2020高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理教师用书理

第十二节 定积分与微积分基本定理
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
自|主|排|查
1．定积分的定义
一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n
个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1
n
f (ξi )Δx ＝∑i ＝1
n
b －a
n
f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a
b f (x )d x 。

2．定积分的相关概念
在⎠⎛a
b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，
x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。

3．定积分的性质
(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a
b f (x )d x (k 为常数)；
(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a
b f 2(x )d x ；
(3)⎠⎛a
b f (x )d x ＝⎠⎛a
c f (x )
d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x (其中a <
c <b )。

4．定积分的几何意义 如图：
设阴影部分面积为S 。

(1)S ＝⎠⎛a
b f (x )d x ；
(2)S ＝－⎠⎛a
b f (x )d x ；
(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x ；
(4)S ＝⎠⎛a
b f (x )d x －⎠⎛a
b g (x )d x ＝⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x 。

5．微积分基本定理
如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛a
b f(x)d x ＝F (b )－F (a )。

其中F (x )叫做f (x )的一个原函数。

可以把F (b )－F (a )记为F (x )| b
a ，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝F (x )| b
a ＝F (
b )－F (a )。

微点提醒
1．定积分应用的两条常用结论
(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于
x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零。

(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程。

2．函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0
a f (x )d x 。

(2)若f (x )为奇函数，则⎠
⎛a －a f (x )d x ＝0。

小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修2－2P 50A 组T 5改编)定积分⎠
⎛1－1|x |d x ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛0
1x d x ＝2⎠
⎛0
1x d x ＝x 2
| 1
0＝1。

故选A 。

【答案】 A
2．(选修2－2P 65A 组T 5改编)曲线y ＝x 2
＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.1
6
B.13
C.56
D.2
3
【解析】 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
＋2x ，
y ＝x ，可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0，所以曲线y ＝x 2
＋2x 与直线y ＝x 所围成的封
闭图形的面积如图为⎠
⎛0－1(x －2x －x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－13x 30－1＝16。

故选A 。

【答案】 A 二、双基查验
1．(2016·沈阳模拟)定积分⎠⎛0
1(2x ＋e x
)d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
【解析】 ⎠⎛0
1(2x ＋e x
)d x ＝(x 2
＋e x )1
0＝1＋e 1
－1＝e 。

故选C 。

【答案】 C
2．若s 1＝⎠⎛1
2x 2d x ，s 2＝⎠⎛121x
d x ，s 3＝⎠⎛1
2e x
d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )
A ．s 1＜s 2＜s 3
B ．s 2＜s 1＜s 3
C ．s 2＜s 3＜s 1
D ．s 3＜s 2＜s 1
【解析】 因为s 1＝13x 321＝13(23－13)＝7
3
＜3；
s 2＝ln x 21＝ln2－ln1＝ln2＜1；s 3＝e x 21＝e 2
－e ＞3。

所以s 2＜s 1＜s 3。

故选B 。

【答案】 B
3．(2017·包头模拟)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.10
3 B ．
4 C.163
D ．6
【解析】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积。

由⎩⎨
⎧
y ＝x ，y ＝x －2
得交点A (4,2)。

因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛0
4(x －x ＋2)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝2
3×8－12×16＋2×4＝163。

故选C 。

【答案】 C
4．已知t ＞1，若⎠⎛1
t (2x ＋1)d x ＝t 2
，则t ＝________。

【解析】 ⎠⎛1
t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )t 1＝t 2
＋t －2，
从而得方程t 2
＋t －2＝t 2
，解得t ＝2。

【答案】 2
5．汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－2 m/s 2
刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的距离是________m 。

【解析】 先求从刹车开始到停车所用的时间：
t ＝0时，
v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ， 由v (t )＝0可得：t ＝5 s ，
所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛0
5v (t )d t ＝
⎠⎛0
5(10－2t )d t ＝(10t －t 2)5
0＝25(m)。

即汽车从开始刹车到停车，共行驶了25 m 。

【答案】 25
【典例1】 (1)⎠⎛0
π
1
(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ∈[0，1]，1
x
，x ∈1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0
e f (x )d x 的值为________。

【解析】 (1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0
πcos x d x ＝2。

(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－x －
2
，得(x －1)2＋y 2
＝4(y ≥0)，表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x
轴上方的部分，
所以⎠
⎛1
33＋2x －x 2
d x 是圆面积的14。

所以⎠
⎛1
33＋2x －x 2d x ＝14·π·22
＝π。

(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ∈[0，1]，1
x
，x ∈，e]，
因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3′＝x 2
，(ln x )′＝1x ，
所以⎠⎛0
e f (x )d x ＝⎠⎛0
1x 2
d x ＋⎠⎛1
e 1x
d x ＝13＋1＝43。

【答案】 (1)2 (2)π (3)4
3
反思归纳 计算定积分的步骤
1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差。

