偏微分方程初步介绍

u(x,0) (x)
或者边界条件
u (x,0) (x)
t
已知端点的位移
u(0, t) g(t),u(L, t) h(t)
已知在端点受到垂直 T u g (t),
于弦的外力的作用
x x0
u
T
h(t)
x xL
已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
四. 二阶线性方程的分类 两个自变量情形
（抛物型PDE）
2u
y 2
(III) (x,y) 0 （椭圆型PDE）
2u x 2
2u y 2
例1 x2uxx 2xyuxy y2uyy 0
(x,y) (xy)2 x2 y 2 0
抛物型方程
dy xy y dx x2 x
令
y
x
y
y2u 0
u( ,) g( ) h( )
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
a
u x
b
u y
cu
0
（1）
主部
目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从 而据此分类。
(x, y) (x, y)
非奇异
x y 0 x y
(x, y) (x, y)
u(x, y)
复合求导
u u u x x x u u u y y y
半线性PDE 非线性PDE
举例(多元函数)
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
2u x2
2u y 2
2u z 2
u t
2u 2u 2u 2u x2 y2 z 2 t 2
拉普拉斯(Laplace)方程 热传导方程 波动方程
二. 定解问题的适定性
定解问 题
PDE 定解条件
初值条件 边值条件 初、边值条件
a22
y
y
a11 x
a22
y
a11 x
a22
y
0
而
A22
a11
(
x
)
2
2a12
x
y
a22
(
y
)
2
0
因此，方程（1）可改写为
2u ( , , u, u , u )
2
抛物型方程的标准型
椭圆型PDE (x, y) a122 a11a22 0
dy a12 dx
a122 a11a22 a11
f0 f (x, t)
方程改写为
2u t 2
v2
2u x 2
f
(x, t)
(0 x L, t 0)
v 表示速度，因为T的单位是质量*长度/时间的平方 单位长度是时间/质量
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。
为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时 的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条 件
(x, y) (x, y)
，方程（1）可改写为
2u ( , , u, u , u )
双曲型方程的第一 标准型
s
t
2u 2u s 2 t 2 1
双曲型方程的第二 标准型
抛物型PDE (x, y) a122 a11a22 0
dy a12 dx a11
由此得到一般积分为
偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)
参考书目
《数学物理方程》， 王明新，清华大学出版社。
《工程技术中的偏微分方程》， 潘祖梁，浙江大学出版社。
一. 偏微分方程的基本概念
x (x1, x2 , , xn )
自变量
u( x) u(x1, x2 , , xn ) 未知函数
T (x x)
Q
2
U
P
1
T (x)
X
根据牛顿第二运动定律
O
x x x
T (x x) cos2 T (x) cos1 0
(*1)
ma
x
2u t 2
T (x x) sin 2
T (x) sin 1
f0x
(*2)
表示弦的质量密度（单位长度的质量） m x
a
2u(x, t) t 2
tan 1
u
u 2u
F (x, u, x1
,
,
xn
,
x12
,
)
0
偏微分方程的一般形式
一些概念
PDE的阶 古典解
PDE的 解
广义解
线性PDE
非线性PDE
是指这样一个函数，它本身以及它的偏导 数在所考虑的区域上连续，同时用满足方 程。
半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
线性PDE： PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线 性的。 线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导数组成的 部分，称为线性方程的主部。
u( ,)
2u x 2
2u
2
( )2
x
2 2u
x
x
2u
2
( )2
x
u
2
x 2
u
2
x 2
2u xy
2u
2
x
y
2u
(
x
y
x
y
)
2u
2
x
y
u
2
xy
u
2
xy
2u y 2
2u
2
( )2
y
2 2u
y
y
2u
2
( )2
y
u
2
y 2
u
2
y 2
a11
2u x 2
拟线性PDE： PDE中对最高阶导数是线性的。
半线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的 函数。
举例（未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f ( y)
2. u a u 0 t x
变换
x x at
a
u
0
解为： u f (x at)
3.
