2022高考一轮江苏数学(文)(练习)第1章 第1课 集合的概念与运算 Word版含答案

第一章集合与常用规律用语
第1课集合的概念与运算
[最新考纲]
内容
要求
A B C
集合及其表示√
子集√
交集、并集、补集√
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
2．集合间的基本关系
(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算
并集交集补集
图形表示
符号表示A∪B A∩B ∁U A
意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
1．(思考辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集．()
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()
[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．
(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．
(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×
2．(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.
{x|x≤2，或x≥10}[∵A∪B＝{x|2<x<10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．]
3．(2022·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.
{－1,2}[在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．]
4．集合{－1,0,1}共有________个子集．
8[由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．]
5．(2021·盐城期中模拟)若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2<x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
[2，＋∞)[∵A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2<x≤2}，且B⊆A，
∴2≤m，即实数m的取值范围是[2，＋∞)．]
集合的基本概念
(1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素有________个． (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 【导学号：62172000】
(1)5 (2)0或9
8 [(1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；
当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1； 当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.
依据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．
(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝2
3，符合题意；
当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝9
8， 所以a 的取值为0或9
8.]
[规律方法] 1.争辩集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特殊地，对于
含有字母的集合，在求出字母的值后，要留意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．
2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类争辩思想，如题(2)．
[变式训练1] (1)(2021·启东中学高三第一次月考)已知x 2∈{0,1，x }，则实数x 的值是________．
(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2
＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． (1)－1 (2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－98 [(1)由集合中元素的互异性可知x ≠0且x ≠1.
又x 2∈{0,1，x }，所以只能x 2＝1，解得x ＝－1或x ＝1(舍去)． (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，
当a ＝0时，x ＝2
3不合题意；
当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－9
8.]
集合间的基本关系
(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C
⊆B 的集合C 的个数为________．
(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．
(1)4 (2)(－∞，4] [(1)∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}， B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．
∴由A ⊆C ⊆B 可知C 中至少含有1,2两个元素，
故满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4.]
[规律方法] 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解，如题(2)．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题经常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解．
[变式训练2] (1)设
a ，
b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.
(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．
(1)2 (2)(－∞，－1]∪{1} [(1)由题意可知a ，b ≠0，由集合相等的定义可知，a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，即b
a ＝－1，
∴b ＝1，故b －a ＝2b ＝2.
(2)由于A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种状况：
①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4(a ＋1)2
－4(a 2
－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，
解得a ＝1；
②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；
③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝ 1.]
集合的基本运算
☞角度1 求集合的交集或并集
(1)(2021·南京二模)设集合A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝________.
(2)(2021·如皋市高三调研一)设集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，则P ∩Q ＝________.
(1){x |－2<x <1} (2){1,2} [(1)∵A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－2<x <1}． (2)∵P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，
∴P ∩Q ＝{1,2}．]
☞角度2 交、并、补的混合运算
(1)(2021·苏锡常镇二调)已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∪
(∁U B )＝________.
(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是________．
图1-1
(1){1,2,5} (2)(－3，－1) [(1)由题意可知∁U B ＝{1,5}，又A ＝{1,2}，∴A ∪(∁U B )＝{1,2,5}．
(2)由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．]
☞角度3 利用集合的运算求参数
(1)(2021·南通二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数
a 的值为________. 【导学号：62172001】
(2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________.
(3)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．
(1)1 (2)0或3 (3)[1，＋∞) [(1)∵A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，
∴a －1＝0或a ＋1
a ＝0(舍去)， ∴a ＝1.
(2)由A ∪B ＝A 可知B ⊆A ， 又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，
所以m＝3或m ＝m，解得m＝0或m＝3或m＝1(舍去)．
(3)由A∩B＝∅可知，a≥1.]
[规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．
2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要留意端点值的取舍．易错警示：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的状况，肯定要先考虑∅是否成立，以防漏解．
[思想与方法]
1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺当找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要留意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．
3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．
(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．
(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．
[易错与防范]
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的争辩，以防漏解．3．解题时留意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特殊留意端点是实心还是空心．
课时分层训练(一)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．(2021·苏州期中)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0}，则A∪B＝________.
{－1,0,1}[A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．]
2．(2021·南京模拟)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝________. 【导
学号：62172002】
{x |0≤x ≤2} [A ∩B ＝{x |－1≤x ≤2}∩{x |0≤x ≤4} ＝{x |0≤x ≤2}．]
3．(2021·南通第一次学情检测)已知集合A ＝{x |0<x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A ∪B ＝________.
{x |－1≤x ≤3，x ∈R } [∵A ＝{x |0<x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．]
4．(2021·如皋中学高三第一次月考)已知集合A ＝{1，cos θ}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12，1，若
A ＝
B ，则锐角
θ＝________.
π3 [由A ＝B 可知cos θ＝12，又θ为锐角，∴θ＝π3.]
5．(2021·盐城三模)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5,7,9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________．
8 [由题意可知A ∩B ＝{1,3,5}， ∴C ＝{1,3,5}，
∴集合C 的子集共有23＝8个．]
6．(2021·南京三模)已知全集U ＝{－1,2,3，a }，集合M ＝{－1,3}．若∁U M ＝{2,5}，则实数a 的值为________．
5 [∵M ∪∁U M ＝U ，∴U ＝{－1,2,3,5}，∴a ＝5.]
7．(2021·泰州中学高三摸底考试)已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________. {1,2} [A ∩B ＝{x |x >0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．]
8．设全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3}，则B ∩(∁U A )＝________. 【导学号：62172003】
{2} [∵A ＝{1,3}，∴∁U A ＝{2,4}，∴B ∩(∁U A )＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．]
9．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A }，则集合B 中的元素个数为________．
6 [∵A ＝{1,2,4}，B ＝{2,3,4,5,6,8}， ∴集合B 中共有6个元素．]
10．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为________．
2 [集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．]
11．(2021·无锡模拟)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则实数a ＝________. 【导学号：62172004】
0 [∵1∈{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}， ∴1＝a ＋2，或(a ＋1)2＝1，或a 2＋3a ＋3＝1.
①当a ＋2＝1，即a ＝－1时，此时a 2＋3a ＋3＝1，不满足集合中元素的互异性； ②当(a ＋1)2＝1时，a ＝0或a ＝－2，又当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；
③当a 2＋3a ＋3＝1时，a ＝－1或－2，由①②可知，均不满足题意． 综上可知，a ＝0.]
12．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁
U B )＝________.
{3} [∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}．
又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}， 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．] B 组 力量提升
(建议用时：15分钟)
1．(2022·全国卷Ⅱ改编)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝
________.
{0,1,2,3} [B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0,1}．又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．]
2．(2022·天津高考改编)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________. {1,4} [由于集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1,4,7,10}．
又由于A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]
3．(2021·盐城模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝________.
[2，＋∞) [∵A ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}， B ＝{y |y ＝
x 2＋2x ＋5}＝{y |y ≥2}，
∴A ∩B ＝{x |x ≥2}．]
4．(2021·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为________．
4 [由题意可知P ＝{3,4}，故集合P 的子集共有22＝4个．]
5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为________. 【导学号：62172005】
0,1,2 [∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}． 由A ∩B ＝B 可知B ⊆A .
①当a ＝0时，B ＝∅，满足A ∩B ＝B ； ②当a ≠0
时，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
2a ，
由B ⊆A 可知，2a ＝1或2
a ＝2，即a ＝1或a ＝2. 综上可知a 的值为0,1,2.]
6．若x ∈A ，且1
x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，12，2，3的全部非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为________．
3 [具有伙伴关系的元素组是－1，1
2，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，1
2，2.]。