球面几何的若干应用.
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二、球面几何在航海方面的应用
1.航海斜驶线问题 例 3 确定地球表面两点间斜驶线的长度及其斜驶线的航向方位角。（100 个著名初等数学问题之第 77 题） 解 斜驶线可理解为地球表面的一条线，该线与所有经线相交成相同角。如果船始终不改变其航向，
船总是在斜驶线上航行，则斜驶线与经线相交的角 称为航向方位角。（如图 3）
R
R
R
RR
cos129053.1' cos 54033.4' sin129053.1' sin 54033.4' cos146055.7' 0.64 0.58 0.77 0.81 (0.84) 0.90
那么 VY 1530 36.1' 2.6795弧度 R
所以求出经过 V 点到 Y 点的大圆劣弧长 为 10800 2.6795 9216.1海里
NV NOV 900 900 39053.1' 129053.1' R
NY NOY 900 ' 900 35026.6' 54033.4' R
6
VNY 3600 730 25.1' 139039.2' 146055.7'
应用球面三角余弦定理，则
cos VY cos NV cos NY sin NV sin NY cos VNY
=150052'
图2
解 如图 2，我们考虑地球表面的球面三角形 NTC ，顶点 N 是北极，T 是台北，C 是芝加哥。大圆 劣弧TC 为由台北到芝加哥的最短航线，那么从台北到芝加哥走最短距离的航行角即为 NTC 。
由题意可知，球面三角形 NTC 的边 TN 和边 CN 的夹角为 T 'OC' 3600 121030' 87038' 150052'
sin CN
sin TC
R
R
将数据代入，得到
sin NTC sin 48007'
sin150052' sin107049'
故
sin NTC sin 48007' sin150052'
sin107049'
0.744506 0.486844 0.955964
0.3792
得
NTC 22020'
因此从台北到芝加哥走最短距离的航行角大约为 22020' （北偏东）。
R
RR
RR
cos 64057' cos 48007' sin 64057' sin 48007' cos150052'
0.4234090.667616 09059390.7445060.873489
0.3065
因此
TC 107049'
R
再根据球面三角正弦定理，则
sin NTC sin TNC
球面直角三角形 ABC ，记球心为 O。
由题意可知， AOC 780 ， BOC 51.50 ，根据球面勾股定理，则
cos AB cos c cos AOB
R
R
1
cos AOC cos BOC cos 780 cos 51.50 0.207921 0.622515 0.1294
因而
••••• (•2•) ••••• (•3•)
d b sec b
1
L B
2
其中 L 表示两点经度差，B 表示两点扩大纬度差， b 表示两点纬度差。
••••••(•4•)
下面我们具体计算一下智利的瓦尔迪维亚（ 西经730 25.1' ， 南纬39053.1' ）到日本横滨
（ ' 东经1390 39.2' ， ' 北纬35026.6' ）的斜驶距离（以海里度量）。
在实际生活中，许多数学模型都可以采用球面模型，从而使问题得到简化。本文主要利用
球面几何的一些初等知识，同时借助 mathematica 等工具，将它应用于一些实际问题。
【关键词】球面几何；应用；球面三角；数学建模
一、球面几何在天文地理方面的应用
1．应用于计算地球上两点间最短的距离 例 1 南美洲国家厄瓜多尔位于赤道两旁，国名“厄瓜多尔”在西班牙语中的意思就是“赤道”，其
此数据也说明了沿斜驶线行驶所经过的距离并不是最短航程，可以看出，沿着经过 V 和 Y 两点的大
圆劣弧长度 比斜驶距离大约短了 101 海里。
“斜驶”的名称源自荷兰人 W.斯乃尔（Willebord Snell）,又名斯内利厄斯（Snellius,1581-1626）。 葡萄牙数学家 P.牛尼斯(Pedro Nunes,1492-1577)第一个认识到，连接地球表面两点的斜驶线不是最短 的连线且斜驶不断趋向极地，而永远达不到极地。
1
8815.7 4890
2
9317海里
【注 1】（扩大纬度公式）就地球上经度 和纬度 的点来说，它的地图位置映象到地图上零子午线
的距离为 ，到地图赤道的距离（即扩大的纬度） R ln tan(450 ) 2
这里 与 以弧度计量， R球面三角形 NVY（北极—瓦尔的维亚—横滨）中，可知
5266啦4?71由公式a1北纬31a2北纬36度东经140a4北纬62度西经150a6北纬55a8北纬47西经135西经125a10北纬427325f139392146557?应用球面三角余弦定理则cos空pscos129531cos54334?077x081x084090那么26795弧度92161海里此数据也说明了沿斜驶线行驶所经过的距离并不是最短航程可以看出沿着经过v和y两点的人弧长度q比斜驶距离大约短了101海里
