2020-2021高中必修五数学上期末一模试卷附答案(3)

2020-2021高中必修五数学上期末一模试卷附答案(3)
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+
D
<
a b <
2．设,x y 满足约束条件 202300
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩
，则4
6y x ++的取值范围是
A ．3[3,]7
- B ．[3,1]- C ．[4,1]
-
D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞
3．已知正数x 、y 满足1x y +=，且
22
11
x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．
163
B ．
13
C ．2
D ．4
4．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2 C
D
5．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2
2
4116x y +++=分成面积相等的两部分，则
12
2a b
+的最小值为( ) A ．10
B ．8
C ．5
D ．4
6．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198
B ．199
C ．200
D ．201
7．已知点(),P x y 是平面区域()
4
{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为M ,
若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）
A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,,35
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
8．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3
cos 5
A =，则sin
B =（ ） A ．
25
B ．
35
C ．
45 D ．
85
9．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos2A =（ ）
A ．78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
11．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( )
A ．1
B ．1
C ．＋2
D ．2
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
二、填空题
13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b a
a b
+取最大值时，cos C =__________； 14．关于x 的不等式a 34
≤
x 2
﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 15．数列{}n a 满足14a =，12n
n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.
16．已知函数()2x
f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，
则
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.
17．设122012(1)(1)(1)n n
n x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且
2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____
18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 19．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43
a b
+的最小值是_______. 20．若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题
21．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N .
（1）证明数列{}n a 是等比数列；
（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604n
n a
T n
+⋅
-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围.
22．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 23．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11
4
=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.
（1）求{a n }； （2）设b n ()
()22
21
2n n n n c n b b log a +=
=+，，求数列{c n }的前n 项和T n .
24．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知
3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC
的面积为求b c 、
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141
n n n b T S =
-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，
()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
26．已知数列{}n a 的首项1122
,,1,2,3, (31)
n n n a a a n a +=
==+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （2）数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D
【解析】
选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0a ≤
<
b ，由不等式的平方法则，
()()2
2
a b <，即a b <．选D.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而
46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以4
6
y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件得()()113x y +++=，对代数式22
11x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出22
11
x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】
正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，
()()()()()()22
2
2
2
2
2
2
1212111111111111
y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+
++++++++444444
141465
111111
y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭
412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12
x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则1
3m ≤. 因此，实数m 的最大值为1
3
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．D
解析：D 【解析】
设公比为q ，由已知得()2
2841112a q a q a q ⋅=，即2
2q
=，又因为等比数列{}n a 的公比为
正数，所以q 2
12a a q =
==
，故选D. 5．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】
圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即
41a b +=，故
()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当
82b a
a b =，即11,82
a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆
的标准方程是()()2
2
2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是
()4,1.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】
∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()11989910019819819802
2
a a a a S +⨯+⨯=
=> ，
()1199199100
19919902
a a S a
+⨯=
=<，
由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-对应
的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0M =
，满足M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0M =
，满足M ≤，当0m <时，由约束条件
()
4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B
重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为
M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11
m m
B m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由
42
21m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以1
03
m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，故选C.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.
8．A
解析：A 【解析】
试题分析：由3
cos 5
A =
得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.
考点：同角关系式、正弦定理．
9．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此
1144(4)(+)5+59b a b a
a b a b a b a b
+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
11．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，
得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
二、填空题
13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公
解析：
13
【解析】 【分析】
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b a
a b
+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出
b a
a b
+()C ϕ=+，当2
C πϕ+=时，b a
a b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】
在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，
所以
2222cos3sin2cos
3sin2cos b a a b c ab C ab C ab C
C C a b ab ab ab
+++
+====+
()
13sin Cϕ
=+，其中213
sinϕ=，
313 cosϕ=，
当b a
a b
+取得最大值13时，
2
C
π
ϕ
+=，∴
213
cos cos sin
213
C
π
ϕϕ
⎛⎫
=-==
⎪
⎝⎭
．
故答案为：213
.
【点睛】
本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 14．4【解析】【分析】设f（x）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有
解析：4
【解析】
【分析】
设f（x）
3
4
=x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如
果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f （b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．
【详解】
解：画出函数f（x）＝3
4
x2﹣3x+4＝
3
4
（x－2）2＋1的图象，如图，
可得f（x）min＝f（2）＝1，
由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．
又不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2
23344
3344
a a
b b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
由
34
b 2
－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝4
3
或b ＝4. 当b ＝
43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．
15．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +
【解析】 【分析】
由题意得出12n
n n a a +-=，利用累加法可求出n a .
【详解】
数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n
n n a a +∴-=，
因此，
()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212
n n --=+
=+-.
