宁德市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)(有答案)AwwnUq

2015-2016学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．
1．复数z=对应的点z在复数平面的（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设ξ～B（n，p），若有Eξ=8，Dξ=4，则n，p的值分别为（）
A．16 和B．15和C．18和D．20和
3．“因为指数函数y=a x是增函数，而y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，导致上面推理错
误的原因是（）
A．大前提错 B．小前提错
C．推理形式错D．大前提和小前提都错
4．三个人独立破译一密码，他们能独立破译的概率分别是、、，则此密码被破译的概率为（）
A．B．C．D．
5．3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数为（）
A．2种B．9种C．36种D．72种
6．给出下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集），其中类比结论错误的是（）A．“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”．
B．“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”．
C．“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则实数a+b=c+d ⇒a=c，b=d”
D．“若a，b∈R，则|a+b|≤|a|+|b|”类比推出“若a，b∈C，则|a+b|≤|a|+|b|”．
7．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“恰好出现一个6点”，事件B为“三个点数都不相同”，则概率P（B|A）的值为（）
A．B．C．D．
8．如图由曲线y=x2+2x与y=2x+1所围成的阴影部分的面积是（）
A．0 B．C．D．2
9．方程x3﹣3x2﹣9x﹣5=0的实根个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．若S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2016×2016!，则S的个位数字是（）
A．0 B．1 C．3 D．9
由表中数据，求得线性回归直线方程为=﹣6x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（）
A．B．C．D．
12．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＜m＜﹣1，则下列结论中一定错误的是（）
A．f（）＞﹣B．f（）＞﹣
C．f（）＜D．f（）＜﹣
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（2x﹣sinx）dx=．
14．设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=．
15．（x2++2）5展开式中x4项的系数为．
16．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端
的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数之和，如=+，=+，=+，…，则第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知z1=m2+i，z2=（2m﹣3）+i，m∈R，i为虚数单位．且z1+z2是纯虚数．
（Ⅰ）求实数m的值．
（Ⅱ）求z1•的值．
18．已知函数f（x）=（x2+a）•e x在（0，f（0））处的切线与直线y=﹣8x平行．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）求f（x）的单调区间和极值．
19．若（x+）（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为64．
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ）求展开式中的常数项．
20．记S n=1+2+3+…+n，T n=12+22+32+…+n2．
（Ⅰ）试计算，，的值，并猜想的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n的通项公式，并用数学归纳法证明之．
20名男女用户，汇总数据如表
由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取2人，都是男生的概率是．
（Ⅰ）根据条件完成以上2×2列联表，并据此判断有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．（Ⅱ）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为X，求X的分布列和期望E （X）．
附：χΧ
2=，
2.706
22．已知函数f（x）=+kx（k＜0）．
（Ⅰ）若f'（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，求k的最大整数值．
（Ⅱ）若∃t1，t2∈[e，e2]，使f'（t1）﹣k≥f（t2）成立，求k的取值范围．
2015-2016学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．
1．复数z=对应的点z在复数平面的（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z===对应的点z在复数平面的第二象限．
故选：B．
2．设ξ～B（n，p），若有Eξ=8，Dξ=4，则n，p的值分别为（）
A．16 和B．15和C．18和D．20和
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】由已知利用二项分布的性质的合理运用．
【解答】解：∵ξ～B（n，p），Eξ=8，Dξ=4，
∴，
解得n=16，p=．
故选：A．
3．“因为指数函数y=a x是增函数，而y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，导致上面推理错
误的原因是（）
A．大前提错 B．小前提错
C．推理形式错D．大前提和小前提都错
【考点】演绎推理的基本方法．
【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论
【解答】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，
当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数
∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，
从而导致结论错．
故选A．
4．三个人独立破译一密码，他们能独立破译的概率分别是、、，则此密码被破译的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】先求出他们都不能译出的概率，用1减去此值，即得该密码被破译的概率．
【解答】解：他们不能译出的概率分别为1﹣、1﹣、1﹣，
则他们都不能译出的概率为（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，
故则该密码被破译的概率是1﹣=，
故选：C．
5．3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数为（）