62.72170 25.05750
10800 ln 1.94 0.47
10800 1.42
4890海里
由公式（3）可得斜驶线的航向方位角为
arctan L arctan 8815.7 60058.83'
B
4890
由公式（4）可得斜驶距离为
d bsec
b
1
L B
2
4519.7
AOB 82.570
地球半径 R=6371 km，设伦敦和基多之间沿地球表面的最短距离为 c，
因此有， c 23.1416 6371 82.57 360
9181.4(km)
即伦敦和基多之间的沿地球表面的最短距离仅为 9181.4 km。 【注】利用球面勾股定理，可以很容易计算出球面上任意两点的距离，这样的计算方式是平面几何 所不能及的。
5
V 点和 Y 点的扩大纬度差为
B '
R ln tan(450 ' ）-R ln tan(450 ）
2
2
tan(450 ' ）
R
ln
tan(450
2
）
2
10800
ln
tan(450 35026.6' ） 2
tan(450 39053.1' ）
2
10800
ln
tan tan
首都基多的地理位置约为西经 780 ，纬度 00 ；又知道英国首都伦敦的位置约为经度 00 ，北纬 51.50 ，求
伦敦和基多之间的沿地球表面的最短距离。
N 北极
B
C
a
A
O
bC
AOC=78 BOC=51.5
S 南极 图1
解 如图 1，点 A 表示基多，B 表示伦敦，点 C 是赤道与本初子午线的交点（即基多所在的纬线和伦 敦所在的经线的交点），由于每条经线都垂直于赤道，考虑地球表面上以基多、伦敦以及 C 点为顶点的
2.应用于计算地球上由 A 点到 B 点的航行角
例 2 如果航空公司想开发新的从台北（东经121030' ，北纬 25003' ）到芝加哥（西经 87038' ，北
纬 41053' ）的航线，请问从台北到芝加哥走最短距离的航行角是多少?
N 北极
T
C
25003' 41053' O
T'
C'
TOT'=25003' COC'=41053' TNC=T'OC'
N
O Y
V
图5 如图 5，设点 N 表示北极，点 V 表示瓦尔迪维亚，点 Y 表示横滨。则 V 点和 Y 点的经度差为
L （3600 730 25.1' 139039.2'） 60 146055.7' 60 8815.7分
V 点和 Y 点的纬度差为
b （39053.1' 35026.6'） 60 75019.7' 60 4519.7分（或海里）
球面几何的若干应用
福建福州格致中学 陈怡 【摘 要】球面几何是古典几何学中古老的一个分支,其内容极其丰富.在 16 世纪时，
麦哲伦不畏艰难地完成了历史上重大的冒险——航行地球一圈，它为地圆学说提出了一个
客观的实证，为建立新的天文学与地理学奠定了基础，并对近代科学的发展有不可估量的
意义。特别是球面三角学在天文、航海、大地测量直至宇宙航行等方面都有广泛的应用。
3
图3 在研究海图时，我们把地球的半径看成是单位长度，海员使用单位长度以海里（nm）计，海里为
地球表面经线上一分纬度的长度，或赤道上一分经度的长度（各等于 1852 米），因为经线是 倍地球 半径长，纬度的 180 度等于 10800 纬度分（1 度等于 60 纬度分），地球半径 R=10800/ 海里长。如果 我们认为海图是按 1：1 比例画的（即海图的赤道是和实际赤道等长），海图上纬度 的圈与赤道之间
即
TNC 150052'
且有
TON 900 25003' 64057' （即 TN 64057' ） R
2
CON 900 41053' 48007' （即 CN 48007' ） R
由球面三角余弦定理，可得
cos TC cos TN cos CN sin TN sin CN cos TNC
tan L B
•••••(1••)
如图 4，为了确定地球上 O 点到 O' 点的斜驶距离 d ，将 d 平均分为 N 个非常小的相同小段 ，视
4
为直线构成。如果通过两个相邻分点 A、B 的 A 点画经线而通过 B 点画纬线，我们获得一个斜边为 的
很小的直角三角形 ABC，其经线边是 A、B 两分点的纬度差 （以海里度量），并形成斜驶角 ，因此
的距离（也称扩大的纬度）为
R ln tan(450 ) 2
设从地球上 O 点（经度 ，纬度 ）航行至 O' 点（经度 ' ，纬度 ' ）（ ' ），则 O 点和 O' 点
在海图上的扩大纬度为
R ln tan(450 ) 和 ' R ln tan(450 ' ) ，
2
2
设 O 点、 O' 点自零度经线到海图经线的距离分别为 与 ' 海里，此处 表示构成 的经度分的
三、球面几何在数学建模中的应用
