第二章 弹性力学的基本方程

H
58
具有如下性质： ij
(1) ii 3
(2) ijAi Aj
(3)
aikkj aij
(4) ikkj ij
H
59
5. 置换符号
e 置换符号用 表示,定ijk义:
1 若(i, j, k)为循环序列；
eijk 1 若(i, j, k)为逆循环序列；
0
若(i, j, k)为非循环序列；
2
H
22
3.边界条件
Tx
xl
yxm
zx
n
Ty xyl y m zy n
Tz
xzl
yzm
z
n
上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面 外法线方向余弦．
H
23
§2-4 位移 几何方程
1.位移 物体内各点位置的改变量称为位移。
用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定 沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
与坐标轴的正方向一致为正，负面上的
应力分量与坐标的负方向一致为正；反
之为负。
xx xy xz
(ij
)
yx zx
yy zy
yz zz
H
9
应力分量：
H
10
§2-2 平衡（运动）微分方程
1.微元体：
首先，在物体内一点P的附近，用三组坐标
面的平行平面截出一个微小的平行六面体单
元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，如
Fz
0
又称纳维叶(Navier)方程。
H
45
运动微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
Fx
2u
t 2
xy
x
y
y
zy
z
Fy
2v
t 2
xz
x
yz
y
z
z
Fz
2w
t 2
H
46
(2) 几何方程
x
u x
,
yz
w y
v
z
y
v y
,
zx
u z
w
x
z
w z
,
xy
v x
u y
方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程
y 2y, zx 2zx
z 2z, xy 2xy
式中
E
中称为拉梅常数
(1)(12)
上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律
注意：
, , xy yz zx 是应变张量分量而不是
剪应变分量．
H
42
上式还可进一步写成：
x
E
1
12
x
,
yz
E
2(1)
yz
y
E
1
12
y
,
zx
E 2(1)
（ⅲ）混合边界条件
H
50
§2-7 指标表示法
力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用 的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方 程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文 献中，在理论推导采用指标表示。
1. 指标符号 具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的
字母表示。
H
51
位移分量：
x
x
Ｂ点： uudy, vvdy
y
y
H
32
在小变形条件下：
x
papapapa
pa
pa
[d (xuu xdx)u]dxu
dx
x
y
pbpbpbpb
pb
pb
H
33
[(dyvvdy)v]dy
y
v
dy
y
x y2 B P A 2 b p a x y yx
v
v
yxtgyxapaadxxduxdx1xu xv
H
28
物体变形的位移及在坐标面上投影
H
29
以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系
H
30
以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系
H
31
P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z) 和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级数在Ｐ点处展开：
Ａ点： uudx, vvdx
H
13
x
x
yyxzzxFx
0
xyy
x y
zzyFy
0
xzyzz
x y z
Fz
0
又称纳维叶(Navier)方程。
H
14
3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。
(xd y y d z)d x (yd x zd x)d y 0
xy yx yz zy
zx xz
H
15
3.运动微分方程。
如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert） 原理，在体力项中引入惯性力：
j1
H
54
2. 求和约定
在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则 表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，这 就是爱因斯坦（Einstein）求和约定。
重复指标称为哑指标（或简称哑标）。
于是上式可表示为
a aiei aijxj Pi
式中的i，不是求和指标。非求和指标称为自由指标。
H
55
注意:
3
H
2
§2-1 载荷 应力
1.外力的表示 外力：直接施加在物体上引起物体的变 形与内力 ． 根据外力作用区域分为体积力和表面力
H
3
体积力：
分布在物体的体积内，作用在物体内的 所有质点上，例如重力、惯性力、电磁 力等。
H
4
体力矢量表示为：
F limF dF
V0V dV
H
5
表面力：
作用在物体表面上的外力，简称面力。 例如，液体或气体的压力，固体间的接 触力等，通常用面力矢量
(a) 循环序列：i, j, k取不同的值，
e123 e231 e31 2 1
H
60
(b) 逆循环序列：i, j, k取不同的值
e32 1 e21 3 e13 2 1
(c) 非循环序列：i, j, k中有两个以上的指标取 相同值
e 1 1 e 2 2 2 e 2 3 2 3 0
Pbc: dAx ldA
Pca: dAy mdA
Pab:
dAz
ndA
H
18
H
19
1.四面体的平衡方程 由x方向的平衡条件得：
T x d A x d A x y d A x y zd A x z F x d V 0
将各面面积代入得：
T xxlym xzn xF x1 3dh0
a 1b 1c1a2b 2c2a3b 3c3 aib iciaib ici
i 1
而
33
aijxixj
aijxi xj
i1 j1
3. 求导数的简记方法
( )
( xi
) ,i
2( )
( xix j
),ij
H
56
例如:
xi
,i
u i x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
x
x
H
34
u
u
dy
xytgxybpbb
y y dyvdy 1v
u y
y
y
在小变形条件下
