2015海淀高三一模数学(文科)2015海淀高三一模数学(文科)

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文） 2015.4
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

1．已知集合2
{|2}A x x ==
，{2}B =，则A
B =（ ）
（A
） （B ）{2} （C
）{2} （D
）{2}- 2．抛物线2
=4x y 的焦点到准线的距离为（ ）
（A ）1
2 （B ） 1 （C ）2 （D ）4
3．已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，()e x
f x =，则(1)f -=（ ）
（A ）
1e （B ）1
e
- （C ）e （D ）e - 4．某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，
那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16
5．执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
6．“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
7．若,x y 满足0,
1,0,x y x x y +≥⎧⎪
≥⎨⎪-≥⎩
则下列不等式恒成立的是（ ）
（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C
）20x y +≥
（D ）21
0x y -+≥
8．某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，
所有可能成为这个三棱锥的俯视图
的是（ ） 正视图
① ② ③ ④
（A ）①②③ （B ）①②④ （C ）②③④ （D ）①②③④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知单位向量a 与向量(11)=,-b 的夹角为π
4
，则-=a b ________. 10．若复数i
i
a z +=
，且z ∈R ,则实数a =______． 11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若36a =-，15S S =，则公差d =________；n
S 的最小值为 . 12．对于
22:20A x y x +-=，以点11
(,)22
为中点的弦所在的直线方程是_____．
13．设2,,
(),.
x x a f x x x a <⎧=⎨≥⎩对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取
值范围是 . 14．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.①若{,3,6}M =2，则U
M 表示的6位字符串为 ；
②若{1,3}A =, 集合A
B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是 . 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12(*)n n a a n +=∈N ，且2a 是2S 与1的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1
{
}n
a 的前n 项和为n T ,且对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立,求实数λ的最小值. 16． （本小题满分13分）
某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表．．．．．
和频率分布直方图： 分组（日销售量）
频率（甲种酸奶）
[ 0，10] 0.10 （10，20]
0.20
（20，30] 0.30 （30，40] 0.25 （40，50]
0.15
（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a 的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为2
1s ，2
2s ，试比较2
1s 与2
2s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.17．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，2
sin sin sin A B C =. （Ⅰ）若π
3
A ∠=
，求B ∠的大小； （Ⅱ）若1bc =,求ABC ∆的面积的最大值. 18．（本小题满分14分）
如图1，在梯形ABCD 中，AD
BC ，AD DC ⊥，2BC AD =，四边形ABEF 是
矩形. 将矩形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，
M 为1AF 的中点，如图2.（Ⅰ）求证：1BE DC ⊥； （Ⅱ）求证：DM //平面1BCE ；
（Ⅲ）判断直线CD 与1ME 的位置关系,并说明理由．
B
C E 1
F 1
M
E
D
C
B
A
19．本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>过点(0,1)A -，且离心率2e =.
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.20．本小题满分14分）
已知函数1
()ln (0)f x a x a x
=+
≠. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，求实数
a 的取值范围；
（Ⅲ）若{}
()0(0,1)x f x ≤⊆，求实数a 的取值范围.
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（文）答案及评分参考 2015.4
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8.D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
9.1 ; 10.0; 11.12,-54 ; 12.y x = ; 13.[0,1] ; 14.100110,4;三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）
解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,
所以 21211123S a a a a a =+=+=. ……………1分因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.
所以 11a =. ……………3分所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 11
122n n n a --=⨯=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
111()2
n n a -=. 所以
1
11a =,
1111
(*)2n n n a a +=⋅∈N . 所以 1{
}n a 是以1为首项, 1
2
为公比的等比数列. ………………9分所以 数列1{}n a 的前n 项和1
1122(1)1212
n n n T -
==--. ………………11分因为
1
02
n >， 所以 1
2(1)22n n
T =-
<. 若2b <，当22
log ()2n b
>-时，n T b >. 所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.
所以 实数λ的最小值为2. ………………13分
16.（共13分）
解：（Ⅰ）0.015a =； ……………2分 ………………6分
（Ⅱ）221
2
s s <. ………………9分
（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：
50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）.…………11分
乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. …………13分 17.（共13分）
解：（Ⅰ）方法一：因为 2
sin sin sin ,A B C =且
C
c
B b A a sin sin sin ==， 所以 2
a bc =. ……………2分又因为 ,cos 22
22A bc c b a -+= π
3
A ∠=
， ……………4分 所以 222
221
22
a b c bc b c bc =+-⨯
=+-. 所以 2
()0b c -=.
