河南省焦作市宏昌学校2020年高二数学文上学期期末试题含解析

河南省焦作市宏昌学校2020年高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力()
A．期望与方差 B．排列与组合 C．独立性检验 D．概率
参考答案：
C
2. 函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
参考答案：
A
试题分析：函数定义域为，由得，所以减区间为
考点：函数导数与单调性
3. 已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）
A．4 B．12 C．16 D．18
参考答案：
C
【考点】基本不等式．
【分析】将x+y写成x+y乘以的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．
【解答】解：∵=1
∴x+y=（）（x+y）=10++≥10+2=16当且仅当=时，取等号．
则x+y的最小值是16．
故选C．
4. 已知，则的最小值是（）
(A）4 （B）（C）
5 （D）
参考答案：
D
5. 等比数列{a n}的公比为q，a1，a2，成等差数列，则q值为（）
A．2﹣B．2+C．2﹣或2+D．1或
参考答案：
C
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】运用等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求公比的值．【解答】解：等比数列{a n}的公比为q，成等差数列，
可得2a2=a1+a3，
即有2a1q=a1+a1q2，
化为q2﹣4q+2=0，
解得q=2±，
故选：C．
6. ①；
②设，命题“的否命题是真命题；
③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2
D．3
参考答案：
B
7. 已知，，，，，由此可猜想（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
8. 如图所示的算法流程图中（注：“”也可写成“”或“”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是（）
A．1 B．
C． D．
参考答案：
C 9. 函数的最大值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.
【详解】由题得，所以函数f(x)在上单调递减，
所以，
故选：A
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 设为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若双曲线上一点到右焦点的距离为4，则点
到左焦点的距离是▲．
参考答案：
10
略
12. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．
参考答案：
252
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意知3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，根据分步计数原理知共有A 33A 72，实际上是选出两个，再在两个位置上排列． 【解答】解：∵3名主力队员要安排在第一、三、五位置， 其余7名队员选2名安排在第二、四位置， ∴根据分步计数原理共有A 33A 72=3?2?1?7?6=252． 故答案为：252．
13. 已知函数.为的导函数，若，则实数a 的值为__________.
参考答案：
2 【分析】
通过对原函数求导，代入1即得答案.
【详解】根据题意，
，所以
，故
.
【点睛】本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.
14. 设，，是单位向量，且=+，则向量，
的夹角等于 . 参考答案： 60°
15. 设服从二项分布
的随机变量的期望与方差分别是15和
，则n =____，p =____．
参考答案：
60
【分析】
若随机变量X 服从二项分布，即ξ～B （n ，p ），则随机变量X 的期望E （X ）＝np ，方差D （X ）＝np （1﹣p ），由此列方程即可解得n 、p 的值
【详解】由二项分布的性质：E （X ）＝np ＝15，D （X ）＝np （1﹣p ）
解得p ，n ＝60
故答案为60
．
【点睛】本题主要考查了二项分布的性质，二项分布的期望和方差的公式及其用法，属于基础题.
16. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. 参考答案： －8 略
17. 在平面直角坐标系中，曲线
与坐标轴所围成的面积是 ．
参考答案：
2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 学习雷锋精神的前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好，单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况做了一个大致统计，具体数据如表： 是否有关？
（2）请说明是否有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？ （参考公式：K 2
=
，其中n=a+b+c+d ）
参考答案：
【考点】BO ：独立性检验的应用．
【分析】（1）计算学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比，
初步判断损毁餐椅数量减少与学校雷锋精神有关；
（2）根据列联表中数据计算K2，对照临界值表得出结论．
【解答】解：（1）学习雷锋精神前餐椅损坏的百分比是=25%，
学习雷锋精神后餐椅损坏的百分比是=15%，
因为二者有明显的差异，所以初步判断损毁餐椅数量减少与学校雷锋精神有关；
（2）根据列联表中数据，计算K2==6.25＞5.024，
所以有97.5%的把握认为损毁餐椅数量减少与学习雷锋精神有关．
19. (本小题满分10分)
在中，，，.
（1）求长；
（2）求的值．
参考答案：
（1）在△ABC中，根据正弦定理，
于是AB=
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=
于是 sinA=
从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=
20. 设
（Ⅰ）求的单调区间.
（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.
参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.
【分析】
（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.
【详解】解：（I）
时，令令
故在单调递增，在上单调递减；
0≤≤1时，恒成立，故单调递增.
时，令令
故在单调递减，在上单调递增；
综上：在单调递增，在上单调递减；
时在单调递增.
时，在单调递减，在上单调递增.
（II）当时，
由于在上单调递增且
故唯一存在使得即
故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故
又且在上单调递增，故即
依题意：有解，故
又故
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. （满分14分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
参考答案：
(1) 由已知得椭圆的长半轴a=2, 半焦距c=,则短半轴b=1. ……3分
∴椭圆的标准方程为………………………ks5u……………………5分
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，ks5u
由，得……………………………………………………10分
由于点P在椭圆上,得, …………………………………13分
∴线段PA中点M的轨迹方程是……………………………14分
22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，
∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上的一点．
（1）求证：PA⊥DE；
（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为﹣，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】几何法：
（1）推导出CD⊥平面PAD，从而PA⊥CD，进而PA⊥平面PCD，由此能证明PA⊥DE．
（2）取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．推导出CD⊥平面ABCD，从而∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并
且．
向量法：
（1）取AD的中点O，连接PO，OB，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA⊥DE．
（2）求出平面BDA的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一点E，使得
二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．
【解答】（本小题满分12分）
几何法：
证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD（面面垂直的性质定理），
∴PA⊥CD（线面垂直的定义），
又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD（线面垂直的判定定理）
∴PA⊥DE（线面垂直的定义）．
解：（2）如图，取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．
等腰直角三角形PAD中，PO⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理）．
∴PO⊥CO，PO⊥BD（线面垂直的定义）
由题意知四边形BCDO是正方形，CO⊥BD，∴BD⊥平面POC（线面垂直的判定定理），∴BD⊥EF（线面垂直的定义），∴∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，
∴，∴，
由题意知PO=1，，∴
注意到直角△POC中，，
∴∠EFC+∠ECF=90°，即EF⊥CE，
∴，∴，即．
故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．
向量法：
证明：（1）取AD的中点O，连接PO，OB
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理），
由题意知四边形BCDO是正方形，OA⊥OB
∴可如图建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（﹣1，1，0），A（1，0，0），D=（﹣1，0，0），
，，，
∵E为棱PC上的一点，∴可设．
∴
∴，
∴，即PA⊥DE．
解：（2）平面BDA的一个法向量为，
设平面BDE的法向量为，
由（1），
∴??，令x0=1，则y0=﹣1，，
即面BDE的一个法向量，
∴，
整理得3λ2﹣4λ+1=0，解得或λ=1．
∵λ∈（0，1），∴．
故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。