广西南宁市高二数学下学期期中段考试题理

广西南宁市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期中段考试题
理
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知i
为虚数单位，复数2
i -=（ ）
A. i
B. i -
C. 1
D. 1- 2. 曲线2
x y =在(1,1)处的切线方程是（ ）
A. 210x y ++=
B.012=--y x
C. 230x y +
+= D. 032=--y x
3. 若 ()e x f =，则 ()()=∆-∆+→∆x
e f x e f x 0
lim （ ）
A.
e B.e ln C.1 D.0
4. 用反证法证明命题“32+是无理数”时，假设正确的是 （ ）
A.假设2是有理数
B.假设3是有理数
C.假设
32+是有理数 D.假设2或3是有理数
5. 若 i
i
z +=1，则 =z （ ）
A. 1i +
B. 1i -
C. 1
D. 1-
6. 曲线()sin 0y x
x π=≤≤与x 轴所围图形的面积为（
）
Ａ．1 Ｂ．2
Ｃ．
52
Ｄ．3
7.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100
8. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝
2
2
4n n +，则当n ＝k ＋1时左端应在
n ＝k 的基础上加上( )
A ．12
+k B ．2
)
1(+k
C.2
)1()1(2
4+++K K D.2222)1(...)3()2()1(++++++++k k k k
9. 如图是导函数
/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x
10.点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是
（ ）
A. １
B.22
C. ２
D.2 11.设x x x x f sin cos )(-⋅=，则（ ）
A.0)2()3(>+-f f
B.0)2()3(<+-f f
C.
0)2()3(=+-f f D.0)2()3(<--f f
12. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()
2
0xf x f x x
'-<恒成立，则不等式()2
0x f x >的解集是（ ）
A. ()
()2,02,-+∞ B. ()()2,00,2- C. ()
(),20,2-∞- D. ()(),22,-∞-+∞
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.
=⎰1
2016dx
.
14复数
i z =在复平面内所对应的点Z 的坐标是_________.
15．已知函数
()()1623++++=x m mx x x f 既存在极大值又存在极小值，则实数
m 的取值范围为________．
16．猜想()*211
122
2 n
n
n N -∈的值 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17.（本小题满分10分，每题5分） 求下列函数的导数: （1）
105.0+-=x e y ； （2）x x y -=2
18．（本小题满分12分） 已
知复数
()
(),121R m i m m z ∈⋅-+= ()()R i z ∈⋅++=θλθλθ,sin 2cos 2
（1）当3=m 时，求1z
的虚部； （2）若21
z z =，求λ的取值范围.
19．（本小题满分12分） 若 , , a b c 均为实数，且
2
2
2
2, 2, 22
3
6
a x y
b y z
c z x π
π
π
=-+
=-+
=-+
.求证：
, , a b c 中至少
有一个大于0.
20. （本小题满分12分）
某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8
r π分，其中r 是瓶子的半
径，单位是厘米。

已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 21．（本小题满分12分）
已知数列
114
⨯，
147
⨯，
1710
⨯，，
()()
1
3231n n -⨯+，
计算
4321,,,S S S S , 根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
22.（本小题满分12分） 已知函数
2()2ln ()f x x x a x a R =-+∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，且不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围。

高二段考数学（理科）试题参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 C
B
D
C
A
B
B
D
B
D
A
C
二、填空题：
13. 2016 14 (0，1) 15.
63>-<m m 或 16．333n
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
(1)1
05.005.0+--='x e y （2）
x x x y --='2212
18．（本小题满分12分）（教参102页12题） （1）1z 的虚部为3； （4分） （2）由21
z z =，得⎩⎨
⎧+=-=θ
λθ
sin 31cos 2
m m .消去m 可得4
9)2
3(sin 2
-
-=θλ. 由于1sin 1≤≤-θ，可得42≤≤-λ. （8分） 19．（本小题满分12分）
20. （本小题满分12分）（课本35页例2）
解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是
()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭
令()2
0.8(2)0
f r r r
π
'=-=解得2
r=（0
r=舍去）
当()
0,2
r∈时，()0
f r
'<；当()
2,6
r∈时，()0
f r
'>．
当半径2
r>时，()0
f r
'>它表示()
f r单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径2
r<时，()0
f r
'<它表示()
f r单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20
f<，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为6cm时，利润最大．
21．（本小题满分12分）(课本94页例2)
13
4
,
10
3
,
7
2
,
4
1
4
3
2
1
=
=
=
=S
S
S
S
22.（本小题满分12分）
解：（1）
2
22
()22(0)
a x x a
f x x x
x x
-+
'=-+=>,记48a
∆=-，
当0
∆≤即
1
2
a≥时，()0
f x
'≥，()
f x在(0,)
+∞单调递增；
当0
∆>即
1
2
a<时，由2
220
x x a
-+=得
12
112,112,
x a x a
=-=-若0,
a≤则
1
x≤，
2
x>，()
f x在
2
(0,)
x单调递减，在
2
(,)
x+∞单调递增若
1
0,
2
a
<<则
1
x>，
2
x>，()
f x在
1
(0,)x，
2
(,)
x+∞单调递增，在
12
(,)
x x单调递减
（2）
12
()
g x mx
≥恒成立等价于1
min
2
()
[]
f x
m
x
≤
由（1）可知，若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，则10,2
a <<
且 12,x x 是方程2220x x a -+=的两个根，故12121,2a x x x x +=⋅=
，1211
0,122
x x ∴<<<< 221111111111112211()2ln 22(1)ln 1
12ln 11
f x x x a x x x x x x x x x x x x x -+-+-∴===-++--
令11
()12ln (0)12
g x x x x x x =-++<<-， 则222
11(2)
()12ln 212ln 2ln (1)(1)(1)x x g x x x x x x x -'=--
++=-+=+---
1
0,2
x <<(2)0,2ln 0x x x ∴-<<，(2)0x x -<，()0g x '∴<，
()g x 在上单调递减，133
()()ln 2,ln 2222g x g m >=--∴≤--
故实数m 的取值范围是3
(,ln 2]2
-∞--。