例 4（2000 网易杯全国大学生数学建模大赛 C 题“飞越北极”） 2000 年 6 月，《扬子晚报》发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省 4 小时”， 摘要如下： 7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此决定可大幅度缩短了北美与亚洲间的飞 行时间。旅客可直接从修斯敦、丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如 飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省 4 小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 假设：飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航行飞 经以下 10 处： A1(北纬 31 度，东经 122 度)； A2(北纬 36 度，东经 140 度)； A3(北纬 53 度，西经 165 度)； A4(北纬 62 度，西经 150 度)； A5(北纬 59 度，西经 140 度)； A6(北纬 55 度，西经 135 度)； A7(北纬 50 度，西经 130 度)； A8(北纬 47 度，西经 125 度)； A9(北纬 47 度，西经 122 度)； A10(北纬 42 度，西经 87 度)。 设地球是半径为 6371 千米的球体，请对“北京至底特律的飞行时间可节省 4 小时”从数学上作合 理解释。 解： 问题的重述 7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此决定可大幅度缩短了北美与亚洲间的飞 行时间。旅客可直接从修斯敦、丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如 飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省 4 小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 若飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航行飞经以 下 10 处： A1(北纬 31 度，东经 122 度)； A2(北纬 36 度，东经 140 度)； A3(北纬 53 度，西经 165 度)； A4(北纬 62 度，西经 150 度)；
cos 。这样每两个相邻点具有相同的纬度差 。地球表面上两点 O 和 O' 总纬度差 b 为（以海里
度量）：
b N N cos d cos
因此，所求的斜驶距离为：
d b bsec cos
公式（1）和（2）就包含了问题的解。实际上，地球上两点斜驶线的航行方位角为
斜驶距离 d 为
arctan L B
数， ' 表示构成 ' 的经度分的数。
如图 4，设通过 O 的海图经线与通过 O' 海图纬线相交于 S 。那么 OS B 为扩大纬度差 ' ，
O'S L ' （海里）， OO' 为海图的斜驶距离 d 以及 O'OS 为航行方位角。
图4
由海图直角三角形 OO'S ，按下面的方程求得航行方位角 ：
1.航海斜驶线问题 例 3 确定地球表面两点间斜驶线的长度及其斜驶线的航向方位角。（100 个著名初等数学问题之第 77 题） 解 斜驶线可理解为地球表面的一条线，该线与所有经线相交成相同角。如果船始终不改变其航向，
船总是在斜驶线上航行，则斜驶线与经线相交的角 称为航向方位角。（如图 3）
R
R
R
RR
cos129053.1' cos 54033.4' sin129053.1' sin 54033.4' cos146055.7' 0.64 0.58 0.77 0.81 (0.84) 0.90
那么 VY 1530 36.1' 2.6795弧度 R
所以求出经过 V 点到 Y 点的大圆劣弧长 为 10800 2.6795 9216.1海里
NV NOV 900 900 39053.1' 129053.1' R
NY NOY 900 ' 900 35026.6' 54033.4' R
6
VNY 3600 730 25.1' 139039.2' 146055.7'
应用球面三角余弦定理，则
cos VY cos NV cos NY sin NV sin NY cos VNY
=150052'
图2
解 如图 2，我们考虑地球表面的球面三角形 NTC ，顶点 N 是北极，T 是台北，C 是芝加哥。大圆 劣弧TC 为由台北到芝加哥的最短航线，那么从台北到芝加哥走最短距离的航行角即为 NTC 。
由题意可知，球面三角形 NTC 的边 TN 和边 CN 的夹角为 T 'OC' 3600 121030' 87038' 150052'
sin CN
sin TC
R
R
将数据代入，得到
sin NTC sin 48007'
sin150052' sin107049'
故
sin NTC sin 48007' sin150052'
sin107049'
0.744506 0.486844 0.955964
