第16课时 一次函数(含答案)

第16课时一次函数（含答案）
第16课时一次函数（含答案）
第16课主要功能
◆知识讲解：1．正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2.正比例函数图像：正比例函数图像y=KX（k为常数，k为常数）≠ 0）是一条穿过
原点（0，0）和点（1，K）的直线，称为直线y=KX；当k>0时，直线y=KX穿过第一和第
三象限，y随X的增加而增加。

当k<0时，直线y=KX穿过第二和第四象限，y随X的增加
而减少
3．一次函数的定义：如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像：一
次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取
图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－
BK移动n（n>0）个单位以获得主函数y=K（x±n）+B；函数沿Y轴的平移和沿x轴的平移通常是同步的。

这只是一个案例，两个陈述；y=KX+B线与X轴的交点为（－）
bk2，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形
该地区是一片荒野△ = 12│ - B│ 2.│ B│
k◆经典例题：例1（2021，江西省）已知直线l1经过点a（－1，0）与点b（2，3），另一条直线l2经过点b，且与x轴相交于点p（m，0）．（1）求直线l1的解析式；（2）若△apb的面积为3，求m的值．例2（2021，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下
列问题：
（1）他们第一次见面的时间是多少分钟？（2）整个比赛有多少公里？
（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．
例3（2022年，贵州铜仁）铜仁的一家水果销售公司计划从其他地方购买31吨西瓜
和12吨葡萄柚。

现在它计划租用10辆A型和B型卡车将这些水果运到铜仁。

据了解，a
型卡车可装载4吨西瓜和1吨葡萄柚，B型卡车可分别装载2吨西瓜和2吨葡萄柚。

（1）公司在安排A型和B型卡车时有多少个方案？（2）如果每辆a型卡车需要支付1800元
的运输费，每辆B型卡车需要支付1200元的运输费，？该公司选择哪种方案的运费最少？最低运费是多少？
◆强化训练：一、填空题
1.（2022，绍兴）如图所示，主要功能y=x+5的图像经过
，0）就行了．
5.一阶函数的图像和性质：在直线y=KX+B（K≠ 0）、K和B决定直线的位置和增减。

当k>0时，y随X的增加而增加。

此时，如果b>0，则直线y=KX+b穿过第一、第二和第三
象限；如果B<0，则直线y=KX+B穿过第一、第三和第四象限。

当k<0时，y随X的增加而
减小。

此时，当b>0时，直线y=KX+b通过第一、第二和第四象限；当B<0时，直线
y=KX+B通过第二、第三和第四象限
6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积
主函数y=KX+B沿y轴（m>0）向上（“+”）和向下（“-”）平移m？一阶函数
y=KX+B±m以单位表示；主函数y=KX+B是左（“+”）和？右（“－”）平
1
点P（a，b），q（C，d），？那么a（C-D）-B（C-D）的值是_2。

（2022年，重庆）直线y=-
43的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点m运动到（－1，1）时，y轴上存
在点p（0，1），此时有mn=mp，能使△nmp为等腰直角三角形．在y轴和直线上
X+8分别在点a和点B与X轴和Y轴相交，M为ob
还存在符合条件的点p和点m．请你写出其他符合条件的点p的坐标_______．二、选择题9．（2021，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，
水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）
说到点子上，？如果△ ABM沿am折叠，B点正好落在x轴上的B'点，直线am的解析公式为__
3．（2021，白云区）关于x的一次函数y=（a－3）x+2a－5的图像与y轴的交点不
在x?轴的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．
4.已知主函数y=KX+B（K≠ 0）通过点（0,1），Y随着X的增加而增加，？请写一个
函数关系______
5．（2021，黑龙江省）一次函数y=kx+3?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为________．
6.（2022年，包头市）如果在主函数y=ax+1-A中，y随X的增加而增加，且其图像
与y轴相交，则│ A-1│ + a=7。

