2022-2023学年四川省成都市第七中学高二年级上册学期12月月考数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学（文）试题
一、单选题
1．在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有15位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（ ）
A ．80
B ．81
C ．84
D ．85
【答案】C 【分析】根据茎叶图，结合中位数的定义进行求解即可.
【详解】根据茎叶图，从小到大排列，第8个数据为84，
所以该选手所得分数的中位数为84，
故选：C
2．椭圆 的焦距为（ ）
22
195y x +=A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【分析】直接利用计算焦距即可.222c a b =-
【详解】椭圆， ， ，焦距为.
22
195x x +=3a =b =2c ==24c =故选：C
3．分别对“”和“”进行描述，正确的是（ ）
x A B ∉ x A B ∉ A ．或，且B ．或，或x A ∉x B ∉x A ∉x B
∉x A ∉x B ∉x A ∉x B ∉C ．且，或D ．且，且x A ∉x B ∉x A ∉x B
∉x A ∉x B ∉x A ∉x B
∉【答案】A
【分析】由交集和并集的定义结合集合与元素的关系即可得出答案.
【详解】由交集和并集的定义知，
即或，即且.
x A B ∉ x A ∉x B ∉x A B ∉ x A ∉x B ∉故选：A.
4．已知O 为坐标原点，，则以为直径的圆方程为（ ）
(2,2)A OA A ．B ．22(1)(1)2x y +++=22(1)(1)2
x y -+-=C ．D ．22(1)(1)8x y -+-=22(1)(1)8
x y +++=【答案】B
【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为
，()1,1
半径，1122r OA ＝=∴圆的方程为
﹒22(1)(1)2x y --＋＝故选：B﹒
5．记直线 的斜率分别为， 命题：“若， 则”， 命题“若，则12,l l 12,k k p 12k k =12l l //q ：12
1k k ×=-”， 则下列选项中，为真命题的是（ ）
12l l ⊥A ．B ．C ．D ．p q
∧p q ∧⌝p q ⌝∧p q ⌝∧⌝【答案】C
【分析】判断是假命题，是真命题，再依次判断每个选项得到答案.
p q 【详解】若
，可能重合，故命题是假命题；12k k =12,l l p 若，则，命题是真命题.
121k k ×=-12l l ⊥q 故为假命题，A 错误；为假命题，B 错误；为真命题，C 正确；为假命p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∧p q ⌝∧⌝题，D 错误.
故选：C
6．双曲线的渐近线方程为（ ）
2
213x y -=
A ．
B ．
C ．
D ．3y x
=±13y x =±y =y =【答案】D 【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案．
【详解】双曲线，
2
213x y -=
由方程，可得双曲线的渐近线方程为．
2203x y -=y x =故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题．
7．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
1813,333m n ==m
A ．4
B ．37
C ．148
D ．333
【答案】B 【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.
【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.
因为，，，
181********=⨯+333148237=⨯+1483740=⨯+所以1813和333的最大公约数为37.
故选：B.
8．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入(万元)
x 8.28.610.011.212支出(万元)y 7.407.508.008.50m
但是统计员不小心丢失了一个数据(用代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为
m )，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．0.760.4y x =+m 8.608.809.259.52
【答案】A 【分析】根据表格数据求，由样本中心点在回归直线上，将点代入即可求的值.
,x y (,x y m 【详解】由题设知：，，8.28.61011.212105x ++++==7.47.588.531.455m m y +++++==∵在回归直线上，
(,)x y ∴，解得.
31.40.76100.45m
+⨯+=8.6m =故选：A.
9．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围是( )
a
A ．
B ．
C ．
D ．56
a ≤≤56a <<56a <≤56
a ≤<【答案】D 【分析】模拟执行该循环体5次，求出此时i 的取值即可判断a 的范围.
【详解】模拟执行程序：
，
0,1S i ==①；
01,2,2S i a =+=≤②；
3,3,3S i a ==≤③；6,44S i a ==≤，
④；
10,5,5S i a ==≤⑤，
15,6,6S i a ==>共执行了5次循环体，结束循环，∴.
56a ≤<故选：D.
10．过点的直线与圆
相交于两点．记直线的斜率等于，(4,1)P l 22(3)4x y -+=,A B :p l 0
．则是的（ ）
:||=q AB p q A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.
