条件；2、平面向量的模．14.己知向量，满足||=||=2且，则向量与的夹角为．【答案】【解析】因为||=||=2，所以由数量积的运算律可将化为，即，所以，故向量与的夹角为．【考点】①向量数量积的运算律；②向量夹角计算公式．15.在△ABC中，若点D满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，因此．【考点】向量的加法法则．16.设向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，解得，故选C．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．17.已知，，，且与垂直，则实数的值为．【答案】．【解析】本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由得．由得，所以．【考点】向量垂直，向量的数量积．18.设直角的三个顶点都在单位圆上，点M，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C．【考点】1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．【思路点睛】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即可求出的最大值．19.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，故选C．【考点】向量的回头法运算及几何意义．20.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．【考点】1．向量的运算；2．二次函数．21.已知向量，，，若向量与共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．【考点】平面向量的运算及共线定理．22.设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，所以，即．故选D．【考点】向量的线性运算．23.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为，．【答案】，或【解析】作，则，向量，由题意可得为边长为的等边三角形，向量的夹角为，可得，由，可得四点共圆，在中，，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，解得，当在中，同理可得．【考点】平面向量的数量积的运算．24.设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量，，则当时，的取值范围是___________．【答案】．【解析】根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：．【考点】平面向量的线性运算．26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量数量积27.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用.28.梯形中，，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得，故选C.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的平行.29.设向量，若向量与向量垂直，则的值为（）A．3B．1C．D．-1【答案】D【解析】因为向量，向量与向量垂直，所以，故选D.考点 1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为，是边上的动点，则（）A．有最大值B．有最小值C．是定值D．与的位置有关【答案】C【解析】设是中点，则.故选C．【考点】向量的数量积．【名师】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．31.如图，四边形是三个全等的菱形，，设，，已知点在各菱形边上运动，且，，则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则；设，则；∴；∴；∴；设，则，表示在y轴上的截距；当截距最大时，取到最大值；由图形可以看出当直线经过点时截距最大；∴；即x+y的最大值为4．【考点】向量的线性运算．【名师】考查向量的线性运算，通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．这是一道综合题，有一定的难度，对学生分析问题解决问题的能力要求较高．32.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量，故选B．【考点】向量的运算．33.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，两边平方得：，∵，∴,故选A．【考点】（1）直线与圆的方程的应用；（2）向量共线定理；（3）平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．由是圆上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．34.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限，是其终边上的一点，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为，则，因为角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限且，所以，．故应选D．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有，所以，，，即，，故选C.【考点】1、平面向量数量积公式；2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.37.已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为，所以，所以，所以C正确，故选C．【考点】向量平行与垂直的充要条件．38.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,,所以，故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．【答案】－3【解析】，由∥（＋）得，．【考点】向量平行．40.已知向量,若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，即有，由，可得，即有，，由，可得与夹角的大小为．故选：D．【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中，，，点分别是中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，则且，,，令，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，有最小值，将代入得，当直线经过点时，有最大值，将代入得，故答案为A．【考点】（1）平面向量数量积的运算；（2）简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．44.设向量，且，则的值是（）A．2B．C．8D．【答案】C【解析】由已知得，∴.【考点】平面向量坐标运算．45.边长为的正三角形，其内切圆与切于点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，内切圆的方程为，设点，则．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，确定点的坐标，利用内切圆得出的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．46.平面向量与的夹角为30°，已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D．【考点】向量的有关运算．47.已知非零向量的夹角为，且，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由得，，解得，故选A．【考点】向量的数量积．48.在等腰梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为_____________．【答案】【解析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，所以.【考点】向量的数量积、向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解．49.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，点是线段上,，故选A．【考点】向量及其运算．50.设是单位向量，且，则的最小值为（）A．-2B．C．-1D．【答案】D【解析】当时，，故选D．【考点】向量及其基本计算．51.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算．52.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由知P是的重心，则，所以，∵共线，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．故选A．【考点】平面向量基本定理，三点共线定理．【名师】设上直线外一点，，则三点共线的条件是．利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题，通过它把几何问题代数化．53.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.54.已知向量，，且，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线，则（）A．1B．C．2D．【解析】在菱形中，，设相交于点，由向量数量积的几何意义可知，故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足，且，则___________．【答案】【解析】由于，两边平方得，因为.【考点】向量运算.58.已知向量，满足，，且（），则．【答案】【解析】设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．【考点】向量的坐标运算．59.已知向量_________.【答案】【解析】，解得，，那么，故填：.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积；向量的模.61.设向量.若，则实数等于（）A．-1B．1C．-2D．2【解析】，∴，得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为向量，，所以有 , 若,则有，解得.63.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量，且∥，则实数_________.【答案】【解析】依题设，，由∥得，，解得.65.已知向量，若，则__________．【答案】11【解析】由题意可知，因为，所以∙=0，解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】解：∵函数的周期，则，即C点是一个对称中心，根据向量的平行四边形法则可知： ,则： .本题选择D选项.67.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．【答案】【解析】因为，又因为向量与向量共线，所以，所以.68.（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为__________．【答案】19【解析】三点共线，，，，故答案为.69.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】因为所以；因为，所以的最大值与最小值之和为，选C.70.已知向量，，且，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，，则向量和的夹角为，选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.71.