1.8 函数的连续性与间断点
(整理)函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
1.8连续性间断点
连续
有极限
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数
在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
存在 , 但
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
适用于专升本及高职高专各专业
高等数学
M A T H E M A ＴＩＣＳ
第一章 函数与极限
第八节 连续性与间断点
函数的连续 函数的间断点
花的生长、温度实时的变化是一个连续 不断的过程，还能举例生活中哪些是连 续的过程
一、 函数连续性的定义
设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x)在 x0 连续.
❖ 前者在点 x0 可以没有定义，后者必须有定义.
❖ 设 x x0 时， f x A，后者必须满足 f x0 A. ❖ 若函数 y f x 在点 x0 处连续，则 f x 在点 x0 处
的极限一定存在；反之，若 f x 在点 x0 处的极限 存在，则 f x 在点 x0 处不一定连续.
是第_____类间断点 .
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.设函数yf (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0x ), 因此函数y 的对应增量为y f (x 0x ) f (x 0).函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量xx x 0 趋于零时, 对应的函数的增量yf (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即lim 0=∆→∆y x 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数yf (x )在点x 0 处连续.注 ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x x 0+x , 则当x 0时, x x 0, 因此lim 0=∆→∆y x 0)]()([lim 00=-→x f x f x x )()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x 0|<的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )f (x 0)|<,那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称yf (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称yf (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系: 函数yf (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)内是连续的.这是因为, f (x )在(¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数xx f =)(在区间[0,¥)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(¥,¥)内是连续的.证明 设x 为区间(¥, ¥)内任意一点. 则有y sin(xx )sin x )2cos(2sin 2x x x ∆+∆=,因为当x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数ysin x 在区间(¥,¥)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(¥, ¥)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )¹f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数ytan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x0是函数x1sin的间断点.当x ®0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x 0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x1是函数的间断点.因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点. 例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x1处的定义:令f (1)1, 则函数f (x )在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量记作Δu即Δu=u2−u1设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Δx时函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Δx) 因此函数y的对应增量为Δy= f(x0+Δx)− f(x0)函数连续的定义设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量Δx=x −x0趋于零时对应的函数的增量Δy= f(x0+Δx)− f(x0)也趋于零即或那么就称函数y=f(x)在点x0处连续注①②设x=x0+Δx则当Δx0时xx0因此函数连续的等价定义2设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数ε总存在着正数δ使得对于适合不等式|x−x0|<δ的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−f(x0)|<ε那么就称函数y=f(x)在点x0处连续左右连续性如果则称y=f(x)在点处左连续如果则称y=f(x)在点处右连续左右连续与连续的关系函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果f(x)是多项式函数则函数f(x)在区间(−+)内是连续的这是因为f(x)在(−+)内任意一点x0处有定义且.2 函数在区间[0 +)内是连续的3 函数y=sin x在区间(−+)内是连续的证明设x为区间(−+)内任意一点则有Δy sin(xΔx)sin x因为当D x0时 D y是无穷小与有界函数的乘积所以这就证明了函数y=sin x在区间(-+)内任意一点x都是连续的．4 函数y=cos x在区间(−+)内是连续的二、函数的间断点间断定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)则函数f(x)在点x0为不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点例1正切函数y=tan x在处没有定义所以点是函数tan x的间断点因为故称为函数tan x的无穷间断点例2 函数在点x=0没有定义所以点x=0是函数的间断点当x0时函数值在−1与+1之间变动无限多次所以点x=0称为函数的振荡间断点例3函数在x=1没有定义所以点x=1是函数的间断点因为如果补充定义令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例4 设函数因为所以x=1是函数f(x)的间断点如果改变函数f(x)在x=1处的定义令f(1)=1 则函数f(x)在x=1 成为连续所以x=1也称为该函数的可去间断点例5 设函数因为,所以极限不存在x0是函数f(x)的间断点因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点间断点的分类:通常把间断点分成两类如果x0是函数f(x)的间断点但左极限f(x0−0)及右极限f(x0+0)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点。
函数的连续性与间断点
设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一，则点 x0 为
f (x) 的间断点：
①、在 x0 处没有定义；
②、在 x0 处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xx0
③、在 x0 处有定义，且 lim f (x) 存在，但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x
2sin
x 2
cos(x
x 2
)
y
2
sin
x 2
cos(x
x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)
即
lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证：函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续， 则称 f (x)
在点 x0 处间断， 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
但
f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .
《高等数学》函数的连续性与间断点
lim
x x0
(2
x
1)
2
x0
1，
f (x0 ) 3
所以有 x0 1，a 2
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
2、间断点及其分类
间断点
不连续点
设函数 y f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若下列情形至少一个成立，则 x0 是
f(x)的不连续点。
1）f(x)在 x0 点无定义。
y1 x
其中至少有一个是振荡，称 x0 为振荡间断点 y sin 1
x
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
f(x)在点 x0 连续
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
lim f (x) lim f (x) f (0)
本
x0
x0
讲
lim y 0
x0
内
容
可去间断点
小
第Ⅰ类间断点
结
间
（包括） 跳跃间断点
x0
所以函数在x=0处连续。
lim f (x) lim f (x) 1
x0
x0
lim f (x) 1
x0
f(x)在点 x0 连续
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
定义2 设变量 u 从它的一个初值 u1 变化到终值 u2 ，则称终值与初值的差 u2 u1
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
本讲学习目标：
1、描述函数在一点连续的概念，列举连续的三个定义式。 2、描述函数在一点左右连续的概念。 3、描述函数在区间上连续的概念。 4、列举间断点的类型，描述其分类标准。
高数高等数学1.8函数的连续性与间断点
2
cos
2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一，y f ( x)在 x0不连续：
(1) f ( x)在 x0无定义；
(2) f ( x )在 x0有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义，且 lim f ( x )存在，但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时，有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义，如果
1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)
§1.8 函数的连续性与间断点教学内容：一．函数连续的概念定义 增量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量，记为∆u ，即21∆=-u u u .定义 在某一点处的连续性：（1）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 有增量x ∆时，函数相应的有增量y ∆， 若0lim 0x y ∆→∆=，则称函数()y f x =在点0x 处连续，0x 为()f x 的连续点.（2）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称()y f x =在点0x 处连续.（3）设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<，则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义 函数在区间上的连续性：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续；如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，且在左端点x a =处右连续，在右端点x b =处左连续，则称()f x 在闭区间a b [,]上连续，并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理：函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二．函数的间断点定义函数间断点：如果函数()f x 在点0x 处不连续，则称函数()f x 在点0x 处间断，点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点 称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。
1-8函数的间断点与连续性
⎧∆x可正可负，但不为0 ⎨ ⎩ ∆y可正可负，但可为0
例：y = c
⇒ ∆y = 0
3
从几 何 上 看： （ 图 ）
y = f ( x)
lijuan
y
f ( x0 + ∆x)
当 ∆ x → 0时 ，
∆y
f ( x0 )
∆y → 0
o
∆x x 0 x0 + ∆x
x
4
例：设函数y = x ，当x0 = 2, ∆x = 0.01时，函数的
x →0
在该点连续
2 lim f ( x ) = lim x =0 − −
x →0
� o
∴ 函数在 x = 0处不连续，为可去间断点。
x
可改变定义，令：f (0) = 0，则可在x = 0处连续
17
⎧ x2 x <1 例、讨论函数f ( x) = ⎨ 的连续性 ⎩ln x + 1 x > 1
