(新课标版)备战近年高考数学二轮复习难点2.7立体几何中的空间角与距离测试卷理(2021学年)

（新课标版）备战2018高考数学二轮复习难点2.7 立体几何中的空间角与距离测试卷理
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立体几何中的空间角与距离
(一)选择题（12*５=60分)
１．直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=︒,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ )
A ．30︒ B.45︒ C ．60︒ D ．90︒ 【答案】C
2.下图是三棱锥D ABC -的三视图,点O 在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO 和
AB 所成角的余弦值等于( )
Ａ．12 B.
2
2
C.33 Ｄ．3
【答案】C
3.直三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形,三棱柱的高为3,若P 是111A B C ∆中心，且三棱柱的体积为9
4
，则PA 与平面ABC 所成的角大小是( ） Ａ.
6π B.4π C.3
π D.23π
【答案】C
【解析】由题意设底面正ABC ∆的边长为a ，过P 作⊥PO 平面ABC ,垂足为O ,则点O 为底面
ABC ∆的中心,故PAO ∠即为PA 与平面ABC 所成角，∵a a OA 3
32332=⨯=
，3=OP ，又∵直三棱柱111ABC A B C -的体积为49，∴由直棱柱体积公式得4
9
3432=⨯⨯=a V ，解得3=a ，
∴33
3
3
tan ==
∠a PAO ,∴3π=∠PAO ,∴PA 与平面ABC 所成的角为3π．故选：C ．
4．已知a ,b 为异面直线,下列结论不正确．．．
的是( ) A ．必存在平面α使得αα//,//b a B.必存在平面α使得a ，b 与α所成角相等 C ．必存在平面α使得a α⊂，b α⊥ D.必存在平面α使得a ,b 与α的距离相等 【答案】C
５.在直三棱柱111ABC A B C -中,AC BC ⊥，点M 是侧面11ABB A 内的一点，若MC 与平面ABC 所成的角为30︒，MC 与平面11ACC A 所成的角也为30︒，则MC 与平面11BCC B 所成的角正弦值为（ ) A.12 B.22
Ｃ．
32
D ．
33
【答案】B
【解析】以MC 为对角线作长方体，设MC 与平面11BCC B 所成的角为α，则
222sin sin 30sin 301α+︒+︒=，故2
sin 2
α=
．选B.
６.【广东省深圳市２018学届1１月】如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,棱长为１,
E F 、分别为11C D 与AB 的中点, 1B 到平面1A FCE 的距离为
A 。

10 Ｂ。

30 C 。

36
【答案】Ｄ
7．【湖北省武汉市2０18届部分学校联考】设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的棱
AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内,若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等,则点P 到点1C 的最短距离是( ） A 。

255 B 。

22 Ｃ． １ D ． 6
3
【答案】A
【解析】设P 在平面ABCD 上的射影为',P M 在平面11BB C C 上的射影为'M ,平面1D PM 与平面ABCD 和平面11BCC B 成的锐二面角分别为,B α,则111''cos ,cos PM C DP M
D PM D PM
S S B S S α∆∆∆∆==
， 1''cos cos ,DP M PM C B S S α∆∆=∴=,设P 到1'C M 距离为d ，则1125
512,225
d d ⨯⨯=⨯⨯=
,即点P 在与直线1'C M 平行且与直线距离为
255的直线上， P ∴到1C 的最短距离为25
5
d =,故选A. 8.【20１8东北名校联考】已知正四棱锥P ABCD -中, 2,,PA AB E F ==分别是,PB PC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ）
A ．3
B 。

6
C ． 16
D 。

12
【答案】C
9.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,1,2,2AB AC AB AA AC ⊥===,过BC 的中点D 作平面1ACB 的垂线，交平面11ACC A 于E ，则BE 与平面11ABB A 所成角的正切值为( )
A.
55 B.510 10 10【答案】C
1０。

【四川省２01８届期考】如图，四棱锥P ABCD
-中, PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//
AD BC, AB BC
⊥，3
AB AD PB
===,点E在棱PA上，且2
PE EA
=,则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为（）
A。

2
3
Ｂ。

6
6
C.
3
3
D。

6
3
【答案】B
【解析】以B为坐标原点,分别以BC、BA、ＢP所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则()()()()()
0,0,0,0,3,00,0,3,3,3,0,0,2,1
B A P D E
，，∴()()
0,2,1,3,3,0
BE BD
==，设平面ＢＥD的
一个法向量为()
,,
n x y z
=,则
20
{
330
n BE y z
n BD x y
⋅=+=
⋅=+=
，取z＝1，得
11
,,1
22
n
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
,平面ABＥ的法向
量为()
1,0,0
m=,∴
1
6
2
,
6
6
1
cos n m==
⨯。

