近年八年级数学暑假作业 第12天 最短路径问题 新人教版(2021年整理)

2017八年级数学暑假作业第12天最短路径问题新人教版
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第12天最短路径问题
典例在线
如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水．汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点．
【参考答案】作A关于l的对称点A′，连A′B交l于C点,则C为所求的点．如图所示：
汽车在C点加水，可使行驶的路程最短．
【试题解析】①作A关于直线l的对称点A′;②连接A′B交直线l于点C,则点C即为所求点．
汽车在C点加水，可使行驶的路程最短．
【解题必备】
1．解题总思路：找点关于线的对称点实现“折"转“直”,利用平移把“折"转“直"，利用平面展开图把“折”转“直"．
2．理论依据：两点之间线段最短，垂线段最短,点关于线对称，线段的平移,立体图形展开图．
3．最短路径常见问题解决方法:
（1）运用轴对称解决距离最短问题：利用对称的性质,通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意:利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质，利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
（2)利用平移确定最短路径选址：通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离．选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．当两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,当两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
(3）利用展开图求立体图形表面上小虫爬行的最短路线问题：通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线,利用两点之间线段最短解决问题．
（4）长方体问题：①将右侧面展开与下底面在同一平面内,求得其路程；②将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程；③将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程．然后进行比较大小，即可得到最短路程．
（5）在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程．
试题推荐
1．已知直线l同旁的两点A、B，在l上求一点P,使PA＋PB最小，则求P点的作法正确的为A．作A关于l的对称点A′，连接A′B交l与P
B．AB的延长线与l交于P
C．作A关于l的对称点A′，连接AA′交l与P
D．以上都不对
2．如图,正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D 为直线l上一动点,则AD+CD的最小值是
A．4 B．32C．23D．2+3
3．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q,OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是
A．10 B．15 C．20 D．30
4．如图，在锐角△ABC中,AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是
A．3 B．33C．43D．6
5．知∠MON=40°，P为∠MON内一定点,OM上有一点A，ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数．
参考答案
1．A【解析】首先找出其中一点关于直线的对称点,然后连接对称点和另一个点与直线的交点就是点P的位置．
2．C【解析】连接CC′,连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形,且∠BA′C′=60°，∴AD+CD=A′D+CD=A′C=2×3A′B=23．
∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP;同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP,∴△PQR的周长为EF．∵OE=OF=OP=10,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°–θ)=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，
即在OP=10的条件下，△PQR的最小周长为10．故选A．
4．B【解析】在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM,BE，BE交AD于O,则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短)，
∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线(三线合一），∴E和B 关于直线AD对称，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′,∵EN′⊥AB，∴∠ENA=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°,∵AE=AB=6,∴AN=1
AE=3，EN=33即BM+MN的最小值是33故
2
选B．
5．100°【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
善于思考，勤于总结！。