lijuan
lijuan
⎧ tan x = 0 ⇒ x = kπ （k = 0, ±1, ±2,...） 解： ⎨ ⎩ tan x → ∞ ⇒ x = kπ + π
x (1)当x = 0时，lim x → 0 tan x
2 = 1, 但在x = 0处无定义，
∴ x = 0为可去间断点， 补充定义：f (0) = 1
5
反之：曲线在x0处不连续，如图: 则当∆x → 0时, ∆y → 0
lijuan
y
∆y
o
x0
x0 + ∆x
x
6
连续性的定义：
lijuan
设函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义，若在x0处， 当∆x = x − x0 → 0时， 相应的∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) → 0，
1.8 函数的连续性与间断点(1)
对 x 1:
lim f ( x) lim(1 x) 2,
x 1
x 1
lim f ( x) lim cos x 0
x 1
x1
2
x 1是其跳跃间断点。
16
对 x 1: f (1 0) 0, f (1 0) 0, f (1) 0 f ( x)在x 1点连续。
注 由定义1.8.1知，函数 f(x)在x0点处连续，需满足 以下条件：
(1) f ( x)在U( x0 )内有定义 x0 Df
(2) lim f ( x)存在 x xo
f ( x0 ), f ( x0 )都存在且相等
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 )
若三者有一不满足,则x0为f ( x)的间断点。 7
2. 间断点的分类 定义1.8.5 设点 x0 是函数 f ( x ) 的间断点， (1)如果 f－( x0)与 f＋( x0)都存在，则称点x0是函 数 f (x)的第一类间断点； (2)凡不是第一类间断点的任何间断点称为第 二类间断点。 下面举例说明：
lim y 0
x 0
那么就称函数 y = f(x)在 x0 点处连续。
对该定义进行分析，可得与此等价的另外一 种定义：
2
定义1.8.2 设函数 y = f (x)在x0的某邻域内有定
义，如果
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那么就称函数 y = f (x) 在 x0 点处连续。
x1
x1 2x 2
x 1为f (x)的无穷间断点。
注 找间断点时,不可先将函数表达式变形,
否则失去x 0为间断点。 15ຫໍສະໝຸດ 例7讨论f ( x)
1-8函数的连续性与间断点65661
第一类间断点：左、右极限都存在的间断点.
跳跃间断点与可去间断点属于第一类间断点.
第二类间断点：左、右极限至少有一个不存 在的间断点.
无穷间断点与振荡间断点属于第二类间断点.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
y
o
x
振荡型
连续点举例
例1 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
y
解 f (0 ) 0, f (0 ) ,
x 0称为函数的无穷间断点.
o
x
例4 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 当x 0时f ( x)在 1与 1
之 间 变 动 无 限 多 次,
y sin 1 x
x 0称为函数的振荡间断点.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
故 y 2 sin x x , 当x 0时, y 0. 2
注意：对于可去间断点，只要改变或者补 充间断点处函数的定义，则可使其变为连 续点.
如上例, 令 f (1) 2,
y
则
f
(x)
2
x,
0 x 1,
2
1 x, x 1,
1
在x 1处连续.
o1
x
例3
讨论函数
1-8 函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 ),
则称 f ( x)在 x0点右连续.
( f ( x)在x0点连续 f ( x)在x0点既左连续又右连续.)
2. 函数在区间上的连续性
定义4. 若 f ( x)在区间 I上每点连续,则称 f ( x)为 I上的 连续函数, 记作 : f ( x) C(I ). 如: f ( x) C[a, b]
(2) lim f ( x)存在 x xo
f ( x 00). f ( x0 0)都存在且相等
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 )
若三者有一不满足,则 x0为 f ( x)的间断点.
2. 间断点的分类: (各举一例,分别说明)
例1. 讨论 y f ( x) x2 1在 x 1点的连续性. 图像 x 1
都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
f ( x0 0). f ( x0 0)
至少有一不存在
例5.讨论函数 f ( x) 3 的间断点. 2 2 x
解：观察知 x 0.x 1时 f (x)无定义,
x 0.x 1为 f (x)的间断点.
例 证明 y sin x 在 (, )内连续.
证. x0 R 0 y sin( x0 x) sin x0
2sin x cos 2x0 x 2 x 1 x
2
2
2
由两边夹准则,
lim y 0,
x0
y sin x在 x0 点连续.
