贵州省遵义市遵义县一中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(解析版)(文科)

2016-2017学年贵州省遵义市遵义县一中高二（下）期中数学试
卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1．设集合M={3，a}，N={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}，M∩N={1}，则M∪N为（）A．{1，3，a}B．{1，2，3，a}C．{1，2，3}D．{1，3}
2．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．已知i为虚数单位，则复数的模为（）
A．0 B．C．1 D．
4．已知向量=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．若λ为实数，（ +λ）
⊥，则λ=（）
A．B．C．1 D．2
5．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）
A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3
6．如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（）
A．B．C．D．
7．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）
A．8 B．5 C．3 D．2
8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）
A．B．C．D．
9．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）
A．B．C．5 D．
10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
11．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）
A．B． C．4 D．
12．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g （b）＞f（b）g（x）D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，AC=8，BC=5，面积S△ABC=10，则=．
14．根据某固定测速点测得的某时段内过往的200辆机动车的行驶速度（单位：km/h）绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h﹣120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为．
15．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为．
16．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正
方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．
三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，
C=．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
19．（12分）一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．
（Ⅰ）写出所有可能的结果，并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；（Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形，求出能构成三角形的概率．
20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．（1）证明：AE⊥平面SDC；
（2）求三棱锥B﹣ECD的体积．
21．（12分）椭圆C： +=1（a＞b＞0的左、右顶点恰好与双曲线C′：x2
﹣y2=2的左、右焦点重合，且椭圆C与双曲线C′的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．
22．（12分）设函数f（x）=（x＞0且x≠1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知＞x a对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年贵州省遵义市遵义县一中高二（下）期中
数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1．设集合M={3，a}，N={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}，M∩N={1}，则M∪N为（）A．{1，3，a}B．{1，2，3，a}C．{1，2，3}D．{1，3}
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】先根据M∩N=1，求出a的值，然后解出N的解集，最后根据并集的定义求解即可．
【解答】解：∵M∩N=1，∴a=1，∴M={3，1}，
∵N={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，
∴M∪N={1，2，3}，
故选C．
【点评】本题考查了并集及运算，属于基础题，关键是注意细心运算．
2．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【考点】I9：两条直线垂直的判定．
【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只
有．
【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）
x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，
∴满足k1•k2=﹣1，
∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，
而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．
∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．
故选：B．
【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．
3．已知i为虚数单位，则复数的模为（）
A．0 B．C．1 D．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵=，
∴复数的模为1．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
4．已知向量=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．若λ为实数，（ +λ）
⊥，则λ=（）
A．B．C．1 D．2
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由题意可得+λ=（1+λ，0），由垂直可得数量积为0，可得λ的方程，解方程可得．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．
∴+λ=（1+λ，2）
∵（+λ）⊥，
∴4（1+λ）﹣3×2=0，
解得λ=
故选：B
【点评】本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．
5．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）
A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，可求f（1）=1，对函数求导可得，f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8从而可求f′（1）=2即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2，进而可求切线方程．
【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（1）=2f（1）﹣1∴f（1）=1∵f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8
∴f′（1）=﹣2f′（1）+6∴f′（1）=2
根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2
