9年级题目收集：22：二次函数切线与等线段问题

题干：
如图，过点P 作抛物线2y ax bx c =++（0a >）的两条切线，切点分别为M 、N ，过点P 作x 轴垂线交抛物线于C .
（1）求证：2M N P x x x +=；
（2）求证：PC QC =. 【解析】 法一：设点法
①设M 、N 坐标，进而求PM 、PN 的解析式
设()
2,M m am bm c ++，()
2,N n an bn c ++.
设PM ：11y k x b =+，PN ：22y k x b =+
联立11
2
y k x b y ax bx c
=+⎧⎪⎨=++⎪⎩，得()()2110ax b k x c b +-+-=， 由题知：10=△，则()()2
1140b k a c b --⋅⋅-=，∴
114b k b c a
-=-，∴PM ：()
2
114b k y k x c a
-=+-
.
将()2,P m am bm c ++代入得()
2
1214b k am bm c k m c a
-++=+-
，得()2
120k am b --=，12k am b =+，∴PM ：
()2
2y am b x c am =++-. 同理：PN ：()22y an b x c an =++-.
②联立PM 、PN 的解析式进而求P 的坐标，证明2M N P x x x +=
联立：()()2
2
22y am b x c am y an b x c an
⎧=++-⎪⎨=++-⎪⎩，得2
1122
m n x y amn bm bn c +⎧
=⎪⎪⎨⎪=+++⎪⎩，则2P m n x +=，1122P y amn bm bn c =+++，∴2
M N
P x x x +=，即2M N P x x x +=.
③求MN 的解析式，进而求Q 的坐标
设MN ：33y k x b =+，则2
332
33mk b am bm c
nk b an bn c
⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得33k am an b b c amn =++⎧⎨=-⎩，MN ：()y am an b x c amn =+++-. 令()y am an b x c amn =+++-中2m n x +=，得221111
2222
y am an bm bn c =++++.
则22211112222
Q Q m n x y am an bm bn c +⎧=⎪⎪⎨⎪=++++⎪⎩.
令2y ax bx c =++中2m n x +=，则2211111
44222
y am an amn bm bn c =+++++
则2221111144222C C m n x y am an amn bm bn c +⎧=⎪⎪⎨⎪=+++++⎪⎩.
③证明Q C C P y y y y -=-，即2P Q C y y y +=
∵22111111222222P Q y y amn bm bn c am an bm bn c ⎛⎫⎛⎫
+=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2211
222
am an amn bm bn c =+++++
22111112244222C y am an amn bm bn c ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭221
122
2am an amn bm bn c =+++++
∴2P Q C y y y +=
∴C P Q C y y y y -=-
∴CP PQ =.
法二：设线法
设PM 、PN 的解析式，进而求出M 、N 的坐标，PM 、PN 的解析式 设PM ：11y k x b =+，PN ：22y k x b =+
联立112
y k x b y ax bx c =+⎧⎪⎨=++⎪⎩
，得()()2
110ax b k x c b +-+-=①，由题知：10=△，则()()21140b k a c b --⋅⋅-=，∴()
2
114b k b c a
-=-
，∴PM ：()
2
114b k y k x c a
-=+-
由①得122
1
244M M k b x a
k b ac y a -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩
. 设PN ：22y k x b =+，同理：PN ：()
2
224b k y k x c a
-=+-
，222
2244N N k b x a k b ac y a -⎧
=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩
联立：()()2
112
2244b k y k x c a
b k y k x
c a ⎧-=+-⎪⎪⎨-⎪=+-⎪⎩
，解得122122444k k b x a k k b ac y a +-⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，∴12212
2444P P k k b x a k k b ac y a +-⎧
=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩ ∵12M k b x a -=，22N k b x a -=，1224P k k b
x a +-=
∴1222M N k k b x x a +-+=，12222P k k b
x a
+-=，∴2M N P x x x +=.
②求MN 的解析式进而求Q y
设MN ：33y k x b =+，将1221244M M k b x a k b ac y a -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，2222244N N k b x a k b ac
y a -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩代入得22113322
2233424424k b k b ac k b a a k b k b ac k b a
a ⎧--+⋅+=⎪⎪⎨--+⎪⋅+=⎪⎩，解得1232
12123=244k k k k k bk bk b ac b a +⎧⎪⎪⎨-++-+⎪=⎪⎩
， MN ：2121212424k k k k bk bk b ac
y x a +-++-+=
+ 令2121212424k k k k bk bk b ac y x a +-++-+=+
中1224k k b
x a +-=，得22212288k k b ac y a +-+=，∴222
1
2288Q k k b ac
y a
+-+=
③求C y
令2
y ax bx c =++中1224k k b
x a
+-=，得2221212+241616k k k k b ac y a +-+=，∴2221212+241616C k k k k b ac y a +-+=
④证明Q C C P y y y y -=-，即2P Q C y y y +=
∵21244P k k b ac y a -+=，22212288Q k k b ac y a
+-+=，2221212+241616C k k k k b ac
y +-+=
∴222121224168P Q k k k k b ac y y a ++-++=，2221212241628C k k k k b ac
y a
++-+=
∴2P Q C y y y +=
∴C P Q C y y y y -=- ∴CP PQ =.。