0.3792
得
NTC 22020'
因此从台北到芝加哥走最短距离的航行角大约为 22020' （北偏东）。
R
RR
RR
cos 64057' cos 48007' sin 64057' sin 48007' cos150052'
0.4234090.667616 09059390.7445060.873489
0.3065
因此
TC 107049'
R
再根据球面三角正弦定理，则
sin NTC sin TNC
球面直角三角形 ABC ，记球心为 O。
由题意可知， AOC 780 ， BOC 51.50 ，根据球面勾股定理，则
cos AB cos c cos AOB
R
R
1
cos AOC cos BOC cos 780 cos 51.50 0.207921 0.622515 0.1294
因而
••••• (•2•) ••••• (•3•)
d b sec b
1
L B
2
其中 L 表示两点经度差，B 表示两点扩大纬度差， b 表示两点纬度差。
••••••(•4•)
下面我们具体计算一下智利的瓦尔迪维亚（ 西经730 25.1' ， 南纬39053.1' ）到日本横滨
（ ' 东经1390 39.2' ， ' 北纬35026.6' ）的斜驶距离（以海里度量）。
在实际生活中，许多数学模型都可以采用球面模型，从而使问题得到简化。本文主要利用
球面几何的一些初等知识，同时借助 mathematica 等工具，将它应用于一些实际问题。
【关键词】球面几何；应用；球面三角；数学建模
一、球面几何在天文地理方面的应用
1．应用于计算地球上两点间最短的距离 例 1 南美洲国家厄瓜多尔位于赤道两旁，国名“厄瓜多尔”在西班牙语中的意思就是“赤道”，其
此数据也说明了沿斜驶线行驶所经过的距离并不是最短航程，可以看出，沿着经过 V 和 Y 两点的大
圆劣弧长度 比斜驶距离大约短了 101 海里。
“斜驶”的名称源自荷兰人 W.斯乃尔（Willebord Snell）,又名斯内利厄斯（Snellius,1581-1626）。 葡萄牙数学家 P.牛尼斯(Pedro Nunes,1492-1577)第一个认识到，连接地球表面两点的斜驶线不是最短 的连线且斜驶不断趋向极地，而永远达不到极地。
1
8815.7 4890
2
9317海里
【注 1】（扩大纬度公式）就地球上经度 和纬度 的点来说，它的地图位置映象到地图上零子午线
的距离为 ，到地图赤道的距离（即扩大的纬度） R ln tan(450 ) 2
这里 与 以弧度计量， R球面三角形 NVY（北极—瓦尔的维亚—横滨）中，可知
5266啦4?71由公式a1北纬31a2北纬36度东经140a4北纬62度西经150a6北纬55a8北纬47西经135西经125a10北纬427325f139392146557?应用球面三角余弦定理则cos空pscos129531cos54334?077x081x084090那么26795弧度92161海里此数据也说明了沿斜驶线行驶所经过的距离并不是最短航程可以看出沿着经过v和y两点的人弧长度q比斜驶距离大约短了101海里
62.72170 25.05750
10800 ln 1.94 0.47
10800 1.42
4890海里
由公式（3）可得斜驶线的航向方位角为
arctan L arctan 8815.7 60058.83'
B
4890
由公式（4）可得斜驶距离为
d bsec
b
1
L B
2
4519.7
AOB 82.570
地球半径 R=6371 km，设伦敦和基多之间沿地球表面的最短距离为 c，
因此有， c 23.1416 6371 82.57 360
9181.4(km)
即伦敦和基多之间的沿地球表面的最短距离仅为 9181.4 km。 【注】利用球面勾股定理，可以很容易计算出球面上任意两点的距离，这样的计算方式是平面几何 所不能及的。
5
V 点和 Y 点的扩大纬度差为
B '
R ln tan(450 ' ）-R ln tan(450 ）
2
2
tan(450 ' ）
R
ln
tan(450
2
）
2
10800
ln
tan(450 35026.6' ） 2
tan(450 39053.1' ）
2
10800
ln
tan tan
首都基多的地理位置约为西经 780 ，纬度 00 ；又知道英国首都伦敦的位置约为经度 00 ，北纬 51.50 ，求
伦敦和基多之间的沿地球表面的最短距离。
N 北极
B
C
a
A
O
bC
AOC=78 BOC=51.5
S 南极 图1
解 如图 1，点 A 表示基多，B 表示伦敦，点 C 是赤道与本初子午线的交点（即基多所在的纬线和伦 敦所在的经线的交点），由于每条经线都垂直于赤道，考虑地球表面上以基多、伦敦以及 C 点为顶点的
2.应用于计算地球上由 A 点到 B 点的航行角
例 2 如果航空公司想开发新的从台北（东经121030' ，北纬 25003' ）到芝加哥（西经 87038' ，北
纬 41053' ）的航线，请问从台北到芝加哥走最短距离的航行角是多少?
