静力平衡的图解方法

1.力多边形
A 力多边形
用图解法求平面汇交力系的合力时（图1-1-6a），作力多边形ABCDE。

其中，AE边即代表合力的大小和方向，作用线通过O点。

如果力矢F1、F2….闭合，即合力矢R＝0，则力系平衡。

因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件，用图解法表示时，就是力多边形闭合。

图1-1-6 力多边形和索多边形
B 索多边形
对于平面一般力系的合力，力多边形只能求出R的方向和大小，而不能确定R在物体上作用线的位置。

要确定作用线的位置，可把不汇交于一点的力矢F1、F2….用下述等效的辅助力来代替。

首先在力多边形的里面连接起来（图1-1-6b），O点称为极点，连线OA、OB…称为射线。

在力矢F1上任一点b作平行于射线OA、OB的力1、2。

F1就用分力1、2代替。

同理，力矢F2、F3、F4用（2，3）（3，4）（4，5）各分力代替，分力1、5的交点g。

如果把一条柔沿着多边形abcdef 放置且固定于a、f两点，当力矢F1、F2、F3、F4作用于b、c、d、e各点时柔索将保持平衡。

移多边形abcdef为索多边形。

2.合力为零的特殊情形。

如果所作的力多边形闭合，合力R为零，射线1、5重合，这时索多边形的第一个边和最后一个边或者是（图1-1-7a），或者是重合（图1-1-7b）
图1-1-7 力多边形闭合的特殊情形
力多边形封闭而索多边形开启，力系等效于力的大小为OA，力臂为L的力偶。

力多边形和索多边形都封闭时，力系平衡。

3.用索多边形确定支座反力
当外力为一般力系时（图1-1-8a），利用力多边形和索多边形闭合的条件求出支座反力R A和R B。

作力多边形时，已知力F1、F2次序可以是任意的。

但作索多边形时必须与作力多边形时的次序相同。

作索多边形第一条边应从支座反力方向不能予先确定的A点开始。

最后，从极点o作与索多边形封闭边Ad平行的射线4确定支座反力R B和R A。

当外力平行力系时（图1-1-8b），力多边形为重合的直线。

平行于索多边形封闭边ae的射线5确定支座反力R A和R B。

图1-1-8 用索多边形确定支座反力
4.索曲线
A 分布荷下的索多边形＿＿索曲线
在处理集度为q(x)的分布载荷作用下物体的平衡时（图1-1-9），用阴影面积的高度代表梁上任一点处的载荷集度q(x)。

将阴影面积分为若干部分，由通过每一部分的重心的力F1、F2、…F m索多边形。

随所划分部分数目n的增多，索多边形趋于内切的索曲线。

图1-1-9 分布载荷的索多边形
平面力系的索多边形可理解为受已知力作用的柔索的平衡时的位形。

已知力为分布时，柔索的平衡位形为一索曲线。

索曲线上任一点的切线对应于力多边形上与之平行的一根射线。

射线的长度代表该点处柔索的张力（图1-1-10），索曲线最低顶点e处柔度的张力H称为极矩，H即为柔索任何其他点张力的水平分量。

图1-1-10 索曲线
B 索曲线微分方程从索曲线相邻两点的斜率的变化关系中，建立索曲线的微分方程为
（1-1-9）
上式为对应于任一指定极距H的一簇索曲线的微分方程。

由载荷分布条件和边界条件，积分上式得到不同的索曲线方程。

C 抛物线缆索
当缆索所受水平跨距上的载荷为均匀分布，即q(x)=qo为常数时（如吊桥缆索的受力情况），这时微分方程的解数为
（1-1-10）
上式一抛物线方程。

如取抛物线顶点为坐标原点，当x=o时，y=o，dy/dx=o 得c1=c2=0。

这时方程简化为
（1-1-11）
D 悬链线缆索
将一柔过自由悬挂在两个端点上（图1-1-11），在自重作用下索曲线的微分方程为
图1-1-11 悬链线缆索
（1-1-12）式中q--缆索单位长度的重量
上式积为后得悬链线方程
（1-1-13）。