函数的图形在 x 0 处产生了 跳跃
例3. 讨论 y tan x 在 x 点的连续性。
§1.8 函数的连续性与间断点
.
解 f (1 0) 2, f (1 0) 2,
2
lim f ( x) 2 f ((11)), 2 x1
y2 x 1
x 1 为函数的第一类 间断点.
O1
x
且是可去间断点(removable discontinuity).
则
f (x)
2
x,
1 x,
所以,函数在点x 1不连续.
y
但 lim x2 1 limx 1 2
x1 x 1 x1
2
如补充定义:令 f (1) 2,
1
则 所给函数在x 1处连续. O 1
x
所以x 1称为函数的可去间断点.
23
例
函数f
(
x)
x, 1 x,
x 0, x 0,
12
sin x
设
f
(
x)
x a
b
x
sin
1 x
x0 x 0 问a, b为何值时, x0
(1) lim f ( x)存在; (2) f ( x)在x 0处连续. x0
解 因为 lim f ( x) 1, lim f ( x) b, 所以
x0
x0
(1) 要lim f ( x)存在,必需且只需
left);
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from the
right).y
y
左连续
右连续
O
函数的连续性与间断点(教师教材)
x0
x0
25
函数的连续性与间断点
三、小结
1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的 三个条件;
2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类:
第一类间断点: 跳跃型,可去型 间断点
第二类间断点:无穷型, 无穷次振荡型 (见下图)
26
函数的连续性与间断点
第y 一 类 间 断 点O
可去型
x0
x
第 二
x1
x 1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数f (x)在点x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
4
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
(2) lim f ( x) 存在; x x0
y f ( x) f ( x0 ) f (x0 x) f (x0 )为函数的
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x)
y
y
y f (x)
f ( x0 )y
x
f ( x0 )
x
O
x0
x0 x x O
x0 x0 x x
3
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
函数的连续性与间断点
练习：证明 f (x) x 在 x 0点连续。 二、函数的间断点
定义 4 设函数 f (x) 在 x0 的某一领域内有定义，如果 f (x) 在 x0 点不
连续，就称 x0 为 f (x) 的间断点，或不连续点。
间断点有下列三种情况：
（1） f (x) 在 x x0 没有定义；
（2）虽在 x
x0 处
f (x) 在 x0
点处连续。
定义1 ：设 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，若对 0, 0 ，
当 x x0 时，有 f (x) f (x0 ) ，就称 f (x) 在 x0 点连续。
注
1、 f (x) 在 x0 点连续，不仅要求
f
(
x)
在
x
0
点有意义，
lim
x x0
是函数的连续性。
设函数 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，当自变量由 x0 变到 x 时，
对应的函数值从 f (x0 ) 变化到 f (x) ，这时称 x x0 为自变量的增量，
f (x) f (x0 ) 为函数的增量，分别记为：
x x x0（ x 可正、可负、也可为零，这些取决于 x 与 x0 的大小）
【例
1】证明函数
f
(x)
x sin
1 x
,
0
x 0 在 x 0 处是连续的。
x0
证明：由于 lim f (x) lim x sin 1 0 ，又 f (0) 0 得
x0
x0
x
lim f (x) 0 f (0) ，所以 f (x) 在点 x 0 处是连续的。
x0
下面给出区间内连续的定义：
f
(x)
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．变量的增量：设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，则称终值与初值的差 u2 u1 为 变量 u 的增量，记作 u ，即 u u2 u1 。
