秋西城区第十三中分校八年级上期中数学试卷及答案

第Ⅰ卷
一、选择题：（每题3分，共30分）
1. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A ． a 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21 B ． a 2+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7） C ． （a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21 D ． a 2+4a ﹣21=（a+2）2﹣25
2. 下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x 3+2xy+x=x （x 2+2y ）；②x 2+4x+4=（x+2）2；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（x ﹣y ） A ． 3个 B ．2个 C ． 1个 D ． 0个 3. 若分式
的值为零，则x 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. ±1 4. 化简
21
1m
m m m -÷- