2022年春浙教版九年级数学中考二轮复习《几何图形最值问题》专题提升训练(附答案)

2022年春浙教版九年级数学中考二轮复习《几何图形最值问题》专题提升训练（附答案）一．垂线段最短
1．已知⊙O的半径为5，P是⊙O内的一点，且OP＝3，若过点P任作一直线交⊙O于A、B两点，则△AOB周长的最小值为．
二．菱形的性质
2．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
三．轴对称-最短路线问题
3．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）
A．B．C．6D．3
4．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）
A．B．2C．2D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）
A．B．C．5D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）
A．B．C．5D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上的动点，E是BC上的动点，则AE+DE的最小值为（）
A．3+2B．10C．D．
8．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）
A．10B．8C．5D．6
10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
11．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
12．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）
A．130°B．120°C．110°D．100°
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A．B．4C．D．5
14．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）
A．B．C．D．
15．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）
A．2B．2+C．4D．4+2
16．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2B．2C．3D．
17．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）
A．B．1C．D．2
18．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）
A．6B．3C．2D．4.5
19．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l 对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）
A．4B．3C．2D．2+
20．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）
A．1B．C．2D．+1
21．如图所示，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是（）
A．14B．28C．6D．10
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）
A．3B．4C．5D．6
23．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别为AB，BC 边上的中点，则MP+NP的最小值是（）
A．2B．1C．D．
24．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是．
25．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．
26．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．
27．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．
28．已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM ＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是．
29．如图，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．
30．在锐角三角形ABC中，BC＝，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．
31．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．
32．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从
A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平
面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是．
33．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．
34．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最小值为．
35．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE 的最小值为．
36．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．
37．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝．
38．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．
39．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE＝2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是．
40．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．
41．问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
42．（1）观察发现：
如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．
（2）实践运用：
如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
43．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB＝10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON＝30°，新开发区B到公路MN的距离BC＝3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为；
（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路P A，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时P A+PB＝（千米）．
44．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．
45．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
46．几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
47．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
48．某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电．已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA1＝2km，BB1＝1km，且A1B1＝4km．
（1）如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？
参考答案
一．垂线段最短
1．解：如图，CD为过P点的直径，CD⊥AB于P，则AB为过P点最短的弦，即此时△AOB的周长有最小值，
∵OP⊥AB，
∴P A＝PB，
在Rt△AOP中，AP＝＝4，
∴AB＝8．
∴△AOB周长的最小值为18，
故答案为：18．
二．菱形的性质
2．解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP ＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
三．轴对称-最短路线问题
3．解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB ＝120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH＝DH，
∵∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝，
CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝3．
故选：D．
4．解：如图，在BA上截取BE＝BN，
因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM＝∠NBM，
在△BME与△BMN中，
所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME＝MN．
所以CM+MN＝CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4×sin60°＝．
故选：C．
5．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，
则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′＝2AC＝2×3＝6，
∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝，
∴sin∠BAC＝，
∴A′D＝AA′•sin∠BAC＝6×＝，
即AE+DE的最小值是．
故选：B．
6．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△P AB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝，
即P A+PB的最小值为．
故选：D．
7．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，
则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′＝2AC＝2×6＝12，
∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴sin∠BAC＝＝＝，
∴A′D＝AA′•sin∠BAC＝12×＝，
即AE+DE的最小值是．
故选：D．
8．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠F AD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
9．解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB 于F点，
AC＝5，
AC边上的高为＝＝2，所以BE＝4．
∵△ABC∽△EFB，
∴＝，即＝
EF＝8．
故选：B．
10．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故选：B．
11．解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB＝CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选：D．
12．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°，
∴∠AA′M+∠A″＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故选：B．
13．解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10．
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：C．
14．解：A、PQ+QM＝8+2＝10km；
B、∵QM+PM＝P′Q，P′Q2＝82﹣（5﹣2）2+（5+2）2＝104，
∴P′Q＝2km＞10km；
C、QM+PR＝5+＞10；
D、PM+QM＝5+＞10．
综上所述，A选项铺设的管道最短．
故选：A．
15．解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴，
∴PM′＝PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN＝AC
∴PM＝PN＝1，MN＝
∴AC＝2，
AB＝BC＝2PM＝2PN＝2
∴△ABC的周长为：2+2+2＝4+2 ．
故选：D．
16．解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．
17．解：如图，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N＝AB＝1，
∴MP+NP＝M′N＝1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
18．解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M使PE+PM取得最小值，
PE+PM＝PE′+PM＝E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6，BD＝6，
∴AB＝＝3，
由S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•E′M得×6×6＝3•E′M，
解得：E′M＝2，
即PE+PM的最小值是2，
故选：C．
19．解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，最小值为AA′的长．
∵AA′＝AB+A′B＝2+2＝4，
∴AD+CD的最小值为4．
故选：A．
20．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当P′Q⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴P′Q＝CP′＝BC•sin B＝2×＝．
故选：B．
21．解：如图：
作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，
则E′F就是HE+HF的最小值，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴E′F AB，
而由已知可得AB＝＝10，
∴HE+HF的最小值为10．
故选：D．
22．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，
∴AB＝＝5，
作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD＝AB，
∴AE＝AE′，
∵F是BC的中点，
∴E′F＝AB＝5．
故选：C．
23．解：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形AM′BN是平行四边形，
∴PN∥AB，
又N是BC边上的中点，
∴PN是△CAB的中位线，
∴P是AC中点，
∴PM∥BN，PM＝BN，
∴四边形PMBN是平行四边形，
∵BM＝BN，
∴平行四边形PMBN是菱形．
∴MP+NP＝BM+BN＝BC＝1．
故选：B．
24．解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD 的和的最小值．
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC，
∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，
∴PB＝AP，
∵AP+BP＝AB＝5，
∴AP＝3，BP＝2，
∴PD＝＝＝3，PC′＝＝＝2，∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，
∴PC+PD的最小值是5，
故答案为5．
25．解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC 于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，
∴BC＝＝9，
S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，
∴3×＝9AF，
AF＝2，
∴AA'＝2AF＝4，
∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，
∴∠A'＝∠C，
∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴，
∴，
∴A'E＝，
即AD+DE的最小值是；
故答案为：．
26．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′＝＝．
故答案为．
27．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝6．
∵∠POC＝∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ＝6×＝3，
∴PQ＝6﹣3
设MQ＝x，则PM＝CM＝3﹣x，
∴（3﹣x）2﹣x2＝（6﹣3）2，解得x＝6﹣9，
∴MN＝2MQ＝12﹣18，
∵S△PMN＝MN×PQ，
S△MON＝MN×OQ，
∴S四边形PMON＝S△MON+S△PMN＝MN×PQ+MN×OQ＝MN×OP＝×（12﹣18）×6＝36﹣54．
故答案为36﹣54．
28．解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，
则MN′的长度等于PM+PN的最小值，
即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，∵∠ON′M＝90°，OM＝4，
∴MN′＝OM•sin60°＝2，
∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2．
29．解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，