（2022年，四川省）如果你还记得=
x222
10.（05杭州）已知主函数y=kx-k。

如果y随着X的增加而减小，则函数的图像经过（）A.第一、第二和第三象限B.第一、第二和第四象限C.第二、第三和第四象限D.第一、第三和第四象限11。

（2022年，济南）济南市某储运部门紧急调配一批物资，调拨物资
共享4H，物资调入2小时后调出（调入物资和调出物资的速度不变）。

储运部库存物料s （T）与时间T（H）之间的函数关系如图5-35所示，？该批物料从开始转入到全部转出所需时间为（）a.4hb。

4.4摄氏度。

4.8天。

5h
12．（2021，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行
驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家
过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）
1.X=f（X），当X=1时，f（1）代表y的值，即
12()1111112f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==；如果
212522221?11?()2111f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+?+f（n）+f（）=______．
23n2（结果由包含N的代数公式表示，N为正整数）
8．如图所示，点m是直线y=2x+3上的动点，过点m作mn垂直x轴于点n，y轴上是
否存在点p，使以m，n，p为顶点
二
13．（06，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，?乙两学生测试
的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线oabc和线段od，下列说法正确的（）
a、 B比a先到达终点。

B的测试速度随时间增加。

C.当比赛达到29.7秒时，两人在
离开后第一次见面。

D.在整个比赛中，a的测试速度总是比B的测试速度快
14．（2021，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，?出的水量都
是一定的．已知容器的容积为600l，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200l，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的
水量q（l）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）
（a）（b）（c）a。

①③b。

②③c。

③d。

①②③
16．（2021，重庆）如图所示，在直角梯形abcd中，dc∥ab，∠a=90°，ab=28cm，dc=24cm，ad=4cm，点m从点d出发，以1cm/s的速度向点c运动，点n从点b同时出发，?以2cm/s的速度向点a运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也
随之停止运动，而四边形admn的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大
致是（）
三、回答：17。

（2022，河北）如图所示，L1线的分析表
15．（2021，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄
水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个
进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（?至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）
表达式为y=-3x+3，L1和X轴在点D处相交。

直线L2穿过点a和B，直线L1和L2在点C处相交。

（1）计算点D的坐标；（2）求L2线的解析表达式；（3）找到△ ADC；（4）在直线L2上有另一个不同于点C的点P，因此△ ADP和△ ADC是相等的。

请直接
写出P点的坐标
18．（08，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y?与x
之间
三
的函数关系．根据图像进行以下探究：信息读取:（1）甲，乙两地之间的距离为
___km（2）请解释图中点b的实际意义．图像理解:（3）求慢车和快车的速度;（4）求线
段bc所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．问题解决:（5）
若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．?在第一列快车与慢车相
遇30min后，第二列快车与慢车相遇，?求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．
19.（2022年，黑龙江省）？一个企业有一个，？B的两个长方体储层以6m3/h的速
度将a池中的水注入B池。

图中显示了a和B两个储层中水深y（m）和注水时间x（h）
之间的函数图像。

结合图像，回答以下问题：（1）分别计算a、B两个油藏的水深y与注
水时间x之间的函数关系；（2）注射多长时间？两个储水池的水深相同；（3）询问注
水时间。

a和B的储层是相同的
20．（2021，哈尔滨市）甲，乙两名同学进行登山比赛，图5－42所示为甲同学和乙
同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，?各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s
（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）（2）当甲到达
山顶时，乙行进到山路上的某点a处，求a点距山顶的距离；
（3）在（2）的条件下，让B同学从A点继续爬山。

到达山顶后，A同学休息1小时，沿着原路下山，在B点与B相遇。

此时，B点与山顶的距离为
1.5km，相遇后甲，?乙各自按原来的线路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚
四
的距离是多少千米？
21.（长春市2022年）如图a所示，矩形ABCD的两侧位于坐标轴上，点d与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系为y=
34x，ad=8．矩形abcd沿db方向
每秒1次？单位长度会移动。

同时，点P从点a匀速移动，沿着矩形ABCD的边缘经
过点B，到达点C。

需要14秒。

（1）计算矩形ABCD的周长。

（2）如图B所示，当图
形移动到5S时，计算p点的坐标；（3）假设矩形运动的时间为t，当0≤ T≤ 6，P点
的路线是一条线段，？请求线段所在线路的功能关系；（4）当点P在AB或BC线上移动时，通过点P垂直于x轴和y轴，且垂直脚分别为e和f。