【详解】当直线的斜率等于时，直线的方程为，代入方程中，
l 0l 1y =22(3)4x y -+=
得，
3x =||AB =当直线的不存在斜率时，直线的方程为，代入方程中，
l l 4x =22(3)4x y -+=
得，
x =||AB =因此是的充分不必要条件，
p q
故选：A
11．已知圆，点，动圆经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨22:1O x y +=00(,0),(0)A x x ≥M 迹为E ，有下列几个命题：
①，则轨迹E 表示圆，②，则轨迹E 表示椭圆，③，则轨迹E 表示抛物线，00x =001x <<01x =④，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ）
01x >A ．B ．C ．D ．1
234【答案】C
【分析】设动圆圆心，半径为，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，M (),M x y r 椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.
【详解】设动圆圆心，半径为，
M (),M x y r 当时，动圆与圆O 内切，故，即，
，轨迹为圆，①正00x =M 1MO r =-1MO MO =-1
2MO =确；当时，动圆与圆O 内切，故，即，故轨迹为椭圆，②
001x <<M 1MO r =-1MO MA AO +=>正确；
当时，动圆与圆O 内切时，，，轨迹为线段；动圆
01x =M 1MO r =-1MO MA AO +==OA 与圆O 外切时，，，轨迹为射线，③错误；
M 1MO r =+1MO MA AO -==
当时，动圆与圆O 外切，，即，故轨迹为双曲线，④正确.01x >M 1MO r =+1MO MA AO -=<故选：C
12．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ）
A ．24
B ．26
C ．30
D ．32
【答案】D 【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，表示椭圆上的点到一个焦点的距离，表示距离之和，d S 画出图像计算得到答案.
【详解】，即，，表示椭圆的上半部分，
y =2251162x y +=()0y ≥焦点为，，表示椭圆上的点到一个焦点的距离，表示距离之和，
()10,3F ()20,3F -d S 如图所示：
.
()1121314152627232732
S A F A F A F A F A F A F A F a a c a c =++++++=⨯+-=-=故选：D
二、填空题
13．抛物线的焦点到准线的距离等于__________.
22y x =【答案】1
4
【分析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
2
2y x =【详解】因为抛物线方程是，22y x =转化为标准方程得：，
212x y =所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为 准线方程为：，1,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭18x =-所以焦点到准线的距离等于.
1
4故答案为：1
4
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14．命题“对，方程表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题，则满足条件的的一个
R b ∀∈22
211x y a b +=+a 值可以是______．
【答案】0.5（填满足的任意实数均可）
01a <<【分析】由题意知，，又因为，可求出，即可得出答案.
210b a +>>211b +≥01a <<【详解】因为命题“对，方程表示焦点在
x 轴上的椭圆”为真命题，
R b ∀∈22
211x y a b +=+则，
210b a +>>因为，所以.211b +≥01a <<故答案为：0.5（填满足的任意实数均可）.
01a <<
15．在平面直角坐标系中，已知点，现将坐标平面沿x 轴折成直二面角，则折叠后(1,4),(3,2)A B --A ，B 间的距离为______．
【答案】6
【分析】如图所示，过作轴于，作轴于，确定，利用勾股定理计算A AC x ⊥C BD x ⊥D AC BC ⊥即可.
【详解】如图所示：过作轴于，作轴于，
A AC x ⊥C BD x ⊥D 折叠后的两个平面为，，轴，轴，故，
,αβαβ⊥x αβ= AC x ⊥AC α⊥，故，
BC α⊂AC BC ⊥
.
=6=故答案为：6
16．已知点， 直线，关于直线的对称点为点， 则()20M ，()2140l ax a y ：-++=()R a ∈M l N 的取值范围是___________.
OM ON ⋅ 【答案】[]
4,12-【分析】利用对称将向量相乘转化为求点的运动轨迹问题，做出图像即可得到的取值范围.
OM ON ⋅ 【详解】解：由题意，R
a ∈在中，，()2140l ax a y ：-++=()20M ，()
2,0OM = ()240
l a x y y ：--+=∴直线过点l ()
24A ，∵关于直线的对称点为点M l N
∴直线为线段的垂直平分线
MN ∵直线过点的任意直线，
l ()24A ，∴直线的轨迹是以点旋转的旋转圆，
()24A ，
∴点和点在以点为圆心4为半径的圆上，
M N ()24A ，
由图可知
当点在时，最小，为：
N ()12,4N -OM ON ⋅ ()()()2,02,422044
OM ON =⋅-=⨯-+⨯=⋅- 当点在时，最大，为：
N ()26,4N OM ON ⋅ ()()2,06,4260412
OM ON =⋅=⨯+⋅⨯= ∴
的取值范围为OM ON ⋅ []4,12-故答案为：.
