高一数学寒假作业15实验班(1)

河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十五
2019年 2月16 日
一、选择题
1．已知圆C 的方程是x 2
＋y 2
＋4x －2y －4＝0，则x 2
＋y 2
的最大值为( ) A ．9 B ．14 C ．14－6 5
D ．14＋6 5
2．方程1－x 2
＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( ) A ．k ＝－ 2 B ．k ∈(－2，2) C ．k ∈[－1,1)
D ．k ＝2或－1≤k <1
3．已知圆的方程为x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6
4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A ．45π
B ．34
π C ．(6－25)π D ．5
4
π
5．若a ∈{－2,0,1，34}，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示的圆的个数为
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0
D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0
7．已知圆C 方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．方程x 2
＋y 2
＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是( )
A ．(1
4
，1) B ．(－∞，1)
C ．(－∞，1
4)
D ．[1，＋∞)
二、填空题
9．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2
＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.
10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2
＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于
三、解答题
11.（12分）已知方程x 2
+y 2
-2x-4y+m=0. （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m ；
（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.
12．．(本小题满分12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为23。

(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2
2
，求圆P 的方程。

河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十五答案
1.[答案] D
[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2
＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝
5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2
表示圆上的一点(x ，y )到原点
的距离的平方，最大值为(3＋5)2
＝14＋6 5.
2．[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2
＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2. 3．[答案] B
[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD
和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12
＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝1
2
×10×46＝20 6. 4 .[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝4
5
，点C 到直线2x
＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，
则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为2
5
，面积最小为
4π
5
，故选A ． 5．[答案] B[解析] 由题意，得a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＝－3a 2
－4a ＋4>0，
∴3a 2
＋4a －4<0，∴－2<a <23，∴a ＝0，故选B ．
6．[答案] C[解析] 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，
所以直线恒过定点(－1,2)，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2
＝5，
即x 2＋y 2
＋2x －4y ＝0.
7．[答案] B[解析] 圆心C (2,1)，半径r ＝3，
圆心C 到直线3x －4y －12＝0的距离d ＝|6－4－12|
32＋－4
2
＝2，即r －d ＝1. ∴在圆C 上到直线l 的距离为1的点有3个．
8. [答案] D[解析] 由题意知42＋(－2)2
－20m ≤0，解得m ≥1，故选D ．
[答案] [0，4
3
]
9. [解析] 首先集合A ，B 实际上是圆上的点的集合，即A ，B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即t －42＋at －22≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，
据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2
＋1)×16≥0，解
得0≤a ≤4
3
.
10.答案] C[解析] 如图，由题意可知平行四边形OAMB 为菱形，
又∵OA ＝OM ，∴△AOM 为正三角形．又OA ＝2，∴OC ＝1，且OC ⊥AB ．∴
1
k 2＋1
＝1，∴
k ＝0.
三、解答题
11.解 （1）（x-1)2+(y-2)2
=5-m,∴m ＜5. （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则x 1x 2=16-8（y 1+y 2）+4y 1y 2 ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2+y 1y 2=0∴16-8（y 1+y 2）+5y 1y 2=0 ① 由⎪⎩
⎪⎨
⎧=+--+-=0422422m y x y x y
x 得5y 2-16y+m+8=0∴y 1+y 2=516,y 1y 2=58m +,代入①得，m=58. （3）以MN 为直径的圆的方程为
（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0即x 2+y 2
-(x 1+x 2)x-(y 1+y 2)y=0 ∴所求圆的方程为x 2
+y 2
-58x-5
16
y=0. 12．[解析] (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．
设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，
由题意，得|3k ＋1|k 2
＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－3
4，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2
＝1.
设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2
＋2y －3 ＝0，即x 2＋(y ＋1)2
＝4，
所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，
则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32
≤3.
由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2
－12a ≤0，得0≤a ≤125
，
所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，12
5
]．
13．解析 (1) 设P (x ，y )，圆P 的半径为r 。

则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2。

∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1。

∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2
＝1。

(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝2
2，即|x 0－y 0|＝1。

∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0
±1。

①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 2
0＝1。

∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3。

∴圆P 的方程为x 2＋(y －1) 2＝3。

②当y 0＝x 0－1时，由y 2
－x 20
＝1得(x 0－1)2
－x 20
＝1。

∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2
＝3。

∴圆P
的方程为x 2
＋(y ＋1)2
＝3。

综上所述，圆P 的方程为x 2
＋(y ±1)2
＝3。