∴过（1，1）的切线方程为：y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1
故选A．
【点评】本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是要由已知先要求出函数的导数，进而可求k=f′（1），从而可求切线方程．
6．如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（）
A．B．C．D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
【分析】由正视图和侧视图分别是矩形和正三角形判断几何体是左右方向放置的正三棱柱，由俯视图的定义，最上边的棱的射影位于矩形的中间，且俯视图的宽为2，由此可得答案．
【解答】解：根据俯视图的定义，俯视图是从上到下的投影，
由正视图和侧视图分别是矩形和正三角形判断几何体是左右方向放置的正三棱柱，
最上边的棱的射影位于矩形的中间，且俯视图的宽为2．
故选D．
【点评】考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．
7．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）
A．8 B．5 C．3 D．2
【考点】E7：循环结构．
【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3
k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3
故选：C
【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．
8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．
【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．
三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形
即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，
阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，
所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．
9．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）
A．B．C．5 D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数的图象求出A，T，求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合ϕ的范围，求出ϕ得到函数的解析式，然后推出平移的单位与方向，得到选项．
【解答】解：由图象可知，从而，
将代入到f（x）=sin（2x+φ）中得，，
根据|ϕ|＜得到，所以函数f（x）的解析式为．
将f（x）图象右移个长度单即可得到g（x）=sin2x的图象．
故选A．
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．
11．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）
A．B． C．4 D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，
求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，
∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，
∴4a2+3ab﹣b2=0，
∴a=，
∴c==b，
∴e==．
故选：D．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g （b）＞f（b）g（x）D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数F（x）=，求导可判函数F（x）为R上单调递减的函数，
结合a＜x＜b可得，由题意结合选项分析，可得答案．
【解答】解：由题意构造函数F（x）=
则其导函数F′（x）=＜0，
故函数F（x）为R上单调递减的函数，
∵a＜x＜b，∴F（a）＞F（x）＞F（b），
即，
又f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，
对式子的后半部分两边同乘以g（b）g（x）可得f（x）g（b）＞f（b）g（x）．故选C
【点评】本题考查构造函数证明不等式，涉及商的导数，属基础题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，AC=8，BC=5，面积S△ABC=10，则=±20．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
=10，求出sin∠ACB，进一步求出cos∠ACB，根据向量【分析】由面积S
△ABC
数量积的计算公式便可求出．
===10，
【解答】解：∵S
△ABC
∴．
∴．
∴=BC•CA•cos∠ACB=±20．
故答案为：±20．
【点评】本题考查了解三角形的运算，及向量运算，是基础题．
14．根据某固定测速点测得的某时段内过往的200辆机动车的行驶速度（单位：km/h）绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h﹣120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为30．
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图求出该时段内非正常行驶的机动车辆的频率，由此能求出该时段内非正常行驶的机动车辆数．
【解答】解：该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h﹣120km/h，由频率分布直方图得该时段内非正常行驶的机动车辆的频率为：
（0.0025+0.0050）×20=0.15，
∴该时段内非正常行驶的机动车辆数为0.15×200=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
15．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为8．
【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；8G：等比数列的性质．
【分析】利用a4与a14的等比中项为，可得a4a14=8，再利用等比数列的性质、基本不等式，即可求得2a7+a11的最小值．
【解答】解：∵等比数列{a n}，a4与a14的等比中项为，
∴a4a14=8，
∵等比数列{a n}各项均为正数，
∴2a7+a11≥2=2=8，
当且仅当2a7=a11时，取等号，
∴2a7+a11的最小值为8．
故答案为：8
【点评】本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正
方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．
【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．
【分析】由题意四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，
所以R==1，
所以球的体积为：．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．
三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）（2013•无为县模拟）等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．
【考点】88：等比数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．
【分析】（Ⅰ）由首项和第四项代入等比数列通项公式求出公比，然后直接写出通项公式；
（Ⅱ）求出a2和a5，即得到等差数列{b n}的第4项和第16项，设出公差后列方程组可求等差数列{b n}的首项和公差，则前n项和可求．
【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，
由已知得16=2q3，解得q=2．
又a1=2，所以．
（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b4=8，b16=32．
设{b n}的公差为d，则有，解得．
