学年北京市东城区初中三年级一模数学测试卷( 含答案 )

北京市东城区第二学期初三综合练习（一）
1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12
-
C ．
12
D ．2
2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。

其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是
A ．424.510⨯
B ．52.4510⨯
C ．62.4510⨯
D ．60.24510⨯ 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ． 棱柱
4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的
中位数和众数分别是
分数 50 60 70 80 90 100 人数 1
2
8
13
14
4
A ． 70,80
B ． 70,90
C ． 80,90
D ． 80,100
5． 在六张卡片上分别写有1
π,
, 1.5,3,0,23
-,从中任意抽取一张,卡片上
的数为无理数的概率是 A ． 1
6
B ．13
C ． 1
2
D ． 2
3
6．正五边形的每个外角等于
A. 36︒
B. 60︒
C. 72︒
D. 108︒ 7．如图，AB 是
O 的直径，点C 在O 上，过点C 作O 的切线交AB 的
延长线于点D ，连接OC ，AC . 若50D ∠=︒，则A ∠的度数是 A. 20︒ B ．25︒ C ．40︒ D ．50︒
8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y（单位：千米）与行驶时间t（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为( )
A. 43.5
B. 50
C. 56
D. 58
9. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON
的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是( )
A. 3
B.2
C.23
D.4
10.如图1，ABC
△和DEF
△都是等腰直角三角形，其中90
C EDF
∠=∠=︒，点A与点D重合，点E在AB上，4
AB=，2
DE=.如图2，ABC
△保持不动，DEF
△沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动.设AD x
=，DEF
△与ABC
△重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是
图1图2
4
1.5
2.24
A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：2
2
4mx my -= ． 128272+3的结果为 ．
13. 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围 是 ．
14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表: 北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米
分档水量
户年用水量
（立方米）
水价
其中
自来水费 水资源费
污水
处理费 第一阶梯 0-180（含） 5.00 2.07 1.57
1.36
第二阶梯 181-260（含） 7.00 4.07 第三阶梯
260以上
9.00 6.07
某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费 元.
15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，
落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．
16．l 1A l y 1A O 边做正方形111A OC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以 21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图
第15题图 第16题图
O
D
B
C
所示的图形.则点4B 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．
17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =． 求证：
DC AB ∥．
18. 计算：()1
1336043-⎛⎫
-︒+-+- ⎪⎝⎭
π.
19．解不等式组：()2131,
5 4.2
x x x
x --⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜
20．先化简，再求值：22
2442111
a a a a a a -+-+÷+--，其中21a =．
21．列方程或方程组解应用题：
2015年“植树节”前夕，
某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？
22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()4,2A -向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO .双曲线 k
y x
=
经过斜边AO 的中点C ，与边AB 交于点D ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD 的面积．
F
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，
BC
的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．
24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生
最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查 名学生； （2）请把条形图（图1）补充完整；
（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数； （4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．
25. 如图,在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CD 与OB 交于点F ，过点,D A 分别作⊙O 的切线交于点G ，且GD 与AB 的延长线交于点E ．
（1）求证：12∠=∠;
（2）已知：:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，求AG 的长．
26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．
(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;
明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;
请回答：AF 与BE 的数量关系是 .
(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AF
BE
的值.
G F E
O
图1 图2
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y
轴交于点C ．
（1）求抛物线()2
10y ax
bx a =++≠的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线()2
10y ax
bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D
的坐标;
（3）在抛物线()2
10y ax
bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为
直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
28. 已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．
（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
A
B
C
图1 图2 图3
29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时,
{}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．
(1)求{}
2min x -1,-2;
(2)已知2
min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;
(3) 已知当23x -≤≤时，2
2
min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.
东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）
数学试题参考答案及评分标准 2015.5
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在ODC △和OBA △中，
∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分
()()1
118.3604
313441
5-⎛⎫
-︒+-+- ⎪⎝⎭
=-+=-解：π分分
19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨
-+⎪⎩①
②
＞解：5＜2， 2x 由①得，＜，
…………2分 1x -由②得，＞， …………4分 所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分
()()()222
2442
1112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷
+----=+⋅
++---=
+
++=
+20.解：分
当21a =
时，2-12-12
22-112
=
+原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分 根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分 解得： 15x =. …………5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .
∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A
-，
∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴
1
2
OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =. ∴
()2,1C -. …………2分
∵双曲线k
y x
=经过点C ， ∴2k =-.
∴反比例函数的解析式为2
y x
=-. …………3分 （2）∵点D 在AB 上，
∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2
y x
=-
上，
∴点D 的纵坐标为12
. …………4分 ∴BOD S △11141222
OB BD =⋅⋅=⨯⨯=.…………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥，
∴四边形DBCE 是平行四边形.
∴CE BD =.
又∵CD 是边
AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =.
又∵CE DA ∥，
∴四边形ADCE 是平行四边形.
∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边
AB 上的中线，
∴AD CD =. ∴四边形ADCE 是菱形. …………3分
（2）解：作CF AB ⊥于点F .
由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.
在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =.
∵1122
AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴255AC BC CF x AB ⋅=
=. ∵152CD AB x ==, ∴4sin 5
CF CDB CD ∠==.…………5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分
答：一共调查了200名学生；
（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），
最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；
补全条形图如图； …………3分
（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：
60200
×360°=108°； …………4分 F
（4）1500×30200
=225（名）． …………5分 答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．
25.（1）证明：连结OD ，如图.
∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径，
∴OD DE ⊥.
∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒.
∵OC OD =，
∴C ODC ∠=∠.
∴290C ∠+∠=︒.
而OC OB ⊥，
∴390C ∠+∠=︒.
∴23∠=∠.
∵13∠=∠，
∴12∠=∠. …………2分
（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，
∴1OF =.
∵12∠=∠，
∴EF ED =.
在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+.
∵222OD DE OE +=，
∴()2
2231x x +=+，解得4x =.
∴4DE =，5OE =.
∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线，
∴AG AE ⊥，GA GD =.
∴90GAE ∠=︒.
在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+.
∵222AG AE GE +=. ∴()2
2284t t +=+，解得，6t =. ∴6AG =. -------------------5分
26. 解：（1）AF =BE ； …………1分 （2）3AF BE
= …………2分
理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒,
∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒.
∴90FAO AFO ∠+∠=︒.
∵AG BE ⊥，
∴90EAG BEA ∠+∠=︒．
∴AFO BEA ∠=∠.
又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，
∴AOF BOE △∽△. …………3分
∴AF AO BE OB
= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，
∴tan 60AO OB
=︒=.
∴
AF BE =. …………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，
∴10,1 1.
a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ∴1,21.2
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122
y x x =-++. …………2分 （2）∵122
b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122
y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =
的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12
x =于点D ，此时ACD △的周长最小.
设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，
则2m 0,1.
k m +=⎧⎨=⎩ 解得1,21.
k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
所以，直线EC 的函数表达式为112
y x =-+. 当12x =时，34
y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫
⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.
①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，
∴90AOM CAM ∠=∠=︒.
∵()0,1C ，()1,0A -，
∴1OA OC ==.
∴45CAO ∠=︒.
∴45OAM OMA ∠=∠=︒.
∴1OA OM ==.
∴点M 的坐标为()0,1-.
设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,1.
k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得11
1,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.
令12x =，则32
y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，
∴1OC ON ==.
∴点N 的坐标为()1,0.
∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，
∴21CP AP ∥.
∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+.
令12x =，则12
y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分
28.解:(1) 当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分
（2）补全图形如图1，
BD A A '⊥仍然成立；------------3分
（3）猜想BD A A '⊥仍然成立.
证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=︒.
∵BC BC '=， 图1
∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，
∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠.
在AEC △和A FC ''△中，
90,
,
,
AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩
∴AEC A FC ''△≌△.
∴AE A F '=.
在AED △和A FD '△中，
90,
,
,
AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩
∴AED A FD '△≌△.
∴AD A D '=.
∵AB A B '=，
∴'ABA △为等腰三角形.
∴BD A A '⊥------------7分
29．解：（1）∵20x ≥，
∴2x -1≥-1.
∴2-x -1＞2.
∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分
(2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2, ∴()2111x k k -+--≥.
图
2
∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.
∴2k -≥. ┉┉5分
(3) 37m -≤≤. ┉┉8分。