2019-2020年福州市鼓楼区九年级上册期末数学模拟试卷(有答案)

福建省福州市鼓楼区九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（3，m），则m的值是（）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列事件中，必然发生的是（）
A．某射击运动射击一次，命中靶心
B．抛一枚硬币，落地后正面朝上
C．掷一次骰子，向上的一面是6点
D．通常加热到100℃时，水沸腾
4．如图，直线y=与双曲线y=﹣交于A（1，y1），B（2，y2）两点，则21y2﹣82y1的值为（）
A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12
5．如图，已知经过原点的⊙P与、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）
A．80°B．90°C．100° D．无法确定
6．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）
A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
7．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
8．若二次函数y=（m+1）2﹣m+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1
9．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（）
A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数D．以上答案都不对
10．如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
11．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小
关系是（）
A．S1＞S2B．S1=S2
C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定
12．如图，抛物线y=a2+b+c（a≠0）的对称轴为直线=1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程a2+b+c=0的两个根是1=﹣1，2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，的取值范围是﹣1≤＜3
⑤当＜0时，y随增大而增大
其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．把一元二次方程3（﹣2）=4化为一般形式是．
14．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是．
15．一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为cm．
16．如果关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根，则实数a的取值范围是．
17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．
三、解答题（本大题共9小题，共63分）
19．解方程：2+3﹣2=0．
20．如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y=与直线y=﹣2+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；
（2）求该双曲线与直线y=﹣2+2另一个交点B的坐标．
21．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
22．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
23．如图，抛物线y1=﹣2+b+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标及抛物线的顶点坐标；
（3）设直线AC的解析式为y2=m+n，请直接写出当y1＜y2时，的取值范围．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当=时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
25．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求
所在⊙O的半径DO．
26．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．27．已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm．AC⊥AB．△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S
△QMC ：S
四边形ABQP
=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请
说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
福建省福州市鼓楼区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（3，m），则m的值是（）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点的坐标代入解析式即可．
【解答】解：把点A代入解析式可知：m=﹣．
故选C．
【点评】主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列事件中，必然发生的是（）
A．某射击运动射击一次，命中靶心
B．抛一枚硬币，落地后正面朝上
C．掷一次骰子，向上的一面是6点
D．通常加热到100℃时，水沸腾
【考点】随机事件．
【分析】根据“必然事件是指在一定条件下一定发生的事件”可判断．
【解答】解：A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；
B、抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；
C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；
D、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．
故选D．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．如图，直线y=与双曲线y=﹣交于A（1，y1），B（2，y2）两点，则21y2﹣82y1的值为（）
A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元二次方程的解．
【分析】将一次函数解析式代入反比例函数解析式中得出关于的一元二次方程，解方程即可得出A、B点的横坐标，再结合一次函数的解析式即可求出点A、B的坐标，将其代入21y2﹣82y1中即可得出结论．
【解答】解：将y=代入到y=﹣中得：
=﹣，即2=﹣2，
解得：1=﹣，2=，
∴y1=1=，y2=2=﹣，
∴21y2﹣82y1=2×（﹣）×（﹣）﹣8××=﹣12．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及一元二次方程的解，解题的关键是求出点A、B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式求出交点的坐标是关键．
5．如图，已知经过原点的⊙P与、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）
A．80°B．90°C．100° D．无法确定
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．
【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=∠ACB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．
6．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）
A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
∴OM===60cm，
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：A．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
8．若二次函数y=（m+1）2﹣m+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将原点坐标代入二次函数y=（m+1）2﹣m+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函数的二次项系数不为零．
