第三章 血液的流动(11年生命)吉林大学药用物理

重要公式
— 伯努利方程
P — 压强能密度；
1 v 2 动能密度； — 2 gh — 势能密度。
动能定理： 合外力做功A= 物体动能增量⊿E
A F1v1t F2v2 t G p1S1v1t p2 S2v2 t G
S1v1t S2v2 t V
G (mgh2 mgh1 )
四 .伯努利方程的应用 应用时注意的问题： （1）选一流线，取流线上2点（有必要时选3点） 建立方程 （一个已知点，一个待求点）； （2）常与连续性方程联合使用（求解 P, v, h) ；
（3）与大气接触处的压强为 P0 ，方程中的压 强 P不是静压强；
（4）单位：帕斯卡 (Pa) 单位换算： 1atm = 760mmHg =1.013105 Pa 1mmHg=133.3Pa
作用于S1的压力为 F1 P S1 1 则F1作的功为
A1 F1v1t P S1v1t 1
作用于S2的压力为 则F2作的功为
F2 P2 S2
A2 F2v2 t P2 S2v2 t
所以，前后流体对这部分流体的压力所作的 总功为
A A1 A2 P S1v1t P2 S2v2 t 1
v1

P2
h2
P 1
h1
S 1 S1’和S 2 S2’两段流体的流量相同，质 量也相同，用 m 表示。
S 1 S1’和S 2 S2’两段流体的总能量分别为：
S1 S1 S2

v1

v2
S2
1 2 E1 mv1 mgh1 2
P2
h2
P 1
h1
1 2 E2 mv2 mgh2 2
= f (x, y, z)
3. 流线（stream line）
在流体中人为地引入一些曲线，这些曲 线上任一点的切 线方向都与流体 VＣ VＢ VＡ 质点流经该点速 度方向一致，这 些曲线称为流线。
A
B C
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
A •
• B
定常流动时流线的特点： （1）任何两条流线不可能相交; （2）流线形状不随时间的推移而改变; （3）流线疏的地方,平均流速小;流线密的地 方,平均流速大;
S11 = S22+ S33+ S44
三 .伯努利方程（Bernoulli equation）
功能原理： 外力作功+非保守内力作功 = 机械能增量 即
A E
证明：
设理想流体作定常流动。
S1
S1
S2

v1

v2
S2
P2
h2
P 1
h1
外力作功： 由于是理想流体，流管外部的流体的正 压力始终与流速方向垂直，因此不作功。所 以只有流体前后的压力作功。
t 时间内流过S1面的流体体积为 S1v1t ，
S1v1t S2v2 t
得
S1v1 S2v2
S v 恒量
或
上两式称为流体的连续性方程。 物理表述： 沿一流管，流量守恒。 适用条件： 理想流体，定常流动，同一流管。
v
根据连续性方程 S1v1 S2v2 可得结论：
S , v ; S , v
依题意，可有
PA PB P0 , v A 0 , hA h , hB 0
代入伯努利方程中，则
A •
1 2 gh vB 2
• B
vB 2 gh
装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔，敞口与小孔处 都与大气相通。 上式适用的条件： （1）大容器：A=0； （2）两端都开口：PA= PB= PO ； （3）h是小孔到液面的距离。 类似装置：
A、B两点近似为同高点； 而vA= 0，则
1 2 PA PB vB (1) 2 PA PB gh (2)
数学表述 S1v1 = S2v2 或 Sv = 恒量 证明：
在作定常流动的理 想流体中任取一截面很 小的流管，S1和S2为任 意垂直于流管的两截面， 两截面处流体的流速分 别为v1 和v2
S1v1t

t
S 2v2 t
S2

v2
v1
v1t
v2 t
S1
流过S2面的流体体积为 S 2 v2 t，流体不可压缩， 则两者相等，即
2 A 2 B 2 A 2 B
h
PA PB gh
2 A 2 B
A

B

1 S S 2 v A gh 2 2 SB
SA
SB
解之，得
vA SB
2 gh S A SB
2 2
vB S A
2 gh S A SB
2 2
Q S Av A S B vB S A S B
重要公式
式中：
P — 压强能密度；
1 2 v — 动能密度； 2 gh — 势能密度。
数学表述：
1 2 P v gh 恒量 2
物理意义： 沿一流线，能量密度守恒。
应用条件： 理想流体，定常流动，同一流线。
若理想流体在水平管中做定常流动，则方程 变为
1 2 P v 常量 2
应用一：小孔流速问题 例1：一个很大的开口容器，开口面积为SA，器壁 上距水面h处开有一小孔，截面积为SB（SA>>SB)。 求：小孔处液体的流速B=?
A •
解： 选流线如图，对A、B两 点的方程为
•
1 2 PA v A ghA 2 B 1 2 PB vB ghB 2
1 1 2 2 PA v A PB vB 2 2
则
由压强计可得
1 2 PB PA v A 2
PB PA gh
v A 2 gh