故答案为：22n +. 【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计
算能力，属于中等题.
16．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】 【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
++++=
=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
L ， 而()()()()1
2310
61231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .
故答案为6-. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
17．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想
解析：9 【解析】 【分析】
记函数122012()(1)(1)(1)n n
n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，
012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】
由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n
n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，
02
1222(12)
(21)212
n n
n f a a a a -=++++++=
-=+L L ， 即1221022n +-=，1
2
1024,9n n +==
故答案为：9
【点睛】
此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 18．an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1当n＝1时a1＝S1＝4≠2×1＋1因此an＝
4n=12n+1n≥2【点睛】本题考
解析：
【解析】
【分析】
根据和项与通项关系得结果.
【详解】
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此a n＝.
【点睛】
本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.
19．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解
解析：25
【解析】
【分析】
利用1的代换，将求式子43
a b
+的最小值等价于求
43
()(3)
a b
a b
++的最小值，再利用基本
不等式，即可求得最小值.【详解】
因为4343123123
()(3)4913225
b a b a
a b
a b a b a b a b
+=++=+++≥+⋅，
等号成立当且仅当
21
,
55 a b
==.
故答案为：25.
【点睛】
本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现
解析：8
【解析】
1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q
，当且仅当2b a = 时取等号.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．(1)见解析(2) (,20)-∞ 【解析】
分析：（1）利用1434n n S S +-=推出
134n n a a +=是常数，然后已知213
4
a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式
31604n
n a
T n
⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
详解：
(1) Q 已知*
1434,n n S S n N +-=∈,
∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠
13
4
n n a a +∴
=. 又由*
1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-=
22133,44
a a a ∴=
∴=. 故数列{}n a 是等比数列.
(2)由(1)知1
1
33144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
.
1
1
33312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ,
1
2
3333124444n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L .
相减得213113333341344444414
n
n n n n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ,
331616444n n
n T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ∴不等式31604n
n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n
n
n
a n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 化简得2416n n a +>. 设()2
416f n n n =+,
*n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.
故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.
点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力． 22．（1）证明见解析 （2）()11222
n n n n S ++=--
【解析】 【分析】
(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.
(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】
（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+
所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则
1
2n n
b b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.
（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2n
n a n =-,
所以()()(
)()
2
3
2122232n
n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-
()
()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+
(
)()()1
212112
2122
2
n
n n n n n +-++=
-=-
--
【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 23．（1）a n 1
1()2
n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤
=
--⎢⎥++⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】
（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列， 可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1， 即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ， 化为4q 2=1，公比q >0， 解得q 1
2
=. 则a n 1
4=
⋅（12）n ﹣111()2
n +=； （2）b n 2122
22111
()(2)(1)n n log a log n --=
==+，
c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅
22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤
=-⎢⎥++++⎣⎦
， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n
14=[22222222221
1111111112
43546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ]
2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=
--⎢⎥++⎣⎦
. 【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.
24．：（1）1
cos 3
A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩
【解析】
：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-
即1cos()3B C +=-
从而cos A 1cos()3
B C =-+= （2）由于0,A π<<1cos 3A =
，所以sin A =
又ABC S =V
1
sin 2
bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213
{6
b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 25．（1）*
21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得
112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11
2
a d =⎧⎨
=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2
122
n n n S n n -=+
⨯=，由2111141
22121n b n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，利用
裂项相消法得21n n T n =+，若2
3k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>
得11m <<+
，从而可求出答案． 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩
，
()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；
（2）()2122n n n S n n -=+
⨯=，
2111141
22121n b n n n ⎛⎫
∴=
=
- ⎪--+⎝⎭
，
1211111
111111123352321212122121
n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，
若2
3k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m
=+-，
又1k m >>，2
234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪
+-⎨⎪>⎩
，
解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
26．（1）证明见解析；（2）242
22
n n n n n S +++=-.
【解析】
试题分析：（1）对121n n n a a a +=
+两边取倒数得
111
111222n n n n
a a a a ++==+⋅，化简得1111
112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列.，求得
11
12
n n a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和24222
n n n n n S +++=-.
试题解析：
（1）111211111111
,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=
∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭
Q ，又 11211,132a a =
∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以为12首项，12为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
1111111?222n n n a -+-==，即11
12
n n a =+，设23123...2222n n n
T =
++++， ① 则2311121...22222n n n n n
T +-=++++， ② 由①-②得 2111
11
11111122 (112222222212)
n
n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+++-=
-=---，11222n
n n n T -∴=--.
又()1123 (2)
n n n +++++=
.∴数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和
()21242
22222
n n n n n n n n n S +++++=-+=-.
考点：配凑法求通项，错位相减法.。