【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣3=0，
所以m=﹣1或m=3，
又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，
所以m=3．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时注意分析，注意理解题意．
9．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（）
A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数D．以上答案都不对
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义．
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y=a2+b+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可直接得到答案．
【解答】解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选C．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．
10．如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【考点】切线的性质．
【分析】根据题意，可知∠COB=70°，OA=OC，即可推出∠A=35°．
【解答】解：∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CP，
∵∠P=20°，
∴∠COB=70°，
∵OA=OC，
∴∠A=35°．
故选B．
【点评】本题主要考查了切线性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于确定OC⊥CP，OA=OC．
11．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（）
A．S1＞S2B．S1=S2
C．S1＜S2D．S1、S2的大小关系不确定
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】设大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．
【解答】解：如图，设大正方形的边长为，
根据等腰直角三角形的性质知，
AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD=，
∴S2的边长为，
S2的面积为2，
S1的边长为，
S1的面积为2，
∴S1＞S2，
故选：A．
【点评】本题利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解．
12．如图，抛物线y=a2+b+c（a≠0）的对称轴为直线=1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程a2+b+c=0的两个根是1=﹣1，2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，的取值范围是﹣1≤＜3
⑤当＜0时，y随增大而增大
其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线=1，
而点（﹣1，0）关于直线=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程a2+b+c=0的两个根是1=﹣1，2=3，所以②正确；
∵=﹣=1，即b=﹣2a，
而=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线=1，
∴当＜1时，y随增大而增大，所以⑤正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a2+b+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac ＞0时，抛物线与轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与轴没有交点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．把一元二次方程3（﹣2）=4化为一般形式是32﹣6﹣4=0．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：a2+b+c=0（a，b，c是常数且a≠0，去括号，移项把方程的右边变成0即可．
【解答】解：把一元二次方程3（﹣2）=4去括号，移项合并同类项，转化为一般形式是32﹣6﹣4=0．
【点评】本题需要同学们熟练掌握一元二次方程一般形式的概念，在去括号时要注意符号的变化．
14．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可
能性都相同，那么它停在1号板上的概率是．
【考点】几何概率．
【分析】首先确定在图中1号板的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在1号板上的概率．
【解答】解：因为1号板的面积占了总面积的，故停在1号板上的概率=．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；
此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．
15．一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为4 cm．
【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体．
【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r=l，代入S
侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．
【解答】解：设底面半径为r，母线为l，
∵主视图为等腰直角三角形，
∴2r=l，
πr2=16πcm2，
∴侧面积S
侧=πrl=
解得r=4，l=4，
∴圆锥的高h=4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够熟练掌握有关的计算公式，难度不大．16．如果关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≤1且a≠0．
【考点】根的判别式．
【分析】先根据关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根得出△≥0，a≠0，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵关于的一元二次方程a2+2+1=0有实数根，
∴，解得a≤1且a≠0．
故答案为：a≤1且a≠0．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程a2+b+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 的关系是解答此题的关键．
17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为1：4．
【考点】位似变换．
【分析】由AD=OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，继而求得△ABC与△DEF的面积之比．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴AB：DE=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故答案为：1：4．
【点评】此题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是1.2．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽
△ABC，得到=求出FM即可解决问题．
【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴=，
∵CF=2，AC=6，BC=8，
∴AF=4，AB==10，
∴=，
∴FM=3.2，
∵PF=CF=2，
∴PM=1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2．
故答案为1.2．
【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9小题，共63分）
19．（2014•集美区一模）解方程：2+3﹣2=0．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣2，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，
