高三数学空间向量一轮复习

第十三章空间向量1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时 空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有和的量． (2) 向量相等：方向且长度． (3) 向量加法法则：． (4) 向量减法法则：． (5) 数乘向量法则：． 2．线性运算律(1) 加法交换律：a ＋b ＝．(2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝． (3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝． 3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使．基础过关知识网络考纲导读高考导航 空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使． 4．共面向量(1) 共面向量：平行于的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论：． 5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底：的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使．空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使．6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角：． (2) 空间向量的长度或模：．(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos 〈a 、b 〉＝； (b) ⎪a ⎪2＝； (c) a ⊥b ⇔．(4) 空间向量的数量积的运算律： (a ) 交换律a ·b ＝； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝．ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x变式训练1.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是( )A ．-21a ＋21b ＋cB ．21a ＋21b ＋cC ．21a -21b ＋cD ．-21a -21b ＋c解：A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， 求证：AB 1∥平面C 1BD. 证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则ABCD A1B 1CC DC AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB DC =+=+,∴11,,DC AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ． (1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 设.)1(,BF k BC k MN k ACMCEB NB +-===则 (2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a,,21,)122(22=+-=k a k k 即当 也即时AC AM21=a 22= 例3.已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD ⊥BC ； (2) GH ∥BD ．证明：(1) AD ⊥BC ⇔0=⋅BC AD ．因为AB ⊥CD 0=⋅⇔，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而0)()(=+⋅+=⋅． 所以AD ⊥BC ．(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF ，+=＝32(+)＝32． 变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面． 解：CG HC HG +=＝1GC HC +＝1FC ++＝FC A ++11＝+2， 所以,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．例4.如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 21，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．解：设1m =1B AC 234311111++=++=++=∴m m m 2343++=又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴12343=++m m m ∴193=m ∴AP ︰PC 1＝3︰16 变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥． 证明：法一：)(21+=)(21+=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴ )(21AB OC ON QO QN -=+=0)41==⋅∴QN PM故QN PM ⊥法二：·QN ＝(PQ ＋QM )·(QM ＋MN )＝)(21+·)(21+ ＝)(4122-＝0a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，为与共线的向量，则｜||n .5．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d||n .第2课时 空间向量的坐标运算设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝ (2) λa ＝． (3) a ·b ＝．(4) a ∥b ⇔；a ⊥b ⇔．(5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A == 则＝，=．AB 的中点M 的坐标为．－1)，＝(－2,3,5)（1）若(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值； （2）若(k +)⊥(－3)，求实数k 的值； （3）若k k 的值． 解：(1)31-=k ； (2)3106=k ； (3)278-=k 变式训练1.已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ． 解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。

∴721,1,1010OC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：．3)01()10()01(222=-+-+-=.C （0，0，0），B 1（0，1，2）. =(3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴C A .N C B A N C B A 1111,002121⊥∴=++-=⋅∴变式训练2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离． 解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3,0, 0)、C(3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 21, 1)，依题设N(x , 0, z )，则＝(－x , 21, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒163z x ，即点N 的坐标为(63, 0, 1)，从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，63.(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ，则d ||NEyP ED ·＝1233121|)0,21,63(||)0,21,63()1,0,63(|=⨯=--⋅.例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ a PD PB 2==，点E在PD 上，且PE :ED ＝2:1． (1) 证明⊥PA 平面ABCD ；(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC解：（1）证明略；（2）易解得 30=θ； （3）解以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为)0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A - )31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,21,23(a a ， =AP ),,0,0(a =PC ),21,23(a a a - =BP ),21,23(a a a -，设点F 是棱PC 上的点，==λ),21,23(a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-221131)1(3221)1(2123)1(23λλλλλλλa a a a a a a解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2321+-=．亦即，F 是PC 的中点时，AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.(1) 求和点G 的坐标；(2) 求GE 与平面ABCD 所成的角； (3) 求点C 到截面AEFG 的距离．解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-= 又∵=，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=y)2,4,1(=GE ，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则21212||||)2cos(=⋅=-GE DG GE DG θπ∴21212arcsin=θ (3)设0n ⊥面AEFG ，0n ＝(x 0，y 0，z 0)∵0n ⊥AG ，0n ⊥AE ，而AG ＝(－1，0，1)，AE ＝(0，4，3)∴),43,(430340000000000000z z z n z y z x z y z x -=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+- 取z 0＝4，则0n ＝(4，－3，4) ∵414116||),4,0,0(00==∴=n n CF d CF 即点C 到截面AEFG 的距离为414116． 变式训练4.如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 31=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF的值． 解：(1)以G 点为原点，GP GC GB 、、为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)， P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)，PC ＝(0，2，4)。