武昌区2020届高三元月调考文数答案

武昌区2020届高三年级元月调研考试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
A
B
D
D
C
A
C
D
C
C
B
二、填空题：
13.
8
9
14. 1- 15. 11-，3，17 16. ①③
三、解答题：
解：（1）由正弦定理，知C B A B B B A sin 2
3
sin cos sin cos sin sin =+， 即C B A B sin 23)sin(sin =+，C B A B sin 23)sin(sin =+，2
3
sin =
B ， 所以3
π
=
B . ………………………………………（4分） （2）由余弦定理，知B ac c a b cos 2222-+=，即3
π
cos 2422ac c a -+=，
所以ac ac c a ≥-+=224，当且仅当c a =时取等号.
所以4≤ac ，所以3sin 21
≤=∆B ac S ABC . …………………………………（12分）
18．（本题12分）
解：（1）因为AB AC ⊥，AC DE //，所以AB DE ⊥. 因为⊥1AA 平面ABC ，⊂DE 平面ABC ， 所以DE AA ⊥1.
因为A AA AB =1 ，所以⊥DE 平面B B AA 11. 因为⊂F A 1平面B B AA 11，所以F A DE 1⊥. 易证F A DB 11⊥，因为D E D DB =11 ，
所以⊥F A 1平面DE B 1. ……………（6分） （2）取A A 1的中点G ，连结BG 交D B 1于H . 由（1）知⊥F A 1平面DE B 1，而F A BG 1//， 所以⊥BG 平面DE B 1.
连结EG ，则BEG ∠为直线BE 与平面DE B 1所成的角.
在BD B 1Rt ∆，求得5
2=
BG .
又因为2=BE ，所以5
10
sin =
=∠BE BG BEG . ……………（12分）
A 1
C
B
A
B 1 D
C 1
E
F
19．（本题12分）
解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：
①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的 中位数为73.5分； ②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；
③男职工的成绩中，有75%的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有75%的成绩至多79分；
④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.
因此，男职工的成绩更好. ……………………（4分）
（注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分）
（2）（ⅰ）由茎叶图可知：802
91
79=+=m 80m =，列表如下：
超过m 不超过m
男职工 15 5 女职工
5
15
……………（8分）
（ⅱ）由表中数据，计算2
2
40(151555)10 6.63520202020
k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以，有99.9%的把握
认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………（12分） 20．（本题12分）
解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,
1,
3c a c b
及222c b a +=，得2=a ，3=b .
所以，椭圆E 的方程为13
42
2=+y x . ……………（4分）
（2）设直线l 的方程为4+=my x ，代入椭圆方程，并整理，得
03624)43(22=+++my y m .由0>∆，得22<<-m .
设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+-=+m m y y ，4
336
221+=⋅m y y .
因为A '),(11y x -，所以1
212x x y y k B A -+='，于是，直线B A '的方程为)(1121
21x x x x y y y y --+=+.
即])()[(1212111212y y x x y x x x x y y y +----+=，)(1
212211212y y y x y x x x x y y y ++--+=，
将411+=my x ，422+=my x ，4324221+-=+m m y y ，4
336
221+=⋅m y y 代入，
得)1(1
21
2
--+=x x x y y y ，所以，直线B A '过定点)0,1(. ……………（12分） 另解：在111
21
2
)(y x x x x y y y ---+=中，令0=y ，得 1)(42)(2
12121121221112121=+++=++=++-=y y y y y my y y y x y x x y y x x y x .
所以，直线B A '过定点)0,1(. ……………（12分）
21．（本题12分）
解：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2
)
1)(1()(x ax x x f ---
='.
令0)(='x f ，得1=x 或a
x 1=. 当0≤a 时，01<-ax ，)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增；
当10<<a 时，)(x f 在)1,0(单调递减，在)1,1(a 单调递增，在),1
(+∞a
单调递减；
当1=a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减；
当1>a 时，)(x f 在)1
,0(a
单调递减，在)1,1(a 单调递增，在),1(+∞单调递减. （5分）
（2）由（1）知，10<<a 或1>a .
因为03)1(>-=a f ，所以10<<a 不合题意.
因为1>a 时，)(x f 在)1
,0(a
单调递减，在)1,1(a 单调递增，在),1(+∞单调递减.
所以⎪⎩⎪⎨⎧≥≤,0)1(,0)1
(f a f 即⎩⎨⎧≥-≤-+,03,0)ln 1)(1(a a a
解得3e ≤≤a . 此时
a a a a a
a a a x x x f x f ln 1411)ln 1)(1(3)()(2121-+=+-++-=++.
记)3e (ln 1
4)(≤≤-+=a a a a a
a g ，则22)1()ln 1()1(4)(+++-=
'a a a a g . 因为3e ≤≤a ，所以0)(<'a g ，所以)(a g 在区间]3,e [单调递减， 所以)e ()()3(g a g g ≤≤，解得e 1
e e
4)(3ln 33-+≤
≤-a g . 所以，2121)()(x x x f x f ++的取值范围为e]1
e e
4,3ln 33[-+-． ……………（12分）
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）
解：（1）方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-
=t y t x 222,2
2
可化为02=-+y x .
方程θ
ρ.22
cos 239
-=可化为13922=+y x . ……………（5分）
（2）将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t
y t x 222,2
2
代入13922=+y x ，得032622=++t t .
设方程032622=++t t 的两根分别为1t ，2t ，则2
3
||||||||21=⋅=⋅t t MB MA . ……10分）
23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）
解：（1）方法一：因为||||||||)(a x a x x a x x f =--≥+-=，
因为存在实数x ，使2)(<x f 成立，
所以2||<a ，解得22<<-a . ……………（5分） 方法二：当0=a 时，符合题意.
当0>a 时，因为⎪⎩
⎪
⎨⎧<+-≤≤>-=+-=,0 ,2,0 ,, ,2||||)(x a x a x a a x a x x a x x f 所以a x f =min )(.
因为存在实数x ，使2)(<x f 成立，所以2<a .
当0<a 时，同理可得2->a .
综上，实数a 的取值范围为)2,2(-. ……………（5分） （2）因为3=+n m ， 所以
3)542(31)54(31)41(341=+⋅≥++=++=+n
m m n n m m n n m n m n m ， 当且仅当2,1==n m 或6,3=-=n m 时取等号. ……………（10分）。