则数列{b n}的前项和．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了方程思想，考查了学生的计算能力，此题为中低档提．
18．（12分）（2008•辽宁）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，
b，c，已知c=2，C=．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
【考点】HS：余弦定理的应用．
【分析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．
（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴
sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的
面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC 求出三角形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC
∴a2+b2﹣ab=4，
又∵△ABC的面积等于，
∴，
∴ab=4
联立方程组，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，，，，，求得此时
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立方程组解得，．
所以△ABC的面积
综上知△ABC的面积
【点评】本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．
19．（12分）（2016•兴安盟一模）一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．
（Ⅰ）写出所有可能的结果，并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；（Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形，求出能构成三角形的概率．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）根据盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，可以写出所有可能的结果，从而求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；
（Ⅱ）确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．
【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1）（4，2），（4，
3），（4，5）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）共20个…（2分）
设事件A=“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”
则事件A包含的基本事件有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3）共8个…（4分）
所以．…（6分）
（Ⅱ）剩下的三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个；…（8分）
设事件B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“
则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个…（10分）
所以．…（12分）
【点评】列举法是确定基本事件的常用方法．
20．（12分）（2014•全国一模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E 在SD上，且AE⊥SD．
（1）证明：AE⊥平面SDC；
（2）求三棱锥B﹣ECD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明AE⊥平面SDC，只需证明AE⊥CD，利用证明CD⊥侧面SAD 可得；
（2）证明CD⊥平面ASD，AB∥平面SCD，可得点B到平面SCD的距离等于点A
到平面SCD的距离AE，即可求三棱锥B﹣ECD的体积．
【解答】（1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴SA⊥CD．…．（1分）
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，
∴AD⊥CD，
又AD∩SA=A，
∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）
∵AE⊂侧面SAD
∴AE⊥CD，
∵AE⊥SD，CD∩SD=D，
∴AE⊥平面SDC…．
（Ⅱ）解：∵CD⊥AD，CD⊥AE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ASD，
∴CD⊥SD，
=ED•DC …（7分）
∴S
△EDC
在Rt△ASD中，SA=2，AD=1，AE⊥SD，
∴ED=，AE=
=1，…（9分）
∴S
△EDC
又∵AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
∴点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE …（11分）
=S△EDC•AE=…（12分）
∴V B
﹣ECD
【点评】本题考查线面垂直的判断与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力．
21．（12分）（2017春•遵义县校级期中）椭圆C： +=1（a＞b＞0的左、
右顶点恰好与双曲线C′：x2﹣y2=2的左、右焦点重合，且椭圆C与双曲线C′的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆C： +=1（a＞b＞0的左、右顶点恰好与双曲线C′：
x2﹣y2=2的左、右焦点重合，且椭圆C与双曲线C′的离心率互为倒数，算出a，b，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1•k2；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系，直线的斜率公式和直线l方程化简k1•k2的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k1•k2≤1，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点为（±2，0），
因为椭圆C： +=1（a＞b＞0的左、右顶点恰好与双曲线C′：x2﹣y2=2的左、右焦点重合，且椭圆C与双曲线C′的离心率互为倒数，
所以a=2，=
所以c=，b=
椭圆C的方程为；
（Ⅱ）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点，
∴k1•k2==；
②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
直线代入椭圆方程，消去x，整理得（m2+2）y2+2my﹣3=0．
∴y 1+y 2=，y 1y 2=．
∵x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，
∴k 1•k 2=•===+．
令t=4m +1，则
=≤，
∴k 1•k 2=+≤1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立．
综合①②，可得k 1•k 2的最大值为1，此时的直线l 方程为x=y +1，即x ﹣y ﹣1=0
【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
22．（12分）（2008•安徽）设函数f （x ）=
（x ＞0且x ≠1）．
（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）已知＞x a 对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求单调区间既是求函数导数大于或小于0的区间，我们可以用图表表示使结果直观．
（Ⅱ）对于未知数在指数上的式子，往往取对数进行解答．
【解答】解：（Ⅰ）
，若f′（x ）=0，则列表如下
（Ⅱ）在
两边取对数，得，由于0＜x ＜1，所以
（1）
由（1）的结果可知，当x ∈（0，1）时，，
为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当，即a＞﹣eln2【点评】求解此类问题要有耐心，避免不必要的计算错误．。