在中，，，，，是线段的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知．故本题选．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合．在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】，所以的最大值是3.74.设向量，．则与垂直的向量可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：，本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.76.若向量，且，则的最大值是A．1B．C．D．3【答案】D【解析】× ,选D.77.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得：，其中整理可得：，当时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.78.已知向量，若与垂直，则实数的值是_________.【解析】，79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则，．由，得，即①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算．求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．80.（20分）已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.（1）若,试用表示；（2）证明：；（3）若的外接圆的半径为，用表示.【答案】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，即∣∣=∣∣=∣∣,而，=∣∣-∣∣=0，（3）在中,O是外心A=，B=于是∣∣2=（=+2+2=（），【解析】略81.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．82. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.83.已知，若，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，，解得。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.（Ⅰ）若，证明：直线平面；（Ⅱ）是否存在过的平面，使得直线平行，若存在请作出平面并证明，若不存在请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）存在，证明见解析【解析】（Ⅰ）由四边形和都为矩形知，⊥AB，⊥AC，由线面垂直判定定理知⊥面ABC，由线面垂直定义知⊥BC，又因为AC⊥BC，由线面垂直判定定理知，BC⊥面；（Ⅱ）取AB的中点为M，连结交于D，连结DE，显然E是的中点，根据三角形中位线定理得，DE∥，又由于DE在面过的平面内，根据线面平行的判定定理知和该平面平行.试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形和都是矩形，所以 2分因为为平面内的两条相交直线，所以 4分因为直线平面，所以又由已知，为平面内的两条相交直线，所以平面 7分（Ⅱ）存在 8分连接，设，取线段AB的中点M，连接.则平面为为所求的平面. 1１分由作图可知分别为的中点，所以 13分又因为因此 14分考点: 空间线面垂直垂直的判定与性质；线面平行的判定；推理论证能力2.如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M为AD的中点．(1)证明：MF⊥BD；(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明由已知得△ADF为正三角形，所以MF⊥AD，因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，MF⊂平面ADEF，所以MF⊥BD.(2)设AB＝x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，，0)，B(－2,0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1＝(0,1,0)．设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则可取n2＝.因为cos〈n1，n2〉＝＝，得x＝，所以AB＝.3.已知向量＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则() A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【答案】D【解析】∵＝＝，∴x＝6，y＝，选D项．4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面【答案】B【解析】以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝(，，－)，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.5.已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°【解析】由题意得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.6.已知点A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B，关于xOy平面的对称点为C，则BC中点D的坐标为________．【答案】(1,0,1)【解析】因为A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B(1，－t,1)，关于xOy平面的对称点为C(1，t,1)，所以BC中点D的坐标为(，，)，即D(1,0,1)．7.如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.【答案】（1）为的中点；（2）；（3）.【解析】（1）利用面面平行来证明线线平行∥，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可得出，即为的中点.（2）连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.先表示出和，就可求出，从而.（3）可以有两种方法进行求解.第一种方法，用常规法，作出二面角.在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.第二种方法，建立空间直角坐标系，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.设.因为，所以.从而，，所以，.设平面的法向量，再利用向量求出二面角.（1）证：因为∥，∥,，所以平面∥平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行，即∥.故与的对应边相互平行，于是.所以，即为的中点.（2）解：如图，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.，，所以，又所以，故.（3）解法1如第（20）题图1，在中，作，垂足为，连接.又且，所以平面，于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.因为∥，，所以.又因为梯形的面积为6，，所以.于是.故平面与底面所成二面角的大小为.解法2如图，以为原点，分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.设.因为，所以.从而，，所以，.设平面的法向量，由得，所以.又因为平面的法向量，所以，故平面与底面所成而面积的大小为.【考点】1.二面角的求解；2.几何体的体积求解.8.如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作出辅助线MN，N为中点，在中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形ABMN为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得∥平面；第二问，利用面面垂直的性质，判断面，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空间直角坐标系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夹角公式计算即可.（1）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四边形为平行四边形，所以∥．又因为平面，且平面，所以∥平面． 4分（2）证明：在正方形中，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以． 6分在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以． 7分所以平面． 8分又因为平面，所以平面平面． 9分（3）（方法一）延长和交于．在平面内过作于,连结．由平面平面，∥，，平面平面=，得，于是．又，平面，所以，于是就是平面与平面所成锐二面角的平面角. 12分由，得.又，于是有.在中，.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 14分（方法二）由（2）知平面，且．以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．易得.平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得．所以为平面的一个法向量．１２分设平面与平面所成锐二面角为．则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 14分【考点】中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角.9.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】(1);（2）证明见解析.【解析】（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，， 10分，.又，平面. 12分【考点】（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.10.在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，．（1）证明：∥平面；（2）求二面角的大小的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取中点，连接，则，且，由已知得，且，故，则四边形是平行四边形，可证明，进而证明∥平面，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角的大小的余弦值的正负，从而求解．（1）因为，∥，所以平面．故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是，，，，，．所以，因为平面的一个法向量为，所以，又因为平面，所以平面． 6分（2）由（1）知，，，．设是平面的一个法向量，由得，取，得，则设是平面的一个法向量，由得，取，则，则设二面角的大小为，则，故二面角的大小的余弦值为．【考点】1、直线和平面平行的判断；2、二面角的求法.11.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，,，平面平面,若，，,，且．（1）求证：平面；（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的值．【答案】（1）参考解析；（2）【解析】（1）由，所以.又,.在三角形PAO中由余弦定理可得.所以.即.又平面平面且平面平面=AD，平面PAD.所以平面.（2）由题意可得建立空间坐标系，写出相应点的坐标，平面PAD的法向量易得，用待定系数写出平面PBC的法向量，根据两向量的法向量夹角的余弦值，求出二面角的余弦值.（1）因为，，所以， 1分在中，由余弦定理，得， 3分，， 4分， 5分又平面平面，平面平面,平面，平面． 