(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 第三章综合测试02-含答案

第三章综合测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
函数2
0()(31)f x x =
+-的定义域是（ ） A .1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B .1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D .11,,133⎛
⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
2.
已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩
≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）
A .2-
B .7-
C .27
D .7
3.函数1
11
y x -=
+-的图像是下列图像中的（ ）
A
B
C
D
4.若函数y ax =与b
y x
=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数
B .减函数
C .先增后减
D .先减后增
5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞
B .(,0]-∞
C .(,)-∞+∞
D .[1,)+∞
6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）
A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()2121
0f x f x x x --＜，则（ ）
A .(3)(2)(1)f f f -＜＜
B .(1)(2)(3)f f f -＜＜
C .(2)(1)(3)f f f -＜＜
D .(3)(1)(2)f f f -＜＜
8.若函数,1,
()(23)1,1
a
x f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A .2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则
(2)(3)
(2020)
(1)(2)
(2019)
f f f f f f +++
等于（ ）
A .2 020
B .2 019
C .4 038
D .4 040
10.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）
A
B
C
D
11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()
0f x f x x --＜的解集为（ ）
A .(2,0)(2,)-+∞
B .(2,0)(0,2)-
C .(,2)
(2,)-∞-+∞
D .(,2)
(0,2)-∞-
12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有
()()2121
0f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A .[1,1]-
B .(,1]-∞-
C .[1,)+∞
D .(,1][1,)-∞-+∞
二、填空题（本大题共4
小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）
13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
≥＜
则((4))f f -=________.
14.若函数2
(1)2
()1
a x a f x x a -+-=
+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.
16.已知函数29,3,()6,3,
x f x x x x ⎧⎪
=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()
22(34)f x x f x --＜的解集是________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.[10分]已知函数22(),[1,)x x a
f x x x
++=
∈+∞. （1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围；
（3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）
18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .
（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.
（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

19.[12分]通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力（()f x 的值越大，表示接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分钟），可以有以下公式：
20.1 2.643(010),
()59(1016),3107(1630),x x x f x x x x ⎧-++⎪
=⎨⎪-+⎩
＜≤＜≤＜≤
（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ （2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
20.[12分]已知函数(),(2)2x f x f mx n ==+，且方程()2f x x =有一个根为1
2
. （1）求,m n 的值；
（2）求1111(2)(3)(4)(5)3452f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值.
21.[12分]函数2
()1ax b
f x x +=
+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；
（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+＜.
22.[12分]设函数()y f x =（x ∈R ，且0x ≠）对任意非零实数12,x x 恒有()()()1212f x x f x f x =+，且对任意1,()0x f x ＞＜.
（1）求(1)f -及(1)f 的值； （2）判断函数()f x 的奇偶性；
（3）求不等式3()02f x f x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭≤的解集。