N 北极
T
C
25003' 41053' O
T'
C'
TOT'=25003' COC'=41053' TNC=T'OC'
N
O Y
V
图5 如图 5，设点 N 表示北极，点 V 表示瓦尔迪维亚，点 Y 表示横滨。则 V 点和 Y 点的经度差为
L （3600 730 25.1' 139039.2'） 60 146055.7' 60 8815.7分
V 点和 Y 点的纬度差为
b （39053.1' 35026.6'） 60 75019.7' 60 4519.7分（或海里）
球面几何的若干应用
福建福州格致中学 陈怡 【摘 要】球面几何是古典几何学中古老的一个分支,其内容极其丰富.在 16 世纪时，
麦哲伦不畏艰难地完成了历史上重大的冒险——航行地球一圈，它为地圆学说提出了一个
客观的实证，为建立新的天文学与地理学奠定了基础，并对近代科学的发展有不可估量的
意义。特别是球面三角学在天文、航海、大地测量直至宇宙航行等方面都有广泛的应用。
3
图3 在研究海图时，我们把地球的半径看成是单位长度，海员使用单位长度以海里（nm）计，海里为
地球表面经线上一分纬度的长度，或赤道上一分经度的长度（各等于 1852 米），因为经线是 倍地球 半径长，纬度的 180 度等于 10800 纬度分（1 度等于 60 纬度分），地球半径 R=10800/ 海里长。如果 我们认为海图是按 1：1 比例画的（即海图的赤道是和实际赤道等长），海图上纬度 的圈与赤道之间
即
TNC 150052'
且有
TON 900 25003' 64057' （即 TN 64057' ） R
2
CON 900 41053' 48007' （即 CN 48007' ） R
由球面三角余弦定理，可得
cos TC cos TN cos CN sin TN sin CN cos TNC
tan L B
•••••(1••)
如图 4，为了确定地球上 O 点到 O' 点的斜驶距离 d ，将 d 平均分为 N 个非常小的相同小段 ，视
4
为直线构成。如果通过两个相邻分点 A、B 的 A 点画经线而通过 B 点画纬线，我们获得一个斜边为 的
很小的直角三角形 ABC，其经线边是 A、B 两分点的纬度差 （以海里度量），并形成斜驶角 ，因此
的距离（也称扩大的纬度）为
R ln tan(450 ) 2
设从地球上 O 点（经度 ，纬度 ）航行至 O' 点（经度 ' ，纬度 ' ）（ ' ），则 O 点和 O' 点
在海图上的扩大纬度为
R ln tan(450 ) 和 ' R ln tan(450 ' ) ，
2
2
设 O 点、 O' 点自零度经线到海图经线的距离分别为 与 ' 海里，此处 表示构成 的经度分的
三、球面几何在数学建模中的应用
例 4（2000 网易杯全国大学生数学建模大赛 C 题“飞越北极”） 2000 年 6 月，《扬子晚报》发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省 4 小时”， 摘要如下： 7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此决定可大幅度缩短了北美与亚洲间的飞 行时间。旅客可直接从修斯敦、丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如 飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省 4 小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 假设：飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航行飞 经以下 10 处： A1(北纬 31 度，东经 122 度)； A2(北纬 36 度，东经 140 度)； A3(北纬 53 度，西经 165 度)； A4(北纬 62 度，西经 150 度)； A5(北纬 59 度，西经 140 度)； A6(北纬 55 度，西经 135 度)； A7(北纬 50 度，西经 130 度)； A8(北纬 47 度，西经 125 度)； A9(北纬 47 度，西经 122 度)； A10(北纬 42 度，西经 87 度)。 设地球是半径为 6371 千米的球体，请对“北京至底特律的飞行时间可节省 4 小时”从数学上作合 理解释。 解： 问题的重述 7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此决定可大幅度缩短了北美与亚洲间的飞 行时间。旅客可直接从修斯敦、丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如 飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省 4 小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 若飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航行飞经以 下 10 处： A1(北纬 31 度，东经 122 度)； A2(北纬 36 度，东经 140 度)； A3(北纬 53 度，西经 165 度)； A4(北纬 62 度，西经 150 度)；
cos 。这样每两个相邻点具有相同的纬度差 。地球表面上两点 O 和 O' 总纬度差 b 为（以海里
度量）：
b N N cos d cos
因此，所求的斜驶距离为：
d b bsec cos
公式（1）和（2）就包含了问题的解。实际上，地球上两点斜驶线的航行方位角为
斜驶距离 d 为
arctan L B
数， ' 表示构成 ' 的经度分的数。
如图 4，设通过 O 的海图经线与通过 O' 海图纬线相交于 S 。那么 OS B 为扩大纬度差 ' ，
O'S L ' （海里）， OO' 为海图的斜驶距离 d 以及 O'OS 为航行方位角。
图4
由海图直角三角形 OO'S ，按下面的方程求得航行方位角 ：