长方形的peof能和长方形的ABCD相似吗？如果可能，找出T的值；如果没有，请给出原因
22．（2021，绍兴）某校部分住校学生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2l，?
他们首先同时打开了两个排水口，然后由于故障关闭了一个排水口。

假设忽略前后水
连接之间的间隔，并且没有洒水，锅炉中残余水y（L）和水连接时间x（min）的功能图
像如图所示
示．请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问
前15位同学接水结束共需要几分钟？
（3）小民说：“今天，我们宿舍的八名学生连续到锅炉房取水，只花了三分钟。

”？
你说可能吗？请说明理由．
第16课主要功能（答案）
◆经典例题：例1（2021，江西省）已知直线l1经过点a（－1，0）与点b（2，3），另一条直线l2经过点b，且与x轴相交于点p（m，0）．（1）求直线l1的解析式；（2）若△apb的面积为3，求m的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x，y的两组对应值，?可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式
的k，b的值．【解答】（1）设直线l的解析式为y=kx+b，由题意得
KB0，解决方案？K1.直线
2k?b?3.?b?1.?5??71?k?1??15k1?b1110110?9解得?∴yab=x+当y=6时，有：6=x+，解得x=24．
9393? 33k1？b1？B101? 3.他们第一次见面是在比赛进行24分钟的时候。

（2）设
置Yod=KX并替换（24,6）得到：6=24K，‡K=
14∴yod=
当x=48时为14x，Yod=
14348=12∴比赛全程为12km．
33k2？b2？？12? 43k2？b2？7（3）33岁时≤ 十、≤ 43，让YBC=k2x+B2，代入（33,7）和（43,12），得到：
l1的解析式为y=x+1．（2）当点p在点a
在12的右侧，AP=m-（-1）=m+1，带s△ APC=
3（m+1）33=3．解得m=1，此时
如何解决？点kp的坐标为（1,0）；当点P位于点a的左侧，AP=-1-m，s=3（-m-1）33=3时，解为m=-3。

此时，点P的坐标为（-3,0）。

总之，M的值是1或-3。

[点评]首先设置主函数的解析公式，然后将其替换为点的坐标，并使用方程进行求解。

步骤是：设置、替换、求解和回答
例2（2021，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开
始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多
少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y随时间x变化是一个
分段函数，第一次相遇时是在ab段，故求出15≤x≤33时的函数关系式；欲求出比赛全
对于距离，我们需要知道B的速度，它可以从第一次相遇时距离和时间之间的关系得到。

需要第二次相遇的时间，？也就是说，首先找到BC段中a的函数关系，然后找到BC
和OD的交点坐标。

[解决方案]（1）15时≤ 十、≤ 33，设置YAB=K1X+B1，并替换
（15,5）和（33,7）以获得：
5
2.2.B192?? 2.1.∴ybc=
12x－
192∴? Y2.Y1x？？4.1x？你是怎么得到的？？十、38? 19? Y2--游戏结束了
38min时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、
变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．
例3（2022年，贵州铜仁）铜仁的一家水果销售公司计划从其他地方购买31吨西瓜
和12吨葡萄柚。

现在它计划租用10辆A型和B型卡车将这些水果运到铜仁。

据了解，a
型卡车可装载4吨西瓜和1吨葡萄柚，B型卡车可分别装载2吨西瓜和2吨葡萄柚。

（1）公司在安排A型和B型卡车时有多少个方案？（2）如果每辆a型卡车需要支付1800元
的运输费，每辆B型卡车需要支付1200元的运输费，？该公司选择哪种方案的运费最少？最低运费是多少？
【解答】（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车为（10－x）辆，依题意，得
4x？2（10？x）？31
x?2(10?x)?12解这个不等式组，得5.5≤x≤8．∵x是整数，∴x可取6，7，8．即
安排两种类型的货车有三种方案：① 6辆a类货车，4辆B类货车，② a型货车7辆，B型货车3辆，③ 8辆a类货车，2辆B类货车（2辆）。

如果运费是y元，那么
y=1800x+1200（10-x）=600X+12000。

当x取6时，运费最低，最低运费为15600元。