6分（2）如图，过作交于，则，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 7分则，，8分，， 9分设平面的一个法向量为，由得即取则，所以为平面的一个法向量． 11分平面,为平面的一个法向量．所以， 12分． 13分【考点】1.线面垂直的证明.2.二面角.3.空间坐标系的表示.4.向量的夹角.12.如图，在直三棱柱中，已知，，．（1）求异面直线与夹角的余弦值；（2）求二面角平面角的余弦值．【答案】（1），（2）．【解析】（1）利用空间向量求线线角，关键在于正确表示各点的坐标. 以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，,因此，所以异面直线与夹角的余弦值为．（2）利用空间向量求二面角，关键在于求出一个法向量. 设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；同理可得平面的一个法向量为；由两向量数量积可得二面角平面角的余弦值为．试题解析：如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，，，．（1）因为，所以异面直线与夹角的余弦值为． 4分（2）设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；所以二面角平面角的余弦值为． 10分【考点】利用空间向量求线线角及二面角13.如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．【答案】（1）详见解析;（2）．【解析】（1）由于这是一个正四棱锥，故易建立空间坐标系，易得各点的坐标，由，得，由，得，即可求得向量的坐标：．不难计算出它们的数量积，问题得证;（2）利用在上，可设，得出点的坐标，表示出，进而求出平面的法向量n＝(λ－1，0，λ)，由向量的夹角公式可得，解得，从而确定出，由两点间距离公式得.试题解析：证明：连接交于点，以为轴正方向，以为轴正方向，为轴建立空间直角坐标系．因为，则．（1）由，得，由，得，所以．因为．所以. 4分（2）因为在上，可设，得．所以．设平面的法向量，由得其中一组解为，所以可取n＝(λ－1，0，λ). 8分因为平面的法向量为，所以，解得，从而，所以. 10分【考点】1.线线垂直的证明;2.二面角的计算14.如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点，（1）求证：；（2）若的大小；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.若向量则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∴.【考点】向量的运算.2.（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k= _________．【答案】4【解析】由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，解得k=4，故答案为 43.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．4.已知两点，，若，则点的坐标是 .【答案】【解析】设点的坐标是，则由得即点的坐标是.【考点】向量坐标运算5.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．6.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||<，则||的取值范围是()A．(0，]B．(，]C．(，]D．(，]【答案】D【解析】因为⊥，所以可如图建立直角坐标系，设O(x，y)，||=a，||=b，因为=+，所以P(a，b)因为||=||=1，所以由知，点O在以点（a，0)为圆心，1为半径的圆上，所以同理由得，．所以．又由得，而由可得，，即，所以．综上所述，即．8.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线9.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算10.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.11.已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．【答案】(9，－18)．【解析】∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴＝(1，8)，＝(6，3)，∴＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)．设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，∴ M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，－18)．12.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.13.平面向量，，满足，，，，则的最小值为．【答案】【解析】设,,,，，,由得：,最小值是.【考点】1.向量的坐标表示；2.向量的代数公式；3.二次函数求最值.14.若向量，，且与垂直，则实数的值为．【答案】或【解析】由已知得：.【考点】平面向量.15.设向量，，则向量在向量上的投影为 .【答案】【解析】向量在向量上的投影为.【考点】向量运算.16.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.17.在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数_____．【答案】4【解析】，因为，故，即，解得.【考点】1、向量的坐标运算；2、向量垂直.18.向量，，且，则锐角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1、平行向量；2、三角函数的求值.19.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.20.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.21.若向量，，则___________．【答案】【解析】.【考点】平面向量的坐标运算22.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.23.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算24.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算25.已知向量，且，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，向量，且，所以，，选C.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量.26.在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，在平面直角坐标系中，点，所以，，又，所以，，选C.【考点】平面向量的概念，共线向量.27.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.28.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.29.平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4B．-4C．2D．-2【答案】A【解析】由,所以.故选A.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积30.已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得，，所以，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积31.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.32.设，向量且，则= ．【答案】【解析】由,得，所以.【考点】向量垂直的坐标表示.33.若向量，则向量与的夹角的余弦值为 .【答案】【解析】，，两向量的夹角的余弦为.【考点】向量的加、减、数量积运算.34.在ΔABC中，=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且（x,y∈R)，则x+y的取值范围为_____.【答案】[1,2]【解析】如图建立直角坐标系，O为坐标原点，设C（1,0），，，则，，，即，，解得，，又，，.【考点】向量坐标运算、三角函数.35.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】∵，∴.∴，即，∴.故选B.【考点】向量的坐标运算36.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆的半径为1，以作为坐标原点建立坐标系，则,,，,,,，,因为，所以，所以，，所以.【考点】向量运算点评：本题关键是建立坐标系，求出向量坐标，利用向量相等解题是关键，属中档题.37.已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，且，所以与的夹角是，故选D。
高三数学总复习——向量压轴题
高三向量压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知34a b →→⋅=，2a b += ，向量c →满足0a c b c →→→→⎛⎫-⋅-= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝，则c →的取值范围是（）A ．[]1,2B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[]0,12．如图，ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，则AO BC ⋅=（）A ．52B ．32C ．3D ．23．在锐角ABC 中，a 、b 、c 分别是ABC 的内角A 、B 、C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．45⎡⎢⎣⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知平面向量,a b 满足4a =，()12R b e e λλ=+∈ ，其中12,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则12,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π26．在直角梯形ABCD 中，0,30,2AB AD B AB BC ⋅=∠=︒==，点E 为BC 边上一点，且AE xAB y AD =+，则xy 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎝⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎢⎣⎦D ．1,2⎡⎢⎣7．若O 是ABC 外接圆圆心， A B C 、、是ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=，则实数m 的值为（）A ．1B ．sin AC ．cos AD ．tan A8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，P 是椭圆C 上的点，()()12,0,,0F c F c -是椭圆C的左右焦点，若12PF PF ac ⋅≤恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．1,12⎫-⎪⎪⎣⎭B ．(1⎤⎦C ．10,2⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．)1,19．已知||1,||2,(1),,01OA OB OP t OA OQ tOB t ===-=≤≤ .||PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，向量OA 与OB 夹角的取值范围是（）A ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值为（）A ．