[]4,12-【点睛】本题考查数形结合的思想，考查学生的作图能力.
三、解答题
17．某幼儿园为调查学生的年龄与体重之间的关系，现从全校学生中随机抽取100名学生对他们的体重进行分析，这100个样本已经按体重（单位：公斤）分成四组，绘制[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]成如图所示的频率分布直方图．
(1)若要从体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一项活动，求从体重在[25，30)内的学生中应选取的人数；
(2)求这100名学生的平均体重．
【答案】(1)；
7(2).
25.5【分析】（1）根据在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，结合分层抽样的性质进行求解即可；
（2）根据平均数的定义进行求解即可.
【详解】（1），
(0.030.040.06)51a +++⨯=所以解得，
0.07a =体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生人数分别为15、30、35人
设体重在[25，30)内的学生中应选取的人数为x ，则；
16735153035x x =⇒=++（2）这100名学生中，体重在[15， 20）内的频率为， 体重在[20， 25）内的频率为，
15
10030100体重在[25， 30）内的频率为，体重在[30， 35）内的频率为，3510020100所以平均体重为.
153530453555206525.51002100210021002⨯+⨯+⨯+⨯=18．已知方程表示双曲，方程表示圆C ．
:p 22
122x y m m +=-+E :q 2222x y y m +-+=(1)若为真，为假，求的取值范围；
p q ∨p q ∧m (2)若为真，求双曲线E 的离心率的取值范围．
p q ∧【答案】(1)
(][)
2,12,m ∈-+∞
(2)e ∈【分析】（1）当为真命题时，，当为真命题时，，考虑真假和假真两
p 22m -<<q 1m >p q p q 种情况，计算得到答案.
（2）确定，，根据范围得到离心率的取值范围.
(1,2)m ∈24
2e m =+m 【详解】（1）为真命题，为假，故，恰有一个是真命题．
p q ∨p q ∧p q
当为真命题时，，解得； p (2)(2)0m m -+<22m -<<当为真命题时，，即，故. q 2222x y y m +-+=()2
211x y m +-=-1m >
当真假时，，解得；
p q 221 m m -<<⎧⎨
≤⎩21m -<≤当假真时，或，解得.p q 21m m ≥⎧⎨>⎩2
1 m m ≤-⎧⎨
>⎩2m ≥综上所述：的取值范围是
，
m (][)
2,12,m ∈-+∞ （2）为真，则， 根据双曲线E 的方程得.
p q ∧(1,2)m ∈22
2,2a m b m =+=-所以
，，，
．
24
2e m =
+12m <<32
4m <+<44
123m <
<
-所以双曲线的离心率
．
e ∈19．已知某同学的物理成绩y （单位：分，满分100分）与数学成绩x （单位：分，满分150分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表：数学成绩x 120110125130115物理成绩y
92
83
90
96
89
(1)根据该同学的数学与物理成绩，若都以100分值计算，判断哪一科更稳定；
(2)利用上表中的五组数据求回归直线方程.若在第六次月考中该生数学成绩为，利y b x a ∧∧∧
=+135x =用该回归直线方程预测第六次月考的物理成绩．
参考公式：
2
2221
122
1
()()
1
=[()()()],,()n
i
i i n n
i
i x
x y y s x x x x x x b a y b x
n x
x ∧∧∧
==---+-++-=
=--∑∑ 【答案】(1)物理成绩更加稳定；(2)分.
98.1【分析】（1）根据方差的运算公式和性质进行求解判断即可；（2）根据题中所给的公式，利用代入法进行求解即可.【详解】（1）根据表中数据可得：
1201101251301159283909689
120,90,
55
x y ++++++++=
===按100分值计算，数学学科的方差为：
，2
2
222221
1100200(0105105)51509s ⎛⎫
=++++⨯=
⎪⎝⎭
物理学科的方差为，
22222221
(27061)18
5s =++++=，
200
189>
所以均以100分值计算，该同学物理成绩更加稳定；（2）5
1
()135
i
i
i x x y
y =--=∑.
5
2
1
()
250
i
i x x =-=∑5
1
5
2
1
()()
0.54
()
i
i
i i
i x x y
y b x x ∧
==--∴=
=-∑∑ ，
900.54120a y b x ∧
=-⋅=-⨯ 25.2a ∴=故所求回归直线的方程为
0.5425.2
y x =+当，(分)
135x =∴
98.1y =故第六次月考物理成绩预测值为分.
∴98.120．已知动圆的圆心在轴的右侧，圆与轴相切且与圆C ：外切.
P P y P y 22
2x y x +=(1)求动圆圆心的轨迹方程；
P E (2)过圆心C 作直线与轨迹和圆C 交于四个点，自上而下依次为 ，若
l E ,,,A M N B 成等差数列，求直线的方程；
AM MN NB
，，l 【答案】(1)2
4(0)
y x x =
>(2)
y =
y =【分析】（1）根据相切和外切得到圆心到直线的距离等于圆心到的距离，轨迹为抛
P =1x -()
1,0C 物线，计算得到答案.（2）确定得到
，设出直线，联立方程，得到根与系数的关系，根据弦长公式计算
2
MN =6
AB =即可.
【详解】（1）设动圆的半径为，圆C ：
，圆心为
，半径为，
P r ()2
211
x y -+=()
1,0C 1则
，又圆心到轴的距离为，则圆心到直线的距离为，
1
PC r =+P y r P =1x -1r +由抛物线的定义得圆心的轨迹方程为抛物线，且，，
P E 12p
=2p =故轨迹方程为：2
4(0)
y x x =>
（2）由圆的半径为1可得，
成等差数列，
C 2
MN =AM MN NB
，，故
，又
，
，
24
AM NB MN +==AM NB AB MN
+=-6
AB =设直线，，，联立，，，
:1l x my =+()11,A x y ()22,B x y 21
4x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --
=121244y y m
y y +=⎧⎨=-⎩，
6
AB ===解得
，
成立，212m
=
m =
0∆>所以直线的方程为
，即或
l
1x y =+y =y =21．已知，三条直线两两相交，交点分别0a >123:0,:(1)0,:(1)10l ax y a l x ay a a l a x y a -+=+-+=+-++=为．
,,A B C (1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点；ABC (2)求面积的最大值．ABC 【答案】(1)证明见解析；
(2).
3
4【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）记
的交点为A ，记的交点为B ，记的交点为C ，
12,l l 13,l l 23,l l 的斜率为，的斜率为
，
1:0l ax y a -+= 1k a =2:(1)0l x ay a a +-+=21
k a =-
，
121k k =- ，即是直角三角形，其中，
12l l ∴⊥ABC 90A = 又，所以过定点，
1:0(1)l ax y a y a x -+=⇒=+ (1,0)-，所以过定点，
3:(1)10(1)(1)
l a x y a y a x +-++=⇒=++(1,0)-有一个顶点B 为定点；
ABC (1,0)-（
2）的面积为
，
ABC 1
||||2S AB AC =
其中AB 为B 到直线的距离，即
(1,0)-2l ||AB =
又
得交点为到直线的距离，即
23,l l (0,1)C a +1l ||AC
=
，
22111113
11121224a a S a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪++ ==⋅=+≤+= ⎪+ ⎪+ ⎝⎭⎝当且仅当
时取等号，1a a =
时，面积取得最大值．
1a ∴=ABC 3
422．已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，22
221(0)x y a b a b +=>>12,F F 24y x =点P 为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
17
||3PF =
(1)求椭圆的方程；
(2)过F 作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
MN 【答案】(1)；
22
143x y +=(2)证明见解析，定点.
4(,0)
7【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可.
【详解】（1）抛物线焦点坐标为，故.
(1,0)221a b -=设
，由抛物线定义得：点P 到直线的距离为t.
2||PF t ==1x -，由余弦定理，得.
123cos 7t PF F ∴∠=2
1249434cos 77223t
t PF F +
-∠==
⨯⨯整理，得，解得
或
（舍去）.2
936650t t +-=53t =
13
3t =-
由椭圆定义，得
，
12||||24PF PF a +==2,a b ∴==∴椭圆的方程为；22
143x y +=（2）设，
:1,(0)AB l x my m =+≠
联立，222
2
1(34)690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+
=⎪⎩即
，
2634A B m
y y m -+=
+，代入直线方程得，23234A B M y y m y m +-∴==+2
4
34M x m =+，
224
3(
,
)
3434m
M m m -∴++同理可得，22243(,4343m m N m m ∴++，
2744MN m
k m ∴=
-，
222374
:()
344434MN m m l y x m m m ∴+
=-+-+令，得
，
0y =222224
121212164
7
347(34)7(34)m m x m m m -+=+==
+++所以直线MN 过定点.
4(,0)
7【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.。