2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分。

3．分别用求导公式找到一个相应的原函数。

4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值。

5．计算原始定积分的值。

【变式训练】 ⎠⎛1
e 1x
d x ＋⎠⎛2－24－x 2
d x ＝________。

【解析】 ⎠⎛1
e 1x
d x ＝ln x e
1＝1－0＝1，
因为⎠⎛2－24－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4的x 轴上方的面积，故⎠⎛2－24－x 2d x ＝12π×22
＝2π，故答案为
2π＋1。

【答案】 2π＋1
【典例2】 (2016·青岛模拟)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( ) A.
32
9
B ．4－ln3
C ．4＋ln3
D ．2－ln3
【解析】 画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数。

由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：
由⎩⎪⎨
⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1(舍)。

由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ，x ＝3，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3y ＝3。

故阴影部分的面积为⎠⎛1
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x 3
1＝4－ln3。

故选B 。

【答案】 B
反思归纳 利用定积分求平面图形面积的步骤 1．根据题意画出图形。

2．借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限。

3．把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和。

4．计算定积分，写出答案。

【变式训练】 (1)(2016·青岛模拟)若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的
阴影部分的面积为________。

(2)(2015·福建高考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2。

若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________。

【解析】 (1)由图象可知A ＝1，T 2＝2π3－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3＝π，所以ω＝1，
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π6。

图中其与x 轴的交点横坐标为π6
，所以图中的阴影部分的面积为
∫
π60⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6d x ，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6′＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以原式＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6π
60＝1－32。

(2)依题意知点D 的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD 的面积S ＝1×4＝4，阴影部分的面积S 阴影＝4－⎠⎛1
2x 2
d x ＝4
－13x 321＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P ＝S 阴影S ＝5
34＝512。

【答案】 (1)1－
32 (2)5
12
【典例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋25
1＋t (t 的
单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A ．1＋25ln5
B ．8＋25ln 11
3
C ．4＋25ln5
D ．4＋50ln2
(2)已知作用于某一质点的力F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，0≤x ≤1，
x ＋1，1＜x ≤2(单位：N)，则力F (x )从x ＝0处运动到x ＝2处(单
位：m)所做的功为________。

【解析】 (1)7－3t ＋25
1＋t
＝0，
t ＝4或t ＝－83
＜0(舍去)。

⎠⎛04⎝
⎛⎭⎪⎫7－3t ＋
251＋t d t ＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤7t －32t 2＋＋t 40＝4＋25ln5，故选C 。

(2)根据题意，力F 所做的功为W ＝⎠⎛0
1x 2
d x ＋
⎠
⎛1
2(x ＋1)d x ＝13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 21＝17
6(J)。

【答案】 (1)C (2)17
6
J
反思归纳 定积分在物理中的两个应用
1．求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程
s ＝⎠⎛a
b v (t )d t 。

2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛a
b F (x )d x 。

【变式训练】 (1)物体A 以v ＝3t 2
＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2
＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位：N)
【解析】 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为
⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0
t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2
＋1－10t ，
所以⎠⎛0
t (3t 2
＋1－10t )d t ＝(t 3
＋t －5t 2)t
0＝t 3
＋t －5t 2
＝5，
整理得(t －5)(t 2
＋1)＝0，解得t ＝5。

故选C 。

(2)变力F (x )＝x 2
＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝∫10
1F (x )d x ＝∫10
1(x 2
＋1)d x 因
为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3＋x ′＝x 2
＋1，所以原式＝342(J)。

【答案】 (1)C (2)342
1．定积分⎠
⎛2－2|x 2
－2x |d x 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析 ⎠
⎛2－2|x 2
－2x |d x
＝⎠
⎛0－2(x 2
－2x )d x ＋⎠⎛0
2(2x －x 2
)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x
3
3－x 2
0－2＋⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
－x
3
320
＝83＋4＋4－8
3＝8。

故选D 。

答案 D
2．(2016·怀化模拟)定积分⎠⎛0
1x
－x d x 的值为( )
A.
π4
B.
π
2
C ．π
D ．2π
解析 令y ＝x
－x
，则(x －1)2
＋y 2
＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义可知，⎠⎛0
1x
－x d x 的值为区
域⎩⎪⎨⎪⎧
x －2
＋y 2
＝y ，
0≤x ≤1
的面积，即以(1,0)为圆心，1为半径的圆面积的14，即π
4。

故选A 。

答案 A
3．(2017·莆田模拟)如图，由函数f (x )＝e x
－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )
A ．e 2
－2e －1 B ．e 2
－2e C.e 2－e
2
D ．e 2
－2e ＋1
解析 由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛1
2(e x
－e)d x ＝
(e x －e x )21＝(e 2
－2e)－(e －e)＝e 2
－2e 。

故选B 。

答案 B
4．(2016·江西八校联考)计算：⎠
⎛3－3(x 3
cos x )d x ＝________。

解析 ∵y ＝x 3
cos x 为奇函数， ∴⎠
⎛3－3(x 3
cos x )d x ＝0。

答案 0
5．(2016·北京模拟)如图，圆O ：x 2
＋y 2
＝π2
内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是________。

解析 阴影部分的面积为2⎠⎛0
πsin x d x ＝2(－cos x )π0＝4，圆的面积为π3
，所以点A 落在区域M 内的概率是4π
3。

答案
4π
3。