0B ．1C ．3D ．511．已知12AB AB ⊥ ，121OB OB ==，12AP AB AB =+ ，12OP <uu ur ，则||OA uu r 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，13AE AD =，14BF BC =，CE 与DF 交于点O .设AB a = ，AD b=，若AO a b λμ=+ ，则λμ+=（）A ．817B ．1917C ．317D ．111713．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC AB AB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m的最大值为（）A ．3B ．35C ．75D ．3214．ABC 中，若5AB AC ==，6BC =，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则cos ADE ∠=（）A B C ．D ．15．已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1.设点O 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d .若1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-，则222123d d d ++=（）A ．34B ．1C ．32D ．316．设G 为△ABC 的重心，若0,2BG AG AB ⋅==，则()22CA CB AB AC +⋅ 的取值范围为（）A ．（－80，160）B ．（－80，40）C ．（－40，80）D ．（－160，80）17．若向量,a b满足5a = ，1cos ,4a b <>= ，且当R λ∈时，b a λ- 则a b -=（）AB C ．6D18．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM xAB = ，()0,0AN y AC x y =>>，则2x y +的最小值为（）A ．3B ．C ．1D ．1319．在ABC 中，60BAC ∠= ，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）AB ．2C 1+D ．20．已知向量,a b 的夹角为3π，22b a == ，向量c xa yb =+，且,[1,2]x y ∈，则向量,a c夹角的余弦值的最小值为（）A ．7B ．7C ．2D ．1421．如图，在等腰△ABC 中，已知o1,120,,AB AC A E F ==∠= 分别是边,AB AC 的点，且,AE AB AF AC ==λμ，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN的最小值是（）A ．7BCD22．已知等边ABC 的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC⋅+⋅的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．223．已知2OA OB == ，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO = ，则AP BP ⋅的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-24．如图，在ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 上的点，且3AB AE = ，3AC AF =，P 为EF 上任意一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ，PBC ，PCA V ，PAB △的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当23λλ⋅取最大值时，3x y -的值为（）A ．52-B ．32-C ．14D ．1225．已知平面向量,,a b e 满足：1b e == ，0b e =，4a e a e ++-= ，则a b a e -+- 的最小值为（）A ．4B ．4C ．52+D ．5+26．已知P 是函数()e xf x =（112x ≤≤）图象上的动点，点()2,1A ，()1,1B -，O 为坐标原点，若存在实数λ，μ使得OA OP OB λμ=+成立，则λμ-的最小值是（）A ．1BC ．2e 1e-+D ．()22e 1e-+27．已知点P 在抛物线()2:0C y mx m =≠上，过点P 作抛物线22x y =的切线1l ，2l ，切点分别为M ，N ，若()1,1G ，且0GP GM GN ++=，则C 的准线方程为（）A ．14x =-B ．14x =C ．2x =D ．2x =-28．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足||||||OA OB OC == ，2OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，Q 满足1AP =，PQ QC = ，则2437BQ - 的最大值是（）．A ．12B ．6C ．D ．29．如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为A ．1513B ．9513C ．15D ．1513-评卷人得分二、多选题30．如图，在等腰直角ABC 中，斜边6BC = ，且2DC BD =uuu r uu u r ，点P 是线段AD 上任一点，则AP CP ⋅的可能取值是（）A ．-1B ．0C ．4D ．531．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且2340OA OB OC ++=则下列选项正确的有（）A ．1439AO AB AC=+ B ．直线AO 过BC 边的中点C ．:2:1AOB BOC S S =△△D ．若||||||1OA OB OC ===，则316OC AB ⋅=-32．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且3240++=OA OB OC ，则下列选项正确的是（）A ．1239=+ AO AB AC B ．直线AO 不过BC 边的中点C ．:2:1=△△AOB AOC S SD ．若||||||1OA OB OC ===，则316OC AB ⋅=33．如图，在正方形ABCD 中，2AE DE ==，//EF AB ，点G 从点A 出发，沿A B C D A →→→→的方向运动至点A 后停止，若在点G 的运动过程中，有且只有8个不同的点G ，使得GE GF m ⋅=（m 是常数）成立，则m 的值可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．434．对于△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A ．OA OB OA OC OB OC⋅=⋅=⋅ B ．212AO AB AB⋅= C ．向量AH 与cos cos AB AC AB B AC C+ 共线D ．过点G 的直线l 分别与AB 、AC 交于E 、F 两点，若AE AB λ= ，AF AC μ=，则113λμ+=35．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOB cOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A ．若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC =+ B ．若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C ．若直线AO 过BC 的中点，则a b c ==D ．::AOB AOC S S b c= 36．点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的是（）A ．已知平面向量,,OA OB OC 满足OA OB OC == ，且0OA OB OC ++=，则△ABC 是等边三角形B ．若()()0AC BC BAOA O AB A B AC BCBAB uuu r uu u r uu ruu r uu u r uuu r u uu u r uu u u r uu r u r ×--×==，则点O 为△ABC 的重心C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 为△ABC 的外心；D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为△ABC 的垂心37．已知,a b是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()0a c b c -⋅-= ，则下列结论中正确的有（）A ．1a b += B ．1a b -= C ．cD ．设,a b c θ+=，则sin 3θ⎡∈⎢⎣⎦38．下列说法中正确的是（）A ．对于向量a →，b →，c →，有a b c a b c →→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．在ABC 中，向量AB →与AC →满足0||||AB AC BC AB AC →→→→→⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12||||BA BC BA BC →→→→⋅=，则△ABC 为等边三角形C ．若230OA OB OC →→→→++=，,AOC ABC S S 分别表示,AOC ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB CD AB AC λμ→→→→→==+，，则λ+μ＝039．点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若动点P 满足(0)sin sin AB AC OP OA AB B AC C ⎛⎫ ⎪=++> ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r λλ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心；B ．若()()0ACBC BAOA O ABA B ACBCBAB uuu r uu u ruu ruu r uu u r uuu r u uu u r uu u u r uu r u r ×--×==，则点O 为△ABC 的内心；C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 为△ABC 的外心；D ．若动点P 满足(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭λλuu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.40．在ABC 中，D 是边BC 中点，下列说法正确的是（）A ．20AB AC AD +-= B ．若||||||AB AC AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 上的投影向量C ．若点P 是ABC 的外心，5AC =，且8AP BC ⋅=，则3AB =D ．若点Q 是线段AD 上的动点，且满足BQ BA BC λμ=+ ，则λμ的最大值为1441．下列说法正确的是（）A ．若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形B ．已知,,,OA a OB b OC c OD d ====，且四边形ABCD 为平行四边形，则0a b c d +--= C ．已知正三角形ABC的边长为O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅的最大值为1D ．已知向量()())2,0,2,2,cos sin OB OC CA αα===，则OA 与OB夹角的范围是5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦评卷人得分三、填空题42．等腰直角ABC 的斜边AB 的端点分别在x ，y 的正半轴上移动（点C 与原点O 在AB 两侧），2AB =，若点D 为AB 中点，则2OC OD - 的取值范围是______.43．已知等边三角形ABC 的边长为2，边AB 的中点为D ，边BC 上有两动点E ，F ，若1EF = ，则DE DF ⋅的取值范围是______．44．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，O 为ABC 外心，若a =3A B C =+，则23OA OB OC ++的范围是______．45．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C上，满足1220F F PF ⋅=，倾斜角为锐角的渐近线与线段1PF 交于点Q ，且13F P QP = ，则12PF PF 的值等于__________．46．已知等腰直角ABC 的斜边AB 长为4，其所在平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ （1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥），若OP = ，则OA OB⋅的最大值为____________．47．ABC 中，7cos 32A =，0AB BC AC CB ⋅-⋅=，平面内一点M 满足：||3||3MA MB == ，则||MC的最小值为______．48．在平面直角坐标系xOy 中，0r >，⊙M ：()22234r x r y -+=与抛物线C ：24y x =有且仅有两个公共点，直线l 过圆心M 且交抛物线C 于A ，B 两点，则OA OB ⋅=______．49．在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且2MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．50．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3A π=，3c =，sin a B =,,D E 分别为线段,AB AC 上的动点，AD CEAB CA=，则DE 的最小值为__________.51．已知平面向量,,a b c 满足1a = ，22b a b -== ，()0c b b -⋅= ，则c a c a ++- 的最小值为___________.52．已知平面向量,a b 满足||3||3b a == ，若()()223R c a b λλλ=-+∈，且||||c a c a b b ⋅⋅=，则cos ,3a a c - 的最小值为___________.53．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，22OA OC ==，点E 在弧 CD上，则EA EB ⋅的最小值是___________.54．在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点（不包括端点），若AC mAM nAN =+ ，则11m n+的最小值为______．55．已知圆O 的半径为2，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅ 的取值范围是_________．56．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F 和2F ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，P 为两曲线的一个公共点，且122PF PF PO -= （O 为坐标原点）．若1e ∈22⎝⎦，则2e 的取值范围是______．57．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.58．设圆O 的半径为4，M ，N 是圆O 上的两点，且6MN =，A 是圆O 任意一点，点B 满足3BN AN = ，则MN MB ⋅的最大值是___________.59．已知ABC 中，1AB =uu u r ，t R ∈，且()1AC t AC AB t +-的最小值为2，则3BA BC ⋅=__________.60．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.61．设P 是椭圆22:12x M y +=上的任一点，EF 为圆()22:21N x y +-=的任一条直径，则PE PF ⋅的最大值为___________.62．已知向量,,a b c满足0,a b ⋅= ||1c = ，||||5,a c b c -=-= 则||a b - 的最大值是_________63．正三角形ABCP 在其外接圆上运动，则AP PB ⋅的取值范围是_______.64．已知正四面体ABCD 的棱长为P 是该正四面体内切球球面上的动点，则PA PD⋅的最小值为__________.65．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若11AF F B λ=，且2λ>，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．66．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，且点D 满足2CD DA =，BD =，若1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为____________.67．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA ，OB ，OC，满足()()111n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n ∈N ，若A ，B ，C 在同一直线上，则2021S =___________.68．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．69．已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C 上存在两点,A B 满足2MA AB =，则实数t 的取值范围___________70．已知平面内不同的三点O ，A ，B 满足||||5OA AB ==，若[0,1]λ∈时，2||(1)5OB OA BO BA λλ-+-- ||OB =___________.71．如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足：(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-uu r uu u r uu r（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________72．已知单位向量1e ，2e 与非零向量a满足123e e +≤ ，()120a e e ⋅-≤ ，则()1232ae e a⋅+的最大值是______.73．若平面向量,a b 满足||42||a a b a b =-⋅=- ，则||||a b a b +⋅-的取值范围是___________.74．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+ ，1()2CE CA CD =+ 的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________75．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为______76．如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC += △△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=；②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心；③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△；④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.77．半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足0OA AB AC ++=，点P 是圆内一点，则PA PO PB PC ⋅+⋅的取值范围为______78．已知||||1OA OB == ，若存在,m n R ∈，使得m AB OA +与nAB OB + 夹角为60 ，且()()12mAB OA nAB OB +-+= ，则AB 的最小值为___________.79．在ABC 中，E ，F 分别为AB AC ，上的靠近B ，C 的五等分点，且满足P 为线段EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC PBC PCA PAB ，，，的面积分别为123S S S S ，，，，记()123ii S i Sλ==，，，则23λλ⋅为取到最大值时，x ，y 的值分别为_______．80．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y+=的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，则12PF PF ⋅的最大值为_____．81．已知ABC 是边长为2的正三角形，平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ （1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥）．若1OP = ，则OA OB ⋅的最大值为__________．82．已知点(2,1)M ，点1F 、2F 分别为双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点，当点()()0000,0,0P x y x y >>在双曲线C 上且满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -= _________．83．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．84．已知圆22:(2)(5)4C x y -+-=的圆心为,C T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为___________．85．已知圆()()22:254C x y -+-=，T 为圆C 外的动点，过点T 作圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点，则圆C 的萌点的轨迹方程为_______.86．给出以下几个结论：①若0a b >>，0c <，则c c a b<；②如果b d ≠且,b d 都不为0，则111221n n nn n n nd bd d b d b db b d b++----+++⋅⋅⋅++=-，*n N ∈；③若1e ，2e 是夹角为60 的两个单位向量，则122a e e =+ ，1232b e e =-+的夹角为60 ；④在ABC 中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则()22cos cos c a B b A a b -=-；其中正确结论的序号为______．87．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于,M N (不与点A 重合），若,AM x AB AN y AC == ，其中,x y R ∈，则4x y +的最小值是_____．88．已知平面向量PA 、PB满足22||4PA PB += ，2||2=uu u v AB ，设2=+uu u v uu v uu v PC PA PB ，则PC ∈________.89．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC == ，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=- ，动点,P M 满足1AP PM MC == ，则2BM 的最大值为________.90．圆M 的方程为()()()2225cos 5sin 1x y R θθθ--+-=∈，圆C 的方程为()2224x y -+=，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值为__________.91．