uxx1, yvy 1,
xy
u y
v x
H
35
同例分析平面yoz和平面zox可得：
x
u x
,
yz
w y
v
z
y
v y
,
zx
u z
w
x
z
w z
,
xy
v x
u y
方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程
H
20
同理可得：
Txxlym x zx n
Tyxlyymzy n Tzxlzym z zn
上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。
H
21
2.斜面上的正应力与剪应力
TνTxlTymTzn
x l2 y m 2 z n 2 2 xlym 2 ym z 2 n zn x l
2
|T
|2
/
3.体积应变
xyz1 E 2 (x y z)
1 2
E
称为体积应变
H
39
4.用应变表示应力
xE 1[1 ()x(xyz)]
1Ex
E
同理
y
1Ey
E
z
1Ez
E
H
40
令 则
2yzyz, 2zxzx, 2xyxy
yz 1Eyz
zx
1
E
zx
xy
1
E
xy
H
41
于是 x 2x, yz 2yz
1 ,1 1,2 1 , 3, 3 ,1 3,2 3
缩写后为
ij H
52
应变分量：
xx, xy, 可用 ij 表示
在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取
i, j, 1, 2,3
在二维笛卡尔空间中，
, ,1, 2
下标用小写希腊字母表示，并取
a 由此，向量 可表示为
3
aa1e1a2e2a3e3 aiei
载荷载荷应力应力平衡运动微分方程平衡运动微分方程223斜面应力公式斜面应力公式应力边界条件应力边界条件224位移位移几何方程几何方程225广义广义hookehooke定律定律226弹性力学问题的一般提法弹性力学问题的一般提法227指标表示法指标表示法228迭加原理迭加原理229弹性力学问题解的唯一性原理弹性力学问题解的唯一性原理221010圣维南原理圣维南原理1
三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有 15个未知量15个方程，可以求解。
具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。
H
49
（4）边界条件
（ⅰ）应力边界条件
Tx
xl
yxm
zx
n
Ty xyl y m zy n
Tz
xzl
yz
m
z
n
（ⅱ）位移边界条件
uu, vv, ww
ui,i
u1,1u2,2u3,3
x fidi xf,idi xf,1d1x f,2d2x f,3d3x
H
57
4. 克罗内克（Kroneker）符号
定义:
i jeiejcoeis ˆe (j)
于是
ij
1 0
i j i j
11 12 13 1 0 0
ij 21 22 230 1 0
31 23 33 0 0 1
2u, 2v
t2
t2
和
2w t 2
这里为材料密度，t为时间。
H
16
运动微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
Fx
2u
t 2
xy
x
y
y
zy
z
Fy
2v
t 2
xz
x
yz
y
z
z
Fz
2w
t 2
H
17
§2-3 斜面应力公式 应力边界条件
过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面
abc的面积为dA，则三个负面的面积分别为
H
36
§2-5 广义Hooke定律
1.简单应力状态 简单拉压： 纯剪切：
E
E 2(1 )
H
37
2.复杂应力状态
x x1 x2 x3
1 E
[
x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
(
z
x )]
z
1 E
[
z
(
x
y )]
H
38
yz
yz
/
zx zx /
xy
xy
研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：
(1) 物体刚体位移
(2)物体内质点间相对位移
H
24
2.应变
线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z
方向线元的正应变分别用 ,
x , y 和 z 表示，即
x
dx dx dx
y
dy dy dy
z
dz dz dz
H
25
H
26
正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z
u、v、w可以写成
u1, u2, u3，缩写后为
ui(i1, 2, 3)
坐标：x、y、z 可以写成
x1, x2, x3，缩写后为
xi
单位基矢量： 应力分量：
i, j, k 可以写成
e1, e2, e3 ，缩写后为
e i x x , x y , x z,
, z x , z y , z z
可以写成
H i1
53
三阶线性代数方程组
a11x a12y a13z P1
a21x
a2
2y
a23z
P2
a31x
a32y
a33z
P3
可表示为
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a i 3 x 3 P i ( i 1 ,2 ,3 )
引用求和记号以后，还可以进一步简写为
3
aijxj Pi
(i1, 2, 3)
图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分量 仍用 F和x , Fy 表示F z。
H
11
H
12
2.力平衡微分方程
由 X得：0
(x x xd x ) d y d zx d y d z (y x y yd x y ) d x d zyd x x d z
(z x z zd x z )d x d y zd x x d y F x d x d y d z 0
第二章 弹性力学的基本方程 和一般原理
§2-1 载荷 应力 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 斜面应力公式 应力边界条件 §2-4 位移 几何方程 §2-5 广义Hooke定律
H
1
§2-6 弹性力学问题的一般提法 §2-7 指标表示法 §2-8 迭加原理 §2-9 弹性力学问题解的唯一性原理 §2-10 圣维南原理
T limT dT
S0 S dS
H
6
2.应力
在载荷的作用下，物体的各部分之间要 产生相互作用，这种物体内的一部分对 另一部分的相互作用力，称为内力。
H
7
弹性体内一点内力集 度表示为：
T
limQ
dQ
S0同．
H
8
2.应力分量
应力正负号的规定：正面上的应力分量
zx
z
E
1
12
z
,
xy
E
2(1
)
xy
H
43
§2-6 弹性力学问题的一般提法
我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析 建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动） 微分方程、几何方程和应力-应变关系；
H