矩阵加法秩不等式证明

矩阵加法秩不等式证明
本文将证明一个矩阵加法秩不等式，即对于任意两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)。

首先，我们可以将A和B按列拼接成一个新的矩阵C，即C = [A|B]。

因此，我们可以将A+B表示为C乘以一个向量[1;1]，即(A+B) = C[1;1]。

接下来，我们考虑对C进行列变换，使得C的前rank(A)列构成一个线性无关的列向量组，后面的列向量为线性相关。

这可以通过对C进行初等列变换实现，而不改变矩阵乘积C[1;1]的值。

我们将变换后的矩阵记为C'，则C'的前rank(A)列构成一个线性无关的列向量组，后面的列向量都可以表示为前面列向量的线性组合。

因此，我们可以将C'表示为C' = [A'|B']，其中A'为C'的前rank(A)列，B'为C'的后面的列向量。

现在，我们将C'乘以向量[1;1]，即有(A+B) = C'[1;1]，而C'的第i+1列可以表示为A'的线性组合，因此可以得到：
(A+B) = C'[1;1] = A'[1;1] + B'[1;1] = A[1;1] + (B-
A')[1;1]
由于B-A'的每一列都可以表示为A和B的对应列的线性组合，因此B-A'的秩不超过rank(B)+rank(A')，即rank(B-A') ≤
rank(B)+rank(A')。

因此，我们可以得到：
rank(A+B) ≤ rank(A)+rank(B-A') ≤
rank(A)+rank(B)+rank(A') ≤ rank(A)+rank(B)
因此，我们证明了矩阵加法秩不等式。