A．2种B．9种C．36种D．72种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，问题得以解决．
【解答】解：分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3男3女内部也要全排，
故有A33A33A22=72种，
故选：D．
6．给出下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集），其中类比结论错误的是（）A．“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”．
B．“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”．
C．“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则实数a+b=c+d ⇒a=c，b=d”
D．“若a，b∈R，则|a+b|≤|a|+|b|”类比推出“若a，b∈C，则|a+b|≤|a|+|b|”．
【考点】类比推理．
【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，故而合理的进行发散联想以及合理的外推，是解得本题的关键．另外，否定一个结论只需举一个反例即可．
【解答】解：A．根据复数相等的充要条件，可得a，b∈C时，则a﹣b=0，则两个复数的实部和虚部均相等，故a=b，即A正确；
B．当a，b∈C，两个复数的虚部相等且不为0，即使a﹣b＞0，这两个虚数仍无法比较大小，故B错误；
C．若a，b，c，d∈Q，则实数a+b=c+d⇒a=c，b=d”可以得知C正确；
D．若a，b∈C，则|a+b|≤|a|+|b|”，可知D正确．
故选：B．
7．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“恰好出现一个6点”，事件B为“三个点数都不相同”，则概率P（B|A）的值为（）
A．B．C．D．
【考点】条件概率与独立事件．
【分析】根据条件概率的含义，P（B|A）其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“恰好出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，分别求得“恰好出现一个6点”与“三个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．
【解答】解：根据条件概率的含义，P（B|A）其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，
即在“恰好出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，
“恰好出现一个6点”的情况数目为6×5×5=150，
“三个点数都不相同”，共6×5×4=120种，
故P（B|A）==．
故选：A．
8．如图由曲线y=x2+2x与y=2x+1所围成的阴影部分的面积是（）
A．0 B．C．D．2
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】利用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，然后计算．
【解答】解：由题意由曲线y=x2+2x与y=2x+1所围成的阴影部分的面积是
===；
故选C．
9．方程x3﹣3x2﹣9x﹣5=0的实根个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由方程x3﹣3x2﹣9x﹣5=0的实根的个数，等于函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣5零点的个数，利用导数法求出函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣5的极值，分析后即可得到结论．
【解答】解：令f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣5，
则f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）．
由f′（x）＞0得x＞3或x＜﹣1，
由f′（x）＜0得﹣1＜x＜3．
∴f（x）的单调增区间为（3，+∞），（﹣∞，﹣1），单调减区间为（﹣1，3），
∴f（x）在x=﹣1处取极大值，在x=3处取极小值，
又∵f（﹣1）=0，f（3）=﹣32＜0，
∴函数f（x）的图象与x轴有两个交点，
即方程x3﹣3x2﹣9x﹣5=0有两个实根．
故选：C．
10．若S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2016×2016!，则S的个位数字是（）
A．0 B．1 C．3 D．9
【考点】排列及排列数公式．
【分析】分别算出1!，2!，3!，4!，5!，6!的尾数，从而发现规律．
【解答】解：∵1×1!=1，2×2!=4，3×3!=18，4×4!的末位数字是6，
以后的每位数的末位数字都是0，
∴1+4+8+6=19，
故S的个位数字是9，
故选：D．
由表中数据，求得线性回归直线方程为=﹣6x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；线性回归方程．
【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．
【解答】解：=，
=，
∵线性回归直线方程为=﹣6x+．
∴70=﹣6×，解得=100，
∴线性回归直线方程为=﹣6x+100，
数据（3，78），（4，72），（5，69），（6，68），（7，63）．
5个点中有3个点在直线的下侧，即（3，78），（4，72），（5，69）．
则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，
故在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为p=．
故选：C．
12．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＜m＜﹣1，则下列结论中一定错误的是（）
A．f（）＞﹣ B．f（）＞﹣
C．f（）＜D．f（）＜﹣
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据导数的概念得出＜m＜﹣1，用x=代入可判断出f（）＞﹣，即可判断答案．
【解答】解；∵f′（x）=，f′（x）＜m＜﹣1，
∴＜m＜﹣1，
即＜m＜﹣1，
当x=时，f（）+1＞×m=，
即f（）＞﹣1=﹣，
故f（）＞﹣，
所以f（）＜，一定出错，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（2x﹣sinx）dx=0．
【考点】定积分．
【分析】观察被积函数为奇函数，并且积分的上限与下限关于原点对称，得到所求．
【解答】解：因为被积函数为奇函数，并且积分的上限与下限关于原点对称，
所以原式为0；
故答案为：0
14．设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=4．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（4，9），得到曲线关于x=4对称，根据P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），结合曲线的对称性得到点c+3与点c﹣3关于点4对称的，从而做出常数c的值得到结果．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，9），
∴曲线关于x=4对称，
∵P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），
∴c+3+c﹣3=8，
∴c=4
故答案为：4．