第三章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】C
【解析】因为函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正整数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，所以(1)()(1)f m f m f +=⋅，变形可得(1)(1)2()f m f f m +==，所以(2)(3)
(2020)
2019(1)4038(1)(2)
(2019)
f f f f f f f ++
+
==.
10.【答案】B
【解析】当10t -≤＜时，2122t S =-，所以图像是开口向下的抛物线的一部分，抛物线顶点坐标是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭；
当0t ＜时，2122t S =+，图像是开口向上的抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.所以选项B 中的
图像满足要求. 11.【答案】B 【解析】
()()
0f x f x x --＜可变成()()0,0,f x f x x --⎧⎨⎩＞①＜或()()0,
0,
f x f x x --⎧⎨
⎩＜②＞
()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是增函数， ∴在(,0)-∞也是增函数.
又(2)0f =，(2)(2)0f f ∴-=-=.
∴不等式组①变成()0(2),
0,f x f x =-⎧⎨⎩＞＜解得20x -＜＜；
不等式组②变成()0(2),
0,f x f x =⎧⎨⎩
＜＞解得0x ＜＜2，
∴原不等式的解集是(2,0)(0,2)-⋃.
12.【答案】A
【解析】函数(1)y f x =+为偶函数，
∴()f x 的图象关于直线1x =对称.对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有
()()2121
0f x f x x x --＞.∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞上单调递减.(1)(2)f a f a -≥，
1121,11a a a ∴---∴-≥≤≤.
二、 13.【答案】4 14.【答案】1 15.【答案】[0,4] 16.【答案】(1,3)
【解析】当3x ＜时，22()6(3)99f x x x x =-+=--+≤，()f x 在(,3)-∞上递增，
由()
22(34)f x x f x --＜，可得2234,343,x x x x ⎧--⎪⎨-⎪⎩＜≤或2
23,343,x x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩＜＞解得1473x x ⎧⎪
⎨⎪⎩
＜＜≤或13,7,3x x -⎧⎪⎨
⎪⎩＜＜＞即713x ＜≤或7
33
x ＜＜，即13x ＜＜，即有解集为(1,3)，故答案为(1,3). 三、
17.【答案】解：（1）当1
2
a =
时，1()2,[1,)2f x x x x =++∈+∞，设12,[1,)x x ∀∈+∞且12x x ＜，则
()()()211212121212
1
1022x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫
--=-+
=-- ⎪⎝⎭
＜，()()12f x f x ∴＜，()f x ∴在[1,)+∞上单调递增，min 7()(1)2
f x f ∴==
. （2）解：22()0x x a
f x x ++=
＞对[1,)x ∈+∞恒成立，即22a x x --＞恒成立. 22y x x =--在[1,)+∞上最大值为3-，3a ∴-＞.
（3）解：当0a ≤时，()2a
f x x x
=+
+，为增函数；当01a ＜≤
时，()f x 在[1,)+∞上为增函数；当1a ＞时，()f x
在
上为减函数，在)+∞上为增函数.
18.【答案】（1）解：同意小鹏同学的看法.理由如下：
2()3f a a =+，2()43f a a a -=-+，若()f x 为奇函数，则有()()0f a f a +-=，2230a a ∴-+=，显然2230a a -+=无解，()f x ∴不可能是奇函数.
（2）解：若()f x 为偶函数，则有()()f a f a =-，则由（1）得0a =，从而0a =，此时2()23f x x x =-+是偶函数.
（3）解：由（2）知2()23f x x x =-+，其图像如图所示，其单调递增区间是[1,0]-和[1,)+∞.
19.【答案】（1）当010x ＜≤时，22()0.1 2.6430.1(13)59.9f x x x x =-++=--+，故()f x 在010x ＜≤时最大值为2(10)0.1(1013)59.959f =-⨯-+=.当1016x ＜≤时，()59f x =.当16x ＜≤30时，()f x 为减函数，且()59f x ＜.因此，开讲10分钟后，学生接受能力最强（为59），能维持6分钟的时间.
（2）2(5)0.1(513)59.953.5f =-⨯-+=，(20)3201074753.5f =-⨯+=＜.故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.
20.【答案】（1）解：由已知，得2
(2)22f m n
=
=+.①
由()2f x x =有一个根为12，得11222f ⎛⎫
⨯= ⎪⎝⎭
，
即
11
2
211
2
2
m n =⨯
=+.② 由①②，可得13
m n ==
. （2）解：由（1）可得3()1
x
f x x =
+， 1
31333()31111
1x x x f x f x x x x x
⋅
⎛⎫∴+=+
=+= ⎪+++⎝⎭+. 111111(2)(3)(4)(5)(2)(3)234523f f f f f f f f f f f f ⎡
⎤⎡
⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++
++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣
⎦
11(4)(5)341245f f f f ⎡
⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
21.【答案】（1）解：依题意得(0)0,12,25f f =⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩即20,
1022,1514b
a b =+⎧⎪⎪
⎪
⎨+=+⎪⎪
⎪⎩
解得1,0.a b =⎧⎨=⎩所以2
()1x f x x =+. （2）证明：任取1211x x -＜＜＜
，则()()()()()()
121212
122222
1212
11111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++. 因为1211x x -＜＜＜
，所以120x x -＜，2110x +＞，2
210x +＞. 又1211x x -＜＜
，所以1210x x -＞. 所()()120f x f x -＜.所以()f x 在(1,1)-上是增函数. （3）解：原不等式即(1)()()f t f t f t --=-＜.
因为()f x 在(1,1)-上是增函数，所以111t t ---＜＜＜，
解得102t ＜＜.所以原不等式的解集为1|02t t ⎧
⎫⎨⎬⎩
⎭＜＜. 22.【答案】（1）解：对任意非零实数12,x x 恒有()()()212,f x x f x f x =+，∴令121x x ==，代入可得(1)0f =.
再令121x x ==-，代入并利用(1)0f =，可得(1)0f -=.
（2）解：取121,x x x =-=，代入得()()f x f x -=，又函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，∴函数()f x 是偶函数.
（3）解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ＜，则
2
1
1x x ＞， 由题设有2
10x
f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＜， ()()()()()2222111111110x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＜，
()()21f x f x ∴＜，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数.又由（2）知函数()f x 是偶函数，
3()02f x f x ⎛
⎫∴+- ⎪⎝⎭≤可转化为3(1)2f x x f ⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦≤，即可得
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭≥，解得12x -≤或2x ≥，
∴解集为1,[2,)2⎛
⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦.
难忘的一天
今天，太阳照着大地，就像闪闪发光的金子一样，到处都是暖洋洋的，我的心里也是暖洋洋的。

我早早就起了床，不是因为天气热，也不是因为我想出去玩，而是我们得回学校了。

我来到学校的时候已经是7时35分了。

进入校门的时候，有一位老师摸了摸我的头，微笑着说：“跳跳，你真厉害，考了个全班第一！”我腼腆的笑了笑。

“老师，同学们，早上好！”一个声音从广播里传出来，“现作文在公布全级期末考试成绩排名前二十名同学的名单……”顿时，大家都安静了下来，心里既紧张又充满了期待。

“第四名，202，王跳跳。

第五名……”这时全班同学都尖叫了起来，纷纷看着我，眼里充满了羡慕。

我也开心得差点就跳起来了。

这次期末，我得了好多好多奖：年级第四名、文明生、三好学生……
放学后，我跟着思颐去她家。

她家很好看，很精致。

我们一起当老师，很好玩，很开心。

难忘的一天
今天，太阳照着大地，就像闪闪发光的金子一样，到处都是暖洋洋的，我的心里也是暖洋洋的。

我早早就起了床，不是因为天气热，也不是因为我想出去玩，而是我们得回学校了。

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“第四名，202，王跳跳。

第五名……”这时全班同学都尖叫了起来，纷纷看着我，眼里充满了羡慕。

我也开心得差点就跳起来了。

这次期末，我得了好多好多奖：年级第四名、文明生、三好学生……
放学后，我跟着思颐去她家。

她家很好看，很精致。

我们一起当老师，很好玩，很开心。

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