注 1： u 可正，可负，可零。特别地，当 u 为正时，变量 u 从 u1 变到 u2 是增加 的；当 u 为负时，变量 u 从 u1 变到 u2 是减少的；当 u 为零时，变量 u 从 u1 变到 u2 是不变的。
3．函数的连续性：设函数 y f ( x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义。若
x 0
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0
x 0
则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处连续。
令 x x0 x ， 则 x 0 等 价 于 x x0 ， 而 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0 则 等 价 于 f ( x ) f ( x0 ) 0 ，即 f ( x ) f ( x0 ) 。于是，可得关于函数连续的另一个更易记 忆的定义： 设函数 y f ( x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义。若
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处左连续。 注：既然连续是由极限所定义的，于是左连续与连续之间的联系，类似于左极限 与极限之间的联系。 例：对于函数 y x3 ，因为 lim x 3 23 ，所以函数 y x3 在点 x 2 处左连续
当 x 0时 当 x 0时
x 1 例 2：设 f ( x ) 0 x 1
x0
当 x 0时 当 x 0时 当 x 0时
x0
注意到 f (0) 0 ， 但 lim f ( x) 1 ， 即 lim f ( x) f (0) 。 于是， 点 x 0 是函数 y f ( x ) 的可去间断点。此外，在函数 y f ( x ) 的基础上，更改当 x 0 时的函数值，即
9．可去间断点：设 lim f ( x) 存在。若函数 f ( x ) 满足下述两种情形之一：
x x0
(1) f ( x0 ) 无定义； (2) f ( x0 ) 有定义，但 lim f ( x则称点 x0 为函数 f ( x ) 的可去间断点。
注：可去间断点中的“可去”两字表明：虽然点 x0 为函数 f ( x ) 的间断点，但只 需补充或者更改 f ( x0 ) 的定义，即可使 f ( x ) 变成一个连续函数。比方说，对于情 形(1)，此时 f ( x0 ) 无定义，则只需补充 f ( x0 ) 的定义：令 f ( x0 ) lim f ( x ) ，即可
(1) 对于区间 I 的左端点 a ， 我们只要求函数 y f ( x ) 在点 a 处右连续， 这是因为 点 a 左边的点不在区间 I 内，我们无需考虑函数 f ( x ) 当 x a 时的左极限，即函
数 f ( x ) 当 x a 时的极限，从而即无需考虑函数 y f ( x ) 在点 a 处是否左连续；
x 1 令 f (0) lim f ( x ) 1 ，可得连续函数 f ( x) 1 x0 x 1
当 x 0时 当 x 0时 当x 0时
10 ． 跳 跃 间 断 点 ： 若 左 极 限 lim f ( x) 与 右 极 限 lim f ( x ) 皆 存 在 ， 但
总有 | f ( x ) f ( x0 ) |
前者 为“当 0 | x x0 | 时 ” ，后者 为“当 | x x0 | 时 ” ，这也是因为当函数
y f ( x ) 在点 x0 处连续时，函数 y f ( x ) 在点 x0 处必须有定义，且当 x x0 时，
2 例：设 y x 2 ，对于任意实数 x0 ，显然有 lim x 2 x0 ，所以函数 y x 2 为在区间 x x0
(, ) 上的连续函数。此外，闭区间 [0,1] 作为区间 (, ) 中的一部分，亦有
函数 y x 2 为在闭区间 [0,1] 上的连续函数 7．连续函数的图像：连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。 注： 连续函数中的 “连续” 两字亦可体现在函数的图像上， 即图像连续且不间断。 例：显然，连续函数 y x 2 的图像是一条连续且不间断的曲线
不等式 | f ( x ) f ( x0 ) | | f ( x0 ) f ( x0 ) | 0 必然成立。
例：对于函数 y x3 ，因为 lim x3 23 ，所以函数 y x3 在点 x 2 处连续
x2
4．左连续：设函数 y f ( x ) 在点 x0 的某一左邻域内有定义。若
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处连续。 注 1： lim f ( x ) f ( x0 ) 可简洁地记作 f ( x ) f ( x0 ) （ x x0 ） ，即当 x x0 时，
