数学一轮(文科) 苏教版 江苏专用 配套多媒体实用课件 第八章 立体几何(8份打包)课时作业83

第3讲直线、平面平行的判定与性质
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若直线ɑ平行于平面α，给出以下结论：①ɑ平行于α内的所有直线；②α内有无数条直线与ɑ平行；③直线ɑ上的点到平面α的距离相等；④α内存在无数条直线与ɑ成90°角．其中错误的结论是________(填序号)．
解析若直线ɑ平行于平面α，则α内既存在无数条直线与ɑ平行，也存在无数条直线与ɑ异面且垂直，所以①不正确，②，④正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以③正确．
答案①
2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________(填序号)．
①AB∥CD；②AD∥CB；③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面．
解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
答案④
3．(2015·常州监测)给出下列命题：
①若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
②若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
③若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号为________．
解析利用相关定理逐一判断．由面面平行的性质可知①正确；由线面垂直的性质可知②正确；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线可能与另一个平面平行，也可能在另一个平面内，所以③错误；若两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直于另一个平面，所以④错误．故真命题序号是①
②. 答案 ①②
4．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，现给出以下结论：①BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形；②EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形；③HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形；④EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形．其中结论正确的序号是________．
解析 如图，由题意得EF ∥BD ，且EF ＝15
BD .
HG ∥BD ，且HG ＝1
2BD . ∴EF ∥HG ，且EF ≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形．
又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行． 答案 ②
5．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为9
2. 答案 92
6．(2015·吉林九校联考)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出以下命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；③若α∥β，m ∥n ，m ∥α，则n ∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中命题正确的是________(填序号)．
解析对于①，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故①错误；
对于②，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故②正确；对于③，n可以平行β，也可以在β内，故③错；对于④，α与β可以相交，因此④错．
答案②
7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若
EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，
又E是DA的中点，所以F是DC的中点，
由中位线定理可得EF＝1
2AC，
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
所以AC＝22，所以EF＝ 2.
答案 2
8．(2014·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案①或③
二、解答题
9．(2014·苏北四市模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，
AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG. 10．(2014·苏北四市调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积．
(1)证明 如图，取BC 中点G ，连接AG ，EG ，又E 是B 1C 的中点， ∴EG ∥BB 1，且EG ＝1
2BB 1.
由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，∴EG 綊AD ， ∴四边形EGAD 是平行四边形，
∴ED ∥AG ，又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC . (2)解 ∵AD ∥BB 1， ∴AD ∥平面BCE ，
∴V E －BCD ＝V D －BCE ＝V A －BCE ＝V E －ABC ，
由(1)知，DE ∥平面ABC ，AG ＝AC 2－CG 2＝4， ∴V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝
1
6×3×6×4＝12.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
1．(2015·广东七校联考)设a ，b 是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是________(填序号)． ①存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β；
②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；
③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.
解析对于①，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以①是α∥β的一个必要条件；同理，②也是α∥β的一个必要条件；易知③不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于④，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以④是α∥β的一个充分条件．
答案④
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；
对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②，③都不可以．
答案①④
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC
的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件)．
解析如图，连接FH，HN，FN，
由题意知HN∥面B1BDD1，
FH∥面B1BDD1.
且HN∩FH＝H，
∴面NHF∥面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时，
有MN∥面B1BDD1.
答案M∈线段HF
4．(2014·南京模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2 6.
(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；
(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若
不存在，请说明理由．
解(1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.
∵四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，
∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，又A′H∩CH＝H，
所以EF ⊥平面A ′HC ，且EF ⊂平面ABCD ， 从而平面A ′HC ⊥平面ABCD ，
过点A ′作A ′O 垂直HC 且与HC 相交于点O ， 则A ′O ⊥平面ABCD ，
因为正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF ＝4， 故A ′H ＝22，CH ＝42，
所以cos ∠A ′HC ＝A ′H 2＋CH 2－A ′C 22A ′H ·CH ＝8＋32－242×22×42＝1
2，
所以HO ＝A ′H ·cos ∠A ′HC ＝2，则A ′O ＝6， 所以五棱锥A ′－BCDFE 的体积 V ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
62－12×4×4×6＝2863.
(2)线段A ′C 上存在点M ，使得BM ∥平面A ′EF ， 此时A ′M ＝6
2. 证明如下：
连接OM ，BD ，BM ，DM ，且易知BD 过O 点． A ′M ＝62＝14A ′C ，HO ＝1
4HC ，
所以OM ∥A ′H ，又OM ⊄平面A ′EF ，A ′H ⊂平面A ′EF ， 所以OM ∥平面A ′EF ，
又BD ∥EF ，BD ⊄平面A ′EF ，EF ⊂平面A ′EF ， 所以BD ∥平面A ′EF ，
又BD ∩OM ＝O ，所以平面MBD ∥平面A ′EF ， 因为BM ⊂平面MBD ，所以BM ∥平面A ′EF .。