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅ 的最小值________．92．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0A ，直线():12l y k x =-+.设点A 关于直线l 的对称点为B ，则OA OB ⋅的取值范围是_________．评卷人得分四、双空题93．在ABC 中，2AB =，3AC =，2AB DB = ，2EC AE =，3BE BC ⋅= ，则DE = _________，若M 是线段BC 上的一个动点，则DM EM ⋅的最小值为_____________.94．已知在ABC 中，90C = ∠，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______；若BF xBC yBA =+ ，则x y +=_______.95．在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，满足AE mAB =，AF nAC = ，且1m n +=，则AE AF + 的最小值为___________，设点M ，N 满足2EM MF =，BN NC =，若MN BC ⊥，则m =___________.96．菱形ABCD 中，ππ1,,32AB A ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅= ___________，ED EB ⋅的最小值为___________.97．已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 交于点D ，M 是AD 的中点，延长BM 交AC 于点H ，||||AD CD =，1tan 2DAC ∠=，则||||AC AD =___________，||||AH AC =___________.98．在ABC 中，点M ，N 是线段BC 上的两点，1MA MB MC === ，12MA MN ⋅= ，则MA NA ⋅=_______________，NA 的取值范围是______________.99．已知平面四边形ABCD ，AB =3BC =，90ABC ∠= ，点E 在线段BC 上，90ADE ∠=，且BE BC λ= ，18AC AE ⋅= ，则实数λ为___________，则AE BD ⋅ 的取值范围为___________.100．已知(5,0)A -，(5,0)B ，若对任意实数t ∈R ，点P 都满足3AP t AB -≥ ，则PA PB ⋅的最小值为________，此时PA PB +=_________．参考答案：1．B【分析】由题意可得2252a b += ，故建立坐标系，确定向量的坐标，根据0a cbc →→→→⎛⎫-⋅-= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝结合几何意义确定动点的轨迹方程，利用圆的相关知识解决问题.【详解】由题意34a b →→⋅=，2a b += 得：24a b += ，即有2252a b += ，如图示，设3,,cos 4OA a OB b AOB ==∠= ，故不妨设a = ，则|||2a b == ，则()88b = ，设OC c = ，则,CA a c CB b c =-=- ，因为0a c b c →→→→⎛⎫-⋅-= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故可得CA CB ⊥ ，所以C 点在以AB 为直径的圆上运动，在AOB 中，||1AB =,AB 的中点为(1616，则以AB 为直径的圆的方程为221((4x y +-=，故||OC 1322+=1122-=，即c →的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎣⎦，故选：B【点睛】本题考查了向量的数量积的运算以及向量的模的应用，综合性较强，解答时要能根据条件灵活转化，建立坐标系，结合几何意义解决问题，本题的关键就在于将问题转化为圆上的点到原点的距离的最值问题.2．A【分析】根据给定条件，分别求出AO AB ⋅ 、AO AC ⋅即可求解作答.【详解】因ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，由圆的性质得1||cos ,||2AO AO AB AB 〈〉= ，有21||||cos ,||22AO AB AO AB AO AB AB ⋅=〈〉== ，同理219||22AO AC AC ⋅== ，所以5()2AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅= .故选：A【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C【分析】连接CG 并延长交AB 于点D ，由重心的性质可得出32CD c =，利用平面向量的线性运算可得出2CD CA CB =+，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出2cos 05a b C b a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，推导出2225a b c +=，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出b a的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得cos C 的取值范围.【详解】连接CG 并延长交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，因为AG BG ⊥，则1122GD AB c ==，由重心的性质可得2CG GD = ，则32CD c =，因为()()111222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+ ，所以，2CD CA CB =+ ，所以，22242CD CA CB CA CB =++⋅，所以，222222cos 99918cos b a ab C c a b ab C ++==+-，所以，2cos 05a b C b a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则C 为锐角，由余弦定理可得()()222222222212cos 255c a b ab C a b a b a b =+-=+-⨯+=+，所以，2225a b c +=，因为ABC 为锐角三角形，则cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩，即222222b c a a c b ⎧+>⎨+>⎩，即222222225555b a b a a a b b ⎧++>⎨++>⎩，所以，32b a <<，构造函数()1f x x x=+，其中0x >，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x <，则()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212121212111x x x x x x x x x x --⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭.当1201x x <<<时，120x x -<，1201x x <<，则()()12f x f x >，当211x x >>时，120x x -<，121x x >，则()()12f x f x <，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，b a <<，所以，2b a a b ≤+<，故24cos ,553a b C b a ⎡⎛⎫=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.4．C【分析】由1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭可得H 在12F PF ∠的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得H 为12F PF △的内心，再由内心的向量表示，推得1212::5:4:3F F PF PF =，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以PH 是12F PF ∠的角平分线，又因为点H 在直线x a =上，且在双曲线中，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，则12PF F △的内切圆圆心在直线x a =上，即点H 是12PF F △的内心，如图，作出12PF F △，并分别延长HP 、1HF 、2HF 至点P '、1F '、2F '，使得5HP HP '=，113HF HF '=，224HF HF '=，可知H 为12P F F '''△的重心，设1HPF S m =△，2HPF S n =△，12HF F S p =△，由重心性质可得152012m n p ==，即::4:3:5m n p =，又H 为12PF F △的内心，所以1212::5:4:3F F PF PF =，因为122F F c =，所以1124855c PF F F ==，2123655c PF F F ==，则12225c a PF PF =-=，所以双曲线C 的离心率225225c c c e c a a ====.故选：C.【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设ABC 的角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则（1）ABC 的重心G 满足0GA GB GC ++=；（2）ABC 的内心P 满足0aPA bPB cPC ++=；（3）ABC 的外心M 满足MA MB MC ==.5．B【分析】根据给定的恒成立的不等式可得||2b ≥ 恒成立，即得12||2e e λ+≥ 恒成立即可推理计算作答.【详解】因4a =，则221()||cos ,0||cos ,4822a b a b b b a b b a b +≥⇔+≥⇔+〈〉≥⇔≥-〈〉，依题意，||2b ≥ 恒成立，而12b e e λ=+ ，12,e e 为不共线的单位向量，即有221212cos ,e e b λλ+〈〉+= ，于是得2212121112cos ,2cos ,022e e e e λλλλ+〈〉+≥⇔+〈〉+≥ 恒成立，则2124cos ,20e e ∆=〈〉-≤ ，即有12cos ,22e e -≤〈〉≤，又120,πe e <〈〉< ，解得12π3π,44e e ≤〈〉≤ ，所以12,e e 夹角的最小值是π4.故选：B【点睛】关键点睛：涉及向量模的问题，把给定向量等式或不等式两边平方求解是解决问题的关键.6．B【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，因为30,2B BC ∠=︒=，所以有sin ,cos 2sin 301,2cos 30CF BFB B CF BF BC BC==⇒=︒==︒=(0,0),(0,1)A B C D ，设(,)E a b ，([0,2])BE mBC m =∈，因此有()(a a a b m b m b m⎧⎧-==⎪⎪-=⇒⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩因为AE xAB y AD =+，所以有(,)(0,1),)6a x a b x y x y b y y b⎧⎧==⎪⎪=+=⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎩，而a b m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2111)(1)(1)6222xy m m m m ==-=--+，当1m =时，xy 有最大值12，当0m =，或2时，xy 有最小值0，故选：B【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.7．