【状元之路】2021高考数学二轮温习 疯狂时刻 直线与圆(1)

2021数学高考疯狂时刻引领状元之路：
第1讲直线与圆
一、填空题
1.圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线y-3=0的距离为.
2.假设直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交,那么点P(a,b)与圆C的位置关系是.
3. 假设圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),那么圆C的方程为.
4.在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆C:(x-1)2+y2=4上的任意一点,已知点Q(2a,a-3)(a∈R),那么线段PQ长度的最小值为.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0,直线l通过点(1,0).假设对任意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长为定值,那么直线l的方程为.
6. 已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为,那么圆C的标准方程为.
7.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,若∠PCQ=90°,那么实数a= .
8. 已知圆x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q关于直线kx-y+4=0对称,且OP⊥OQ(O为坐标原点),那么直线PQ 的方程为.
二、解答题
9. 已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.
(1) 若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2) 假设直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上转变时,求m的取值范围.
10. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21.
(1) 求圆O1的标准方程;
(2) 过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长别离为d,d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标及λ的值.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0<r<a),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点别离为P,Q.
(1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;
(2) 求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.
专题六解析几何第1讲直线与圆
1. 1
2. 在圆外
3. (x-2)2+(y+3)2=5
4.
5. 2x+y-2=0
6. (x-3)2+y2=4
7.
8. y=-1
2x+
3
2或y=-
1
2x+
5
4
9. (1) 因为x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,
即(x+a)2+(y-a) 2=4a,
因此圆心为C(-a,a),半径为
设直线l被圆C所截得的弦长为2t,圆心C到直线l的距离为d,m=4时,直线l:x-y+4=0,
圆心C到直线l的距离
|a-2|,
)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8 =-2(a-3)2+10,又0<a≤4,
因此当a=3时,t2最大为10,t
,即直线l被圆C所截得弦长的值最大,其最大值为
.
(2) 圆心C到直线l的距离
因为直线l是圆C的切线,因此d=r,
因此m=2a ±
因为直线l 在圆心C 的下方,因此-a-a+m<0,m<2a,
因此
因为a ∈(0,4],因此m ∈
].
10. (1)由题设,得圆O1的半径为4,因此圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.
(2) 当直线l 的斜率存在时,设直线l 为y-b=k(x-a),即kx-y-ak+b=0.
那么点O,O1到直线l 的距离别离为
从而
,
. 由1d
d =λ,得 64-22(-)1ka b k +=
22(-9-)16-1k ka b k ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦λ2, 整理得[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b2-λ2(16-b2)=0. 由题意,上式关于任意实数k 恒成立,
因此2222222264--16(a-9)0,2[-(a-9)]0,64--(16-)0,a b a b b λλλλ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩
由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.
①若是b=0,则64-16λ2=0,解得λ=2(舍去负值).从而a=6或18,
因此λ=2,点P(6,0),P(18,0).
②若是a-λ2(a-9)=0,显然a=9不知足,从而λ2=-9a
a ,
因此3a2-43a+192=0.
但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此该方程无实数根,舍去.
当点P 的坐标为(6,0)时,假设直线l 的斜率不存在,现在
,因此1d
d =2,也知足.
综上所述,知足题意的λ=2,点P 有两个,坐标别离为(6,0)和(18,0).
11. (1) 当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).
直线MA1的方程为x-3y+2=0,
解224,-320,x y x y ⎧+=⎨+=⎩得P 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.
直线MA2的方程为x-y-2=0,解224,--20,x y x y ⎧+=⎨=⎩
得Q(0,-2).
因此直线PQ 的方程为2x-y-2=0.
(2) 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t),
直线MA1的方程为y=t a r +(x+r),直线MA2的方程为y=-t
a r (x-r) . 解222,(x r),x y r t y a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩得 P 222222()-r 2(),()()r a r t tr a r a r t a r t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭. 解222,(x-r),-x y r t y a r ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得 Q 222222-r(a-r)2(-),-(-)(-)rt tr a r a r t a r t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.
于是直线PQ 的斜率kPQ=2222--at
a t r ,
直线PQ 的方程为
y-222()()tr a r a r t +++=22222222()-r ---()at r a r t x a t r a r t ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭.
上式中令y=0,得x=2r a ,是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点2,0r a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。