所以 b c =. ………………6分
因为 π3
A ∠=
， 所以 ABC ∆为等边三角形. 所以 π
3
B ∠=
. ………………7分方法二： 因为 πA B C ++=，
所以 sin sin()C A B =+. ……………1分因为 2
sin sin sin B C A =，π3
A ∠=
， 所以 2
ππsin sin()sin
3
3
B B +=.
所以 13
sin (
cos sin )224
B B B +=. ………………3分
所以
11cos 232224B B -+⨯=.
所以
1
2cos 212
B B -=. 所以 π
sin(2)16
B -=. ………………5分因为 (0,π)B ∈，
所以 ππ112(,π)666
B -
∈-. 所以 ππ262B -
=，即π
3
B ∠=. ………………7分（Ⅱ）因为 2
sin sin sin ,A B C =1bc =，且
C
c
B b A a sin sin sin ==，
所以 2
1a bc ==.
所以 222221
cos 22
b c a b c A bc +-+-== ………………9分211
22
bc -≥
=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. …………11分 因为 (0,π)A ∈，
所以 π(0,]3
A ∈.
所以 sin (0,
2
A ∈.
所以 11sin sin 224
ABC S bc A A ∆=
=≤. 所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值
4
3
……………13分
18.（共14分）
证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以1BE AB ⊥.
因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD
平面11ABE F AB =，
1BE ⊂平面11ABE F ，
所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分
因为 DC ⊂平面ABCD ，
所以 1BE DC ⊥. ………………5分
（Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以 1//AM BE .
因为 //AD BC ，AD
AM A =，1BC
BE B =，
所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分
因为 DM ⊂平面ADM ，
所以 //DM 平面1BCE . ………………9分（Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE ，且11
2
PQ BE =
. 在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点， 所以 1//AM BE ，且11
2
AM BE =
. 所以 //PQ AM ，且PQ AM =.
所以 四边形APQM 为平行四边形.
所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =， 所以 //AD PC ，AD PC =. 所以 四边形ADCP 为平行四边形. 所以 //CD AP ，且CD AP =. 所以//CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形.
所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . 因为 DM ≠1CE ，
所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.
所以 直线CD 与1ME 相交. ………………14分
19.（共13分）
解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，
所以 1b =. ……………1分因为
2
22 2
c e a b c a =
==+， 所以 2a =.
所以 椭圆M 的方程为2
2 1.4
x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.
因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，
所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221
,(,),(,)y x t B x y C x y k
=-
+. 由221,44y x t k x y ⎧
=-+⎪⎨⎪+=⎩
得 22222
(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分
由22
2
22
2
2
22
2
644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 122
84
kt
x x k +=
+， ………………7分
所以 BC 的中点坐标为2224(,)44
kt k t
k k ++.
又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，
所以 2224144
k t kt
k k k =-++.
所以 22314
k t k =+. ………………9分
代入（*），得k <k >
.
所以 {|}22
S k k k =<-
>或. ……………11分因为 221
43
k t k =+，
所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为
13，即线段BC 的中点总在直线13
y =上. ………………13分
方法二：
因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.
设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.
则2222
1122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，
所以 2222
112244,44x y x y =-=-.
所以 2222
112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 22
12123()2()y y y y -=-.
所以 1201
23
y y y +=
=. ………………9分
又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k
=
. 由2
21,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得3x =±
所以
4033k <
<
，或4033k -<<
，即2k <-
，或2
k >. 所以
{|}22
S k k k =<-
>或. ………………12分所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为
13，即线段BC 的中点总在直线1
3
y =上. ……………13分 20.（共14分） 解：（Ⅰ）2211
'()(0)a ax f x x x x x
-=
-=>. ………………1分 当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. …………2分 当0a >时，令'()0f x =，得1
x a
=.
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：
所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a
+∞. ………4分
（Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，
所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………5分
令
2
1ax a x
-=得2
10ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,1
0.
a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩
解得4a >. ………………7分当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为
11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-.
令()()(0)F x f x ax x =->.
由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，
'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数.
所以 12()()F x F x ≠.
所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线. 所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ……………9分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.
因为 1111111(e
)ln(e )1e 10e
e
a
a
a
a
a
f a --
--=+
=-+
=-<，
而1e
(0,1)a
-
∉，不符合题意. ……………11分当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a
=-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，
所以，0e a <<符合题意.
（ⅱ）若1()0f a
=，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)e
x f x ≤=⊆.
所以，e a =符合题意.
（ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有1
01a
<
<.
因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a
+∞内是增函数， 所以 当1x ≥时，()0f x >.
又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以 {}
()0(0,1)x f x ≤⊆. 所以 e a >符合题意.
综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. …………… 14分。