B【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】设AB 的中点为D ， A B C 、、所对的边为 a b c 、、，因为O 是ABC 外接圆圆心，所以⊥DO AB ，于是有2211()22AO AB AD DO AB AB DO AB c ⋅=+⋅=+⋅= ，由2cos cos cos cos 22sin sin sin sin B C B C AB AC m AO AB AC AB m AO AB C B C B +=⇒+⋅=⋅ 22cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin B C B C bc b c A mc A m C B C B c ⇒+⋅⋅=⇒+⋅⋅=cos cos sin cos sin sin sin B C BA m CB C⇒+⋅⋅=cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin B C A C A C A C Am A C C C-++⇒=+==，故选：B【点睛】关键点睛：对已知向量等式同时乘以AB是解题的关键.8．A【分析】设出P 点坐标后将12PF PF ⋅用坐标表示，结合P 在椭圆上，将P 点坐标代入椭圆方程，二者联立后化简即可得出离心率的取值范围.【详解】设()()()222002001001200,,,,,,P x y PF c x y PF c x y PF PF x c y ac ∴=--=---∴⋅=-+≤ ，P 在椭圆上，[]2222222000002221,,,x y a b b x x a a y a b a-∴+=∈-∴=，222222222002a b b x x c y x c ac a -∴-+=-+≤，两边都乘以2a 化简后得：22224302c x a c a a c -+≤，3422220022,0,a a x a x a c c⎡⎤∴≤+-∈⎣⎦，234222211115212,24a a a a c c e e e ⎛⎫∴≤+-∴≤+-⇒-≤ ⎪⎝⎭e ∴≥()0,1e ∈，e ⎫∴∈⎪⎪⎣⎭.故选：A.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．9．C【分析】设向量OA 与OB的夹角为θ，结合向量的线性运算得到()1PQ tOB t OA =-- ，进而求得()()2254cos 24cos 1PQ t t =++--+ θθ，然后结合二次函数的最值问题可求出当()024cos 12cos 254cos 54cos t --+=-=++θθθθ时，||PQ 在0t 时取得最小值，进而根据0105t <<，解不等式即可求出结果.【详解】设向量OA 与OB的夹角为θ，则cos 2cos OA OB OA OB ⋅=⋅⋅= θθ，()1PQ OQ OP tOB t OA =-=-- ,则()()()2221PQ OQ OPtOB t OA=-=-- ()()2222121t OB t OA t t OB OA =+---⋅ ()()22414cos 1t t t t θ=+---()()254cos 24cos 1t t =++--+θθ，因为54cos 0+>θ，所以当()024cos 12cos 254cos 54cos t --+=-=++θθθθ时，||PQ在0t 时取得最小值，又因为0105t <<，所以12cos 1054cos 5θθ+<<+，故1cos 02θ-<<，又[]0,θπ∈，所以223ππθ<<，所以OA 与OB 的夹角的取值范围是2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10．C【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出||CA的最大值即可计算作答.【详解】过点O 作,OD AC OE BC ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC的中点，在ABC 中，AB CB CA =-，则222||||||2AB CA CB CA CB =+-⋅ ，即22||||22CA CB CA CB +-⋅=，21|cos |2CO CA CO CA OCA CD CA CA ⋅=∠=⋅=，同理21||2CO CB CB ⋅= ，因此，()OC AB CA CB OC CB CA CA CB CO CA CO CB CA CB⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅2222211||||2||||||1222CA CB CA CB CA +-=-+=- ，由正弦定理得：||sin ||2sin 2sin sin 4AB B BCA B ACB π===≤∠ ，当且仅当2B π=时取“=”，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.故选：C【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．B【分析】根据题设易知四边形12B AB P 为矩形，构建以A 为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足1211,2OB OB OP ==<的情况下，结合两点距离公式求,O A 两点距离的范围.【详解】由题设，四边形12B AB P 为矩形，构建以A 为原点的直角坐标系，如下图，若12(0,),(,0)B n B m ，则(,)P m n ，设(,)O x y ，∴22()1x y n +-=，22()1x m y -+=且2210()()4x m y n ≤-+-<，又22222||2[()()]OA x y x m y n =+=--+-，∴27||24OA <≤ ，即||2OA <故选：B【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围.12．B【分析】根据,,D O F 和,,E O C 三点共线，可得AO x AD y AF =+ 和AO mAE nAC =+，利用平面向量线性运算可用,a b 表示出AO，由此可得方程组求得,x y ，进而得到λμ+的值.【详解】连接AF ，AC ，,,D O F 三点共线，∴可设AO x AD y AF =+，则1x y +=，()1144AO xAD y AB BF xAD yAB AD x y b ya ⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；,,E O C 三点共线，∴可设AO mAE nAC =+，则1m n +=，()33m m AO AD n AD AB n b na ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭；11143x y m n mx y n y n +=⎧⎪+=⎪⎪∴⎨+=+⎪⎪=⎪⎩，解得：917817x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，8111717AO a b ∴=+ ，即81119171717λμ+=+=.故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据O 为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.13．D【分析】设AB c =，AC b =，BAO θ∠=，CAO α∠=，由题设条件得到b c m αθ、、、、的关系：cos cos 2b c mAO θα+=，由O 是三角形ABC 的外心可得cos 2cAOθ=，cos 2b AO α=，对b c +=，消去AO ，利用基本不等式求得m 的范围.【详解】如图所示：设AB c =，AC b =，BAO θ∠=，CAO α∠=，由()22AC AB AB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=得2cos cos 2b c c AO b AO m AO c bθα⋅⋅+⋅⋅=⋅，化简得cos cos 2b c mAO θα+=，由O 是三角形ABC 的外心可知，O 是三边中垂线交点，得cos 2cAOθ=，cos 2b AO α=，代入上式得22bc mAO =，∴22bcm AO =.根据题意知，AO 是三角形ABC 外接圆的半径，可得sin 2b B AO =，sin 2cC AO=，代入sin sin B C +=b c +=，∴222223222222b c b c bc m AO AO ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=≤==，当且仅当“b c =”时，等号成立.故选：D.14．A【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出()0,0B 、()6,0C 、()3,4A ，然后根据A 、B 、D 三点共线以及C 、E 、D 三点共线得出2355CD CA CB =+，再然后根据向量的运算法则得出248,55DC 骣琪=-琪桫 、()3,4BA = ，最后根据cos BA DC ADE BA DC ⋅∠=⋅即可得出结果.【详解】如图所示，以B 点为原点，BC 为x轴构建直角坐标系，因为5AB AC ==，6BC =，所以()0,0B ，()6,0C ，()3,4A ，设CD xCA yCB =+，因为A 、B 、D 三点共线，所以0x >，0y >，1x y +=，因为21155CE CA CB =+，C 、E 、D 三点共线，所以21155x y=，联立211551x y x y ⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得25x =，35y =，2355CD CA CB =+ ，因为()6,0CB =- ，()3,4CA =- ，所以248,55CD 骣琪=-琪桫 ，248,55DC 骣琪=-琪桫，因为()3,4BA =，所以723255cos BA DCADEBA DC-⋅∠=⋅故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题. 15．B【分析】根据题意：||1OA→=，则有2OA OB OB OC OC OA OA→→→→→→→⋅+⋅+⋅=-，进而移项进行两两组合，2OA OB OA OB OC OC OA→→→→→→→⋅++⋅+⋅=，进一步可以化简为：OA OC OA OB→→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】∵ABC外接圆半径为1，∴||1OA→=，∴22||OA OB OB OC OC OA OA OA→→→→→→→→⋅+⋅+⋅=-=-，∴200OA OB OA OB OC OC OA OA OA OB OC OA OB→→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅++⋅+⋅=⇒⋅++⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0OA OC OA OB→→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设边BC，CA，AB的中点分别为M,N,P，∴2200ON OP ON OP→→→→⋅=⇒⋅=,同理：0,0ON OM OM OP→→→→⋅=⋅=，如图1：若点O不与M,N,P任何一点重合，则ON OP→→⊥，,ON OM OM OP→→→→⊥⊥同时成立，显然不合题意；如图2：不妨设点O 与点M 重合，由ON OP →→⊥，根据中位线定理有由AB ⊥AC ，则2BC =，∴()2222222212311144d d d OP ON AC AB BC ++=+=+==.故选：B.【点睛】类似1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.16．A【分析】由题设知BG AG ⊥、D 为AB 的中点且2CG GD =，结合已知求出CD ，利用向量数量积的运算律有224()()CA CB CA CB CA CB ⋅=+-- 求得CA CB ⋅uu r uu r，再由目标式中向量线性关系的几何意义及三角形三边关系，即可求范围.【详解】∵0BG AG ⋅=，∴BG AG ⊥，连接CG 并延长交AB 于D ，则D 为AB 的中点，且2CG GD =，在Rt AGB △中，12ABGD ==，则3CD =，∵22224()()4432CA CB CA CB CA CB CD AD ⋅=+--=-= ，∴8CA CB ⋅=，2222()[()2]()(3616)(8)CB AB AC CB CA CA CA AC B CB A C AC C =-⋅-⋅=--+⋅+ 220(8)AC =- ，∵CD AD AC CD AD +>>-，即42AC >>，∴()22(80,160)CB AB AC CA ∈-+⋅ .故选：A【点睛】关键点点睛：连接CG 并延长交AB 于D ，根据重心的性质可知D 为AB 的中点且2CG GD =，再由向量数量积的运算律求CA CB ⋅uu r uu r，结合相关向量线性关系的几何意义及三角形三边关系求目标式范围.17．