2u 0
xt
f0x
x
2u t 2
T0
u(x x, t)
x
u(x, t) x
f0 (x, t)x
微分中值定理
x
2u ( x, t 2
t)
T0x
2u ( x, x2
t)
f0 (x, t)x
x 0
令 x 0 ，可得微分方程方程
2u t 2
T0
2u x 2
f0
弦是均匀的，故 为常数，记
v2 T0 ,
右端为两相异的复 数
由此推出两族复数积分曲线为
(x, y) C, * (x, y) C
其中
(x, y) 1(x, y) i2 (x, y)
* (x, y) 1(x, y) i2 (x, y)
由此令
1(x, y) 2 (x, y)
，
i满足方程（4）
a11
(
( i
x
)
)
2
2a12
r x2 y2
u
u 3u
6. t 6u x x3 0
KDV方程
特解都不易找到
7. ut uux eu
拟线性PDE
8. vxvxx vy2vyy v2
拟线性PDE
9. a(x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy ) 半线性PDE
10. ut ux sin u
11. ut 2 ux 2 u2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
a
u x
b
u y
cu
0
（1）
A11
2u
2
2 A12
2u
A22
2u
2
A u
B
u
Cu
0
（2）
系 数 之间（3） 的 关 系
A11
a11
(
x
)
2
2a12
x
y
a22
(
y
)
2
A12
a11
x
x
a12
(
x
y
x
y
)
a22
y
y
A22
a11
(
x
)
2
2a12
x
y
Hale Waihona Puke a22初值问题、边值问题、混合问题
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
2u
t
2
a2
2u x 2
f (x, t),
u(x, t) (x)
t 0
u
t
(x, t)
t 0
(x)
t 0, x R
经典的定解问题举例
热传导方程的初值问题（一维）
u t
a2
2u x 2
f (x, t),
三. 物理模型与定解问题的导出 • 弦振动方程
弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且 与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时 间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中 各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规 律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
( i)
x
( i)
y
a22
(
(
y
i
)
)
2
0
A11 A22 iA12 0
A11 A22 0, A12 0
从而方程（1）可改写为
2u
2
2u
2
椭圆型方程的标准型
总结
(I ) (x,y) 0
（双曲型PDE）
2u 或 2u 2u
xy
x2 y2
(II) (x,y) 0
t 0, x R
u(x, t) t0 ( x)
经典的定解问题举例
二维调和方程的边值问题
2u x2
2u y 2
0,
(x, y) R2
(
(
x)u
(
x)
u
)
g(x)
n
1, 0
第一边值问题（Dirichlet）
0, 1
第二边值问题（Neumann）
0, 0
y x
c1
x x
y y
y x2
0
1
x 0 1
u 0
u(x, y) g( y ) y h( y )
x
x
例2 utt a 2uxx 0
(t,x) a2 0
双曲型方程
dx a dt
x at c1 x at c2
例3 Tricomi方程
yuxx u yy 0
(x,y) y
4.
2u t 2
a2
2u x 2
0
变换
x at x at
解为： u g(x) h(t)
解为：
u g(x at) h(x at)
2u 0
2u 2u 5. x2 y2 0
不易找出其通解，但还是可以找 出一些特解
任意解析函数 f的(z实)部和虚部均满足方程。
ln 1 也是解 r
u x
( x,t )
tan 2
u x
( xx,t )
u 1 x
cos1 1 cos2 1
sin 1
u x
( x,t )
sin 2
u x
( xx,t )
很小
时
(*1)
T (x x) T (x)
这表明张力的大小与 x 也无关，即
T T0 常数
(*2)
x
2u t 2
T0 tan 2
tan 1
定义 ：
常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程 （5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。
a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
dy a12 dx
a122 a11a22 a11
（6）
记 ( x, y) a122 a11a22
定义 方程(1)在点M处是
双曲型：若在点M处，有
(x, y) 0
椭圆型：若在点M处，有
(x, y) 0
抛物型： 若在点M处，有
(x, y) 0
双曲型PDE (x, y) a122 a11a22 0
dy a12 dx
a122 a11a22 a11
右端为两相异的实 函数
它们的一般积分为
(x, y) C, (x, y) C
由此令
z y
a22
(
z y
)2
0
的特解，则关系式
(x, y) C 是常微分方程
a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
的一般积分。
（4） （5）
引理2. 假设 (x, y) C 是常微分方程（5）的一般
积分，则函数 z (x, y) 是（4）的特解。
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的 一般积分。
0,
0,
(y 0) (y 0)
dy y
dx
y
椭圆型
y0
双曲型
y0
y 0 dx i ydy 0
x i 2 y3 C 3
u
u
1
3
u
0
y 0 dx ydy 0
第三边值问题（Robin）
经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
u t
a2
2u x 2
f (x, t),
t 0,0 x L
u(x, t) (x)
t 0
u( x, t) x0
g (t),u(x, t) xL
h(t )
何为适定性？
存在性 唯一性 连续依赖性（稳定性）
适定性
若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数 类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函 数类中为适定的。
取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU
在时刻 t ，弦线在 x 点的
U
Q
位移为 u(x, t)
P
O
L
X
Q U
P
1
T (x)
T (x x)
2
此为上图中PQ的放 大图示
O
x x x
X
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
S x
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上 各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。 再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。
(x, y) C,
由此令
(x, y) (x, y)
，其中
(x, y) 与 (x, y)
独立的任意函数。
由于 (x, y) 0
a12 a11 a22
A11
a11 (
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)
2
a11
x
a22
y
2
0
由此推出
为什么会为0？
A12
a11
x
x
a12