连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM＝DN，
∵∠NPB＝∠APQ，
∴∠N＝∠BAC＝30°，
∵∠BAC＝30°，AM＝2，
∴MD＝AM＝1，
∴MN＝2，
∴NQ＝MN•cos∠N＝2×＝，
故答案为：．
30．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC＝，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．
故答案为：4．
31．解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，
此时DE+CE＝DE+EC′＝DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1，
根据勾股定理可得DC′＝＝．
故答案为：．
32．解：点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向x轴作垂线与过A1和x 轴平行的直线交于C，
则A1C＝6，BC＝8，
∴A1B＝＝10
∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．
故填10．
33．解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN＝BM＝AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB＝＝5，
∴EN＝AB＝5，
∴PM+PN的最小值为5．
故答案为：5．
34．解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，
∴CE′＝2，
在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，
∵BE＝EA＝2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长＝2，
故答案为2．
35．解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED＝B′E+ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，
BG＝＝＝3，
∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，
在Rt△B′DG中，B′D＝＝＝．故BE+ED的最小值为．
故答案为：．
36．解：连接DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D＝P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为2，
∴BD＝2，BE＝1，DE＝，
∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝+1，
故答案为：+1．
37．解：取AB的中点Q，连接M，NQ，NQ交BD于P，连接MP，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠QBP＝∠MBP，AB∥CD，AB＝BC＝CD，
∵BM＝BC，BQ＝AB，
∴BM＝BQ．
∴BP垂直平分QM，
∴Q，M关于BD对称，
∴PM+PN＝PQ+PN＝NQ，此时MP+NP的值最小，
∵CN＝CD，
∴CN＝BQ．
∵CN∥BQ，
∴四边形BQNC是平行四边形，QN∥BC．
∴NQ＝BC，QP为△ABD的中位线，
∴点P为BD的中点，连接AC，则AC经过点P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝5，
故答案为：5．
38．解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝120°，
∴∠HAD＝60°，
∵DH⊥AB，
∴AH＝AD，DH＝AD，
∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
∴AE＝2，AH＝2，
∴EH＝4，DH＝2，
在Rt△EHD中，DE＝＝＝2，
∴EF+BF的最小值为2．
故答案为：2．
39．解：如图，作EO⊥AC，并延长EO交AD于点E′，
∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，
∴点E、E′关于AC对称，
∴PE＝PE′，AE＝AE′，
∴PE+PB的最小值即线段BE′的长．
∵AE＝2，AB＝6，
∴AE′＝2，
在直角三角形ABE′中，由勾股定理得，
BE′＝＝＝2，
∴PE+PB的最小值是2．
故答案为2．
40．解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；
（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∵BC＝6，BC边上的高为4，
∴DE＝3，DD′＝4，
∴D′E＝＝＝5，
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8，
故答案为：8．
41．解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时P A+PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定理得＝．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C′AE＝45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′＝90°，
∴∠C′＝∠C′AE＝45°，
∴C′E＝AE＝AC′＝2，
即AP+BP的最小值是2．
故答案为：2；
（2）如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连接BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM＝∠BAM，
在△B′AM和△BAM中
，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）
在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，
∴B′F＝AB′•sin45°＝AB•sin45°＝10×＝5，∴BE+EF的最小值为．
42．解：（1）BP+PE的最小值＝＝＝．
（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，
∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，P A＝P A′，
∵点B是的中点，
∴∠BOD＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，
∵⊙O的直径CD为4，
∴OA＝OA′＝2，
∴A′B＝2．
∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝2．
（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB＝OB′，
连接DB′并延长交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB＝∠APD）．
43．解：（1）∵BC＝3，∠AOC＝30°，
∴OB＝6．
过点A作AE⊥MN于点E，AO＝AB+OB＝16，
∴AE＝8．
即新开发区A到公路的距离为8千米；
（2）过D作DF⊥AE的延长线（点D是点B关于MN的对称点），垂足为F．则EF＝CD＝BC＝3，AF＝AE+EF＝AE+BC＝11，
过B作BG⊥AE于G，
∴BG＝DF，
∵BG＝AB•cos30°＝5，
∴，
连接PB，则PB＝PD，
∴P A+PB＝P A+PD＝AD＝14（千米）．
44．解：点P就是飞机场所在的位置．（5分）
45．解：（1）+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED ＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即的最小值为13．
46．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
P A+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC＝60°
∴∠A′OC＝120°，
∵AO＝CO，AO＝A′O
∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°，
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°
∵OA′＝OA＝2
∴A′D＝
∴；
（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
在Rt△MON中，MN＝＝＝10．
即△PQR周长的最小值等于10．
47．答：如图：．
48．解：（1）连接AB，AB与l的交点就是所求分支点M分支点开在此处，总线路最短．过B作l的平行线与AA1的延长线交于F，
设A1M＝x，则MB1＝4﹣x，
∵BB1⊥l，AA1⊥l，
∴∠BB1M＝∠AA1M＝90°，又∠AMA1＝∠BMB1，
∴△B1BM∽△A1AM，
∴＝，即＝，
解得A1M＝x＝，
在直角三角形ABF中，AF＝AA1+A1F＝2+1＝3，BF＝B1A1＝4，
由勾股定理得AB＝＝5，
所以分支点M在线段A1B1上且距A1点千米处，最短线路的长度为5千米；
（2）如图（2），作B点关于直线l的对称点B2，连接AB2交直线l于点M，此处即为分支点，
由（1）知，A1M长度为千米．。