h

A
B
例4：皮托管测气体或液体流速。 解：
1 2 PA v A ghA 2 1 2 PB vB ghB 2
2 gh S A SB
2 2
汾丘里（Venturi）流量计装置的特点： 一支粗细不同的管子水平放置，在粗细 不等的两处接出压强计。 类似装置：
气体或液体 A • B
h
•
• A
• B
h
A
B
气体或液体
hB P0
hA
应用三：测速仪原理
例3：皮托管测水流速度。 解：
A点即流体流动的速度； B点是停滞点，vB= 0。 在B点流体的动能转变 为压强能，因此B管中 液面上升，高于A管。 A、B两点同高，过A、 B两点选流线，则可得
S1v1t S 2v2 t V A ( P P2 )V 1
机械能增量： S 1 S 2间流体与S1’ S2’间流体的能量差等于S 1 S1’和S 2S2’两段流体的能量差。因此将S 1S1’和 S 2S2’两段的流体作为研究对象。 S2 S2 S1 v2 S1
第 三 章
血 液 的 流 动
§3.1 理想流体的定常流动
思考题（日常生活中的流体现象） ① 轻轻拧开水龙头，水流平稳缓慢流 动（定常流动）时，水流的形状为 以下哪种，为什么？
② 两个木船在同一方向平行前进时，彼此互相 靠拢，解释这一现象。
一.基本概念
1. 理想流体（ideal fluid） 绝对不可压缩的完全无黏性的流体. 2. 定常流动（steady flow） 流体质点的速度矢量不随时间改变的流动.
6. 静压强
液体静止时各点的压强。
F （1）定义： P S
（2）单位：帕斯卡 （Pa） （3）物理意义：单位面积上所受到的力 结论：在连通的同种静止的流体中:
A• B•
h C•
PA=PB PC - PB=ρgh
例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银 做测量液体, 求：P1- P2= ? 解：当定常流动时，U形压强 计中的流体是静止的，符 合静压强的有关规律。
v 大的地方 P 小；v 小的地方 P 大。
结合连续性方程给出的 S , v ; S , v ，则有
S , v , P ; S , v , P
若理想流体是静止的，则方程变为
P gh
式中 P 是高度差为 h 的两点的压强差，即 静压强，所以静止流体是流动流体的特例。
A • A •
h
•B
h
•B
A •
同理，可得
h
vB
2 gh
B •
• A
h
• B
应用二：流量计原理 汾丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做成 的，粗部和细部分别接有一根竖直的管。用竖 直细管可测量不同截面处的压强差, 然后计算出 流速或流量.
汾丘里（Venturi）流量计的设计原理
例2： 汾丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做 成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如 图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高 度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q = ?
对作定常流动的实际流体或粘性流体来 说连续性方程仍然成立。只不过这种情况下 截面上各点流速不同，因此式中的流速应为 该截面处的平均流速,即
S v 恒量
例：请列出下面两种流管分布的连续性方程
1 • •
2•
2
1• 3• 4•
S11 = S22
∵ S1>S2 ∴ 1< 2
即 S , v ; S , v
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要求
1. 理论课共计60学时（内容：三、四、 六、七、八、十一、十二、十六） 2. 实验课共计30学时 3. 大学物理课成绩 理论课考试70分+实验成绩20分 +平时10分=100分
5. 按时交作业
6. 本书备有习题解答 7. 遵守课堂纪律，不要迟到 本学期理论课任课教师 – 唐笑年 办公室电话：85619491
E E2 E1 1 1 2 2 E ( mv2 mgh2 ) ( mv1 mgh1 ) 2 2
根据功能原理
A E ，则有
1 2 (P1 P2 )V ( mv2 mgh2 ) 2 1 2 ( mv1 mgh1 ) 2 1 2 P V mv1 m gh1 1 2 1 2 P2 V mv2 m gh2 2
解：过A、B两点选流线 如图,则
h
A

B
1 1 2 2 PA v A PB vB 2 2 PA PB gh
SA
SB
S AvA S B vB
SA vB vA SB
1 1 S 2 2 2 2 PA PB (vB v A ) ( v A v A ) 2 2 S 1 S S 2 vA 2 2 SB
•1
2• h Δh
水流
3 •
• 4
P3 = P4 P3 = P1 P4 = P2+ρ银 gΔh
联立求解得： P1 - P2 = ρ银 gΔh
Δh

水流
1
2
2
•
P1 – P2 = ρ水gΔh
Δh 2 • 1 •
1

水流
Δh
水 流
ρ银
P1 – P2 = ρ水 gΔh
P1 – P2 = ρ银gΔh
二. 连续性方程（continuity equation）
所以
A p1V p2 V mgh1 mgh2
1 2 1 2 E mv2 -=ΔE
1 1 2 2 p1V mv1 mgh1 p2 V mv2 mgh2 2 2
1 1 2 2 p1V mv1 mgh1 p2 V mv2 mgh2 2 2
设流体的密度为 ，则
m V
将上式两边同时除以 V，整理后得
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2
由于截面S1、S2是任意取的，故可将脚标去 掉，即对细流管的任一截面 ，有
1 2 P v gh 恒量 2
式中：
同一流管
1 2 pV mV mgh 常量 2
m 有 V
等式两边同除 V 利用
移项
1 1 2 2 p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
由于1点、2点的任意性,可得到伯努利方程
同一流线
1 p V 2 gh 常量 2
此式称为伯努利方程
（4）流线的形状与流体质点的运动轨迹相同.
4. 流管（Stream Tube） 由流线围成的管状曲面.
定常流动时流管的特点： （1）形状不随时间改变 （2）流管内外无物质交换
5. 流量
（1）定义：Q = S •
（2）单位 ：米3/秒 （m3s-1）
（3）物理意义：单位时间内流过垂直流管
截面S的流体的体积。