∴平面ABＥ与平面BEＤ
6
故
选Ｂ.
11．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则直线1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于( ） A.
64 B ．104 C ．22
D.32 【答案】A
１２．如图四边形ABCD ，2AB BD DA ===,2BC CD ==。

现将ABD ∆沿BD 折起,当二面
角A BD C --处于5[,]66
ππ
过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是( ）
A.522[,]88-
B ．252[,]88 Ｃ.2[0,]8 D ．52
[0,]8
【答案】Ｄ。

（二)
填空题(4*5=20分）
１3. 【湖南师范大学附属中学２0１8届11月】如图,圆锥的高2PD =，底面⊙O 的直径
2AB =， C 是圆上一点,且30CAB ∠=︒, D 为AC 的中点,则直线OC 和平面PAC 所成角的余
弦值为___＿_＿____.
【答案】
7
3
14．在正四棱锥ABCD P -中,2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成角为︒60,E 为PC 的中点,则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________. 【答案】 45
【解析】如图,由题意易知︒=∠60PAC ,因为PA EO //,所以BEO ∠为异面直线PA 与BE 所成角，又2=PA ,BEO Rt ∆中，1=EO ，1==AO BO ，得BEO ∆为等腰直角三角形,故异面直线PA 与BE 所成角为 45．
15.【安徽省六安市一中2０18届高第五次月考】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形, 4,4AB SA SB SC ====,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为____＿＿_＿__． 23
【解析】∵三棱锥S ABC -中SA SB SC ==,∴顶点S 在底面A ＢC 上的射影H 为ABC ∆的外心，又ABC ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴点H 为AB 的中点.∴S H ABC ⊥平面．如图,设点O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，则OH 的长即为外接球的球心到平面ABC 的距离．设球半径为R ,则,OB R = OH SH SO SH R =-=-.由题意得，
221
23,22
SH SB BH BH AB =-==
=，在Rt OHB ∆中，有222OB OH HB =+,即()
2
2
2232R R =-+,解得433R =
，∴4323
2333
OH =-=,即三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为
233.答案： 23
3
16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==,8BC =,AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12
,则球O 的表面积为____＿＿___． 【答案】
6349
π
（三)解答题(4*10＝4０分)
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥，1PD D C BC ===，2AB =,//,90AB DC BCD ∠=.
⑴ 求证：PC BC ⊥;
⑵ 求点A 到平面PBC 的距离.
18.在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为
10。

(1)求棱1A A 的长；
(２）若11AC 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值。

【解析】（１)设1A A h =,由题设111
111111110ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=,得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=,即11
22221032
h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =,故1A A 的长为3。

(2）连接1O C ，在长方体中11A D BC ，1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角)， 在1O BC ∆ 中,计算可得11
11O B OC ==,则1O BC ∠的余弦值为11
11
. 19。

【2018河南名校联考】如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 011,90,BA BC BB ABC BB ==∠=⊥ 平面ABC ,点E 是1A B 与1AB 的交点，点D 在线段AC 上， 1//B C 平面1A BD 。

(1)求证: 1BD AC ⊥;
（２)求直线1AC 与平面11A B D 所成的角的正弦值。

则()()()11111,0,1,0,0,1,0,1,0,,,022A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,得()111111,0,0,,,122B A B D ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，
设(),,m x y z =是平面11A B D 的一个法向量,则1111
11110
{ { 11
22
m B A x m B A m B D m B D x y z ⋅==⊥⇒⊥⋅=+-=，
令1z =，得()0,2,1m =，又()1
1,1,1AC =--,设直线1AC 与平面11A B D 所成的角为θ, 则115
sin 553
θ=
=⋅.
20【2018河南洛阳联考】如图，在直角梯形ABCD 中， //,,,AD BC AB BC BD DC ⊥⊥点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连接,,,AE AC DE 得到如图2所示的几何体。

(1）求证； AB ⊥平面;ADC ;
（２）若1,AD =二面角C AB D --的平面角的正切值为6,求二面角B AD E --的余弦值。

法２ ：因为DC ⊥平面ABD ，过点E 作EF // DC 交BD 于F ，则EF ⊥平面ABD 。

因为
AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD 。

过点F 作FG ⊥AD 于G ,连接GE ,所以AD ⊥平面
EFG ，因此AD ⊥GE . 所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠． 由平面几何知识求得162EF CD ==
12
22FG AB ==所以222EG EF FG =+ 所以cos ∠EGF =
12FG EG =． 所以二面角B AD E --的余弦值为1
2
.
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