15．（x2++2）5展开式中x4项的系数为120．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】变形（x2++2）5=，利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：（x2++2）5=，
其通项公式T r+1==x10﹣2r，
令10﹣2r=4，解得r=3．
∴展开式中x4项的系数===120．
故答案为：120．
16．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端
的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数之和，如=+，=+，=+，…，则
第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）为或．
【考点】归纳推理．
【分析】根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中
的每一个数C n r都换成分数，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）．
【解答】解：将杨晖三角形中的每一个数C n r都换成分数，
就得到莱布尼兹三角形．
∵杨晖三角形中第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）C n
﹣13，
则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）是或．
故答案为：或．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知z1=m2+i，z2=（2m﹣3）+i，m∈R，i为虚数单位．且z1+z2是纯虚数．
（Ⅰ）求实数m的值．
（Ⅱ）求z1•的值．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】（Ⅰ）求出z1+z2，根据纯虚数的定义求出m的值即可；
（Ⅱ）求出，从而求出z1•的值．
【解答】解：（Ⅰ），
∵z1+z2是纯虚数，
∴，
则m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
则，
∴===．
18．已知函数f（x）=（x2+a）•e x在（0，f（0））处的切线与直线y=﹣8x平行．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）求f（x）的单调区间和极值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，得到f′（0）=﹣8，解出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2x•e x+（x2+a）•e x=（x2+2x+a）•e x…
依题意得f'（0）=﹣8，
故a=﹣8…
（Ⅱ）f'（x）=（x2+2x﹣8）•e x
令f'（x）=0则x2+2x﹣8=0解得x=﹣4或x=2…
f（x）的单调递增区间：（﹣∞，﹣4）和（2，+∞）单调递减区间：（﹣4，2）…
．…
19．若（x+）（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为64．
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ）求展开式中的常数项．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】（Ⅰ）令x=1，则展开式中各项系数和为2n+1=64，解出n即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，要求展开式的常数项，只需求
展开式中含的项，利用通项公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）令x=1，则展开式中各项系数和为2n+1=64，
解得：n=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
要求展开式的常数项，只需求展开式中含的项．
由通项公式得，
令5﹣2r=±1，得r=2或r=3．
所以该展开式中的常数项为．
20．记S n=1+2+3+…+n，T n=12+22+32+…+n2．
（Ⅰ）试计算，，的值，并猜想的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n的通项公式，并用数学归纳法证明之．
【考点】数学归纳法；归纳推理．
【分析】（Ⅰ）代值计算即可，由此猜想，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想均成立，利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成
【解答】解：（Ⅰ）
猜想：，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想：
又，
故（n∈N*），
证明：①当（Ⅱ）时，左边T1=1，右边=左边=右边，猜想成立．
②假设n=k时，猜想成立．即成立．
则当n=k+1时，=，
==，
==，
∴当n=k+1时，猜想也成立．
由①②知对于任意的n∈N*，均成立．
20名男女用户，汇总数据如表
由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取2人，都是男生的概率是．
（Ⅰ）根据条件完成以上2×2列联表，并据此判断有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．（Ⅱ）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为X，求X的分布列和期望E （X）．
附：χΧ
2=，
【分析】（Ⅰ）求出n，完成2×2列联表，求出K2，与临界值比较，可得有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望E（X）．
【解答】解：（Ⅰ）设满意的人数为n，依题意得：，解得：n=7…
合计13 7 20
……
所以有97.5%把握认为“用户满意度”与性别有关．…
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3 …
P（X=1）=…
P（X=2）=…
P（X=3）=…
1 2 3
……
22．已知函数f（x）=+kx（k＜0）．
（Ⅰ）若f'（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，求k的最大整数值．
（Ⅱ）若∃t1，t2∈[e，e2]，使f'（t1）﹣k≥f（t2）成立，求k的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）可求出函数f（x）的定义域，并求出f′（x）=，而配方即可得出
，这样即可求出f′（x）的最大值，从而得出，这便可得出k的最大整数值；
（Ⅱ）根据题意便可得出f′（x）max﹣k≥f（x）min，从而得到，这样讨论k：和，判断函数f（x）在[e，e2]上的单调性，这样即可求得k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）定义域为（0，1）∪（1，+∞）；
在（1，+∞）恒成立，
即当x∈（1，+∞）时[f'（x）]max≤0
由；
所以当，即x=e2时，，故即；
所以k的最大整数值为﹣1；
（Ⅱ）若∃t1，使f'（t1）﹣k≥f（t2）成立，等价于：[f'（x）]max﹣k≥[f（x）]min；
由（Ⅰ）得
即
①当时，y=f（x）在[e，e2]是减函数
由得解得；
②当时，，f'（x）在[e，e2]是增函数，f'（x）的
值域为[f'（e），f'（e2）]即
由f'（x）的单调性和值域知：存在唯一的使f'（x）=0
且满足当x0∈（e，x0）时，f'（x）＜0f（x）是减函数
当时，f'（x）＞0f（x）是增函数．
则，故解得
所以这与矛盾．
综上可得即实数k的取值范围为．
2016年8月11日。