∴=，
∴1=，2=．
【点评】本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
20．（2016•菏泽）如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y=与直线y=﹣2+2交于点A （﹣1，a）．
（1）求a，m的值；
（2）求该双曲线与直线y=﹣2+2另一个交点B的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A（﹣1，4）坐标代入反比例解析式中即可求得m的值；
（2）解方程组，即可解答．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y=﹣2+2上，
∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，
∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y=，
∴m=﹣4．
（2）解方程组
解得：或，
∴该双曲线与直线y=﹣2+2另一个交点B的坐标为（2，﹣2）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（2016•嘉善县校级一模）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）按A到A1的平移方向和平移距离，即可得到B和C对应点，从而得到平移后的图形；
（2）把B1和C1绕点A1旋转90°，得到对应点即可得到对应图形；
（3）利用勾股定理和弧长公式即可求解．
【解答】解：（1）△A1B1C1就是所求的图形；
（2）△A1B2C2就是所求的图形；
（3）B到B1的路径长是：=2，
B1到B2的路径长是：=π．
则路径总长是：2+π．
【点评】本题考查了图形的平移和旋转，以及弧长公式，理解图象的旋转过程中每个点经过的路径是弧是关键．
22．（2016•威海）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除
标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；
（2）画树状图：
如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，
=，P（乙）==，
∴P
（甲）=
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．
【点评】本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，正确列出所有可能是解题关键．
23．（2015秋•广西期末）如图，抛物线y1=﹣2+b+c经过点A（4，0）和B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标及抛物线的顶点坐标；
（3）设直线AC的解析式为y2=m+n，请直接写出当y1＜y2时，的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）把A和B的坐标代入函数解析式求得b和c的值，即可求得函数解析式；（2）在函数解析式中令=0即可求得C的坐标，然后利用配方法即可确定顶点坐标；
（3）当y1＜y2时的范围就是当二次函数的图象在一次函数的图象的下边时对应的的范围，依据图象即可确定．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
则抛物线的解析式是y=﹣2+﹣2；
（2）在y=﹣2+﹣2中令=0，则y=﹣2，
则C的坐标是（0，﹣2）．
y=﹣2+﹣2=﹣（﹣）2+，
则抛物线的顶点坐标是（，）；
（3）当y1＜y2时，的取值范围是＜0或＞4．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及通过图象确定自变量的范围，考查了数形结合的思想．
24．（2016•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当=时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可．
（2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB2=AD•AE，
进而求出AE的值，所以tanE==．
（3）设AB=4，BC=3，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出的值，即可知道半径3的值．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DBC，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°﹣∠BDE，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠ABD=∠E，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△AEB；
（2）∵AB：BC=4：3，
∴设AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵BC=CD=3，
∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，
由（1）可知：△ABD∽△AEB，
∴==，
∴AB2=AD•AE，
∴42=2AE，
∴AE=8，
在Rt△DBE中
tanE====；
（3）过点F作FM⊥AE于点M，∵AB：BC=4：3，
∴设AB=4，BC=3，
∴由（2）可知；AE=8，AD=2，∴DE=AE﹣AD=6，
∵AF平分∠BAC，
∴=，
∴==，
∵tanE=，
∴cosE=，sinE=，
∴=，
∴BE=，
∴EF=BE=，
∴sinE==，
∴MF=，
∵tanE=，
∴ME=2MF=，
∴AM=AE﹣ME=，
∵AF2=AM2+MF2，
∴4=+，
∴=，
∴⊙C的半径为：3=．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起．
25．（2016秋•鼓楼区校级期末）如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O
点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥
弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．
【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．
【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，
在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；
答：所在⊙O的半径DO为5m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
26．（2009•常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．
【分析】（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．【解答】解：（1）CD=BE．理由如下：（1分）
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=BE=CD=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN 是等边三角形．（7分）
设AD=a ，则AB=2a ．
∵AD=AE=DE ，AB=AC ，
∴CE=DE ．
∵△ADE 为等边三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°．（8分）
∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD=30°，
∴CD=a ．
∵N 为DC 中点，
∴DN=
，
∴AN=．（9分）
∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，
∴S △ADE ：S △ABC ：S △AMN =a 2：（2a ）2：（
）2=1：4： =4：16：7（10分）
解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌△ACD ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点，
∴AM=AN ，NC=MB ．
∵AB=AC ，
∴△ABM ≌△ACN ，
∴∠MAB=∠NAC ，
∴∠NAM=∠NAC +∠CAM=∠MAB +∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN 是等边三角形，（7分）
设AD=a ，则AD=AE=DE=a ，AB=BC=AC=2a ，
易证BE ⊥AC ，
∴BE=
，
∴EM=，。