D【分析】根据平面向量数量积的运算律可得到2b a λ- ，根据二次函数性质，利用b a λ- 的最小值构造方程可求得b ，根据数量积的运算律求得2a b - 后可得结果.【详解】222222222cos ,b a b a b a b a b a b a λλλλλ-=-⋅+=-⋅<>+ 225252b b λλ=-+ ，由二次函数性质知：当120b λ= 时，2b a λ- 取得最小值21516b ，min b a λ∴-== 4b = ，2222222cos ,a b a a b b a a b a b b ∴-=-⋅+=-⋅<>+25101631=-+=，a b ∴-=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量数量积的运算律求解向量的模长的问题，解题关键是能够通过平方运算，结合二次函数的性质确定b a λ-取得最小值时b 的值.18．A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+ ，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM xAB = ，()0,0AN y AC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+ ，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=，∴215225)33333332(2)(x y x y y x x y y x +=+=++≥+=+，当且仅当x y =时等号成立.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值.19．C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++ ，利用三角恒等变换思想化简得出224AD B =+ ，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =，()()1112333AD AB BD AB AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，即32AD AB AC =+ ，所以，()()22222229324444cos3AD AD AB AC AC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++ 22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+224sin sin 6cos 224cos23033B B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin cos 6cos 224cos 2sin 2302222B B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212sin cos 6cos 212cos 2sin 2302BB B B B B -=⋅+-+++236B =+，所以，224AD B =+ ，。
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向量高三综合试卷1．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ） A ．2133+b c B ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b c 2．已知O 、A ．M 、B 为平面上四点，且)2,1(,)1(∈-+=λλλ，则（ B ）A ．点M 在线段A 上B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O 、A ．M 、B 四点一定共线3．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边B C ．C A ．AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC （Ａ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直4.设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（ C ） A ．B ．1C ．2D ．35．设向量a ，b ，则|2|a b +=（ B ）A ．2B ．4D 6．已知点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且1AP AB t AC =+，其中t 为实数，若点P 落A C 7．设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为（ D ）A ．2-B 2C ．1-D ．18．已知1e 、2e是两个单位向量，它们的夹角是060，设12122,32a e e b e e =+=-+，则向量a与b 的夹角大小是 ________【答案】120︒(9．已知p =q =3,,p q 如图，若AB =5p +2q ,AC =p -3q ,D 为BC 的中点，则|AD |为 ( A )C.7D.18 10.在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，P 为BC 边中线上的任意一点，则的值为（ B ）A ．﹣12B ．﹣6C ．6D ．12 解：如图所示，设D 为BC 边的中点； ∵在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，∴AD ⊥BC ， ∴BC=2BD=2CD=2ABcos30°=2×2×=2；∴•=（+）•=•+•=﹣×2+0=﹣6；11.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，，则λ+μ的值为（ A ） A ．B ．C ．D ．1解：设则====（）∴ ∴12.过ΔABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D ．E ，若0,,≠==xy AC y AE AB x AD ，则yx11+的值为 （ B ） A ．4B ．3C ．2D ．113.如图，在△ABC 中，=2，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若=m，=n，则mn+m 的最小值为（ D ）62解：由已知，可得===，因为P ，M ，Q 三点共线，所以=1， 所以mn+m===（）（）=≥=2，故选：D ．14.已知点O 是△ABC 所在平面内的一点（O 不在直线BC 上），且=λ+μ，当λ=3，μ=，则△ABC 与△OBC 的面积之比为（C ） A ．B ．C ．D ．4解：设直线AO 交直线BC 于点P ， ∵点B 、C 、P 共线， ∴可设，又∵点A 、O 、P 三点共线，∴可设．又=λ+μ，，解得t=λ+μ，∴． 又∵=，∴|．∴=|1﹣λ﹣μ|==．故选：C ．15.如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，则AC AD ⋅=D（ ）A．B． C．D【解析】AC AD =||||cos AC AD DAC ⋅∠=||cos AC DAC ∠=||sin AC BAC ∠=BD B D。
BC B |sin||sin16.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，BE=λBC，DF=μDC，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（C）A．B．C．D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°+++λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，17.如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且，则AD的长为（B）B C D∵∠A的平分线交BC于D，且，∴四边形AEDF是菱形．∵，∴．∵DE∥AB，∴，∵AB=4，∴ED=3．又∠FAE=60°，，∴=32+32+2×3×3×cos60°=27．∴．18.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若，则（ C ）解：如图所示：∵=，∴x ＜0，y ＜0，故 x+y ＜0，故排除A 、B ．∵|OC|=|OB|=|OA|，∴=x2+y2+2xy •，∴1=x 2+y 2+2xy •cos ∠AOB ．当∠AOB=120°时，x 2+y 2﹣xy=1，即（x+y ）2﹣3xy=1，即（x+y ）2=1+3xy ＞1， 故 x+y ＜﹣1， 故选C ．19．在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，,45AD AB B ⊥∠=°，AB=2CD=2，M 为腰BC 的中点，则MA MD ⋅=（ B ） A ．1 B ．2C ．3D ．420.平面向量=（1，2），=（4，2），=m +（m ∈R ），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ D ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2 解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m +=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D21.在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]22如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（A）A．B．2 C．0 D．123.如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在该单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），点Q 满足=，三角形OAP的面积记为S．则•+S的最大值是（B）A．B．C．D．24.在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜325.已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•+．（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足2acosB≤2c﹣b．求f（A）的取值范围．解：（1）∵向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），∴函数f（x）=•+=sin cos﹣cos2+=sinx﹣（2cos2﹣1）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∴f（x）=sin（x﹣），∵x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴cos（x﹣）＞0，∴cosx=cos[（x﹣）+]=cos（x﹣）cos﹣sin（x﹣）sin==﹣．∴cosx=﹣．（2）根据正弦定理，由2acosB≤2c﹣b，得2sinAcosB≤2sin（A+B）﹣sinB，∴2cosAsinB﹣sinB≥0，∴cosA，∵0＜A＜π，∴0＜A，∴f（A）=sin（A﹣），∵0＜A，∴﹣＜A﹣≤0，∴f（A）∈（﹣，0]，∴f（A）的取值范围（﹣，0]．26.在△ABC中，角A、B、C依次成等差数列，其对边依次分别为a，b，c．（Ⅰ）若cos（B+C）=﹣，求cosC的值；（Ⅱ）若a=3，•=3，求b．解：（1）∵在△ABC中，因为角A、B、C依次成等差数列，∴2B=A+C又∵A+B+C=180°，∴B=60°，由cos（B+C）=﹣，得sin（B+C）==，∴cosC=cos[（B+C）﹣B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=﹣×+×=．（2）由•=3得|||||cos（180°﹣C）=3，即abcosC=﹣3，又a=3，∴bcosC=﹣1，①由正弦定理=得=，∴bcosC+bsinC=3，②将①代入②得bsinC=4，③联立①③可解得b=7。