x x0
其对应的函数值亦有同样的趋向关系，即 f ( x ) f ( x0 ) 。
x x0 x x0 x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) ，即此时 lim f ( x) 不存在 ，则称点 x0 为函数 f ( x ) 的跳跃间
x x0
x x0
断点。 注：跳跃间断点中的“跳跃”两字表明：由于 lim f ( x ) lim f ( x ) ，所以在点 x0
x 1 例 3：设 f ( x ) 0 x 1
x0
当 x 0时 当 x 0时 当 x 0时
x0
注意到 f (0) 0 ，但 lim f ( x) 1 ，即 lim f ( x) f (0) 于是，点 x 0 是函数 y f ( x ) 的间断点
注 2：在前面定义函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限时，我们要求函数 y f ( x ) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义；而在定义函数 y f ( x ) 在点 x0 处连续时，我们要求函 数 y f ( x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义。 注意到， 前者为去心邻域， 后者为邻域， 这是因为当函数 y f ( x ) 在点 x0 处 连 续 时 ， 函数 f ( x ) 当 x x0 时的 极限 为 f ( x0 ) ，即 y f ( x ) 在点 x0 处必须有定义。相应地，从“ ”语言的角度来看，
x x0
sin x sin x 在点 x 0 处没有定义，但 lim 存在，所以点 x 0 是 x 0 x x sin x sin x 函数 y 的可去间断点。此外，在函数 y 的基础上，补充当 x 0 时的 x x
例 1：因为函数 y
sin x sin x x 函数值，即令 f (0) lim 1 ，可得连续函数 y x0 x 1
1 1 在点 x 0 处没有定义，所以点 x 0 是函数 y 的间断点 x x
例 1：因为函数 y
x 1 例 2：设 f ( x) x 1
x 0 x 0
当 x 0时 当 x 0时
x 0 x0 x0
由 lim f ( x ) 1 和 lim f ( x) 1 可得 lim f ( x) lim f ( x ) ，所以 lim f ( x ) 不存在 于是，点 x 0 是函数 y f ( x ) 的间断点
x 2
6．连续函数：设 I 为某个区间。对于任意 x0 I ，若函数 y f ( x ) 在点 x0 处连续， 即函数 y f ( x ) 在区间 I 上的每一点处都连续，则称函数 y f ( x ) 为区间 I 上的 连续函数。 注：特别地，设区间 I [a, b] ，若函数 y f ( x ) 为区间 I 上的连续函数，则
8．间断点：设函数 y f ( x ) 在点 x0 的某去心邻域内有定义。若函数 f ( x ) 满足下 述三种情形之一： (1) f ( x0 ) 没有定义，即点 x0 不在函数 f ( x ) 的定义域内； (2) f ( x0 ) 有定义，但 lim f ( x) 不存在；
x x0
(3) f ( x0 ) 有定义，且 lim f ( x) 存在，但 lim f ( x ) f ( x0 ) ，
x x0 x x0
则称函数 f ( x ) 在点 x0 处不连续，且称点 x0 为函数 f ( x ) 的不连续点或者间断点。 注：从函数图像的角度来看，不连续的函数的图像也不是连续的，即存在断点。 比方说，若点 x0 为函数 f ( x ) 的间断点，则函数 y f ( x ) 的图像在点 x0 处断开。
(2) 对于区间 I 的右端点 b ， 我们只要求函数 y f ( x ) 在点 b 处左连续， 这是因为 点 b 右边的点不在区间 I 内，我们无需考虑函数 f ( x ) 当 x b 时的右极限，即函 数 f ( x ) 当 x b 时的极限，从而即无需考虑函数 y f ( x ) 在点 b 处是否右连续。
x x0
使 f ( x ) 变成一个连续函数； 对于情形(2)， 此时 f ( x0 ) 有定义， 但 lim f ( x ) f ( x0 ) ，
x x0
则只需更改 f ( x0 ) 的定义：令 f ( x0 ) lim f ( x ) ，即可使 f ( x ) 变成一个连续函数。
x x0
lim f ( x ) A 0 ， 正数 ( ) ，使得当 0 | x x0 | 时，
总有 | f ( x) A |
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ) 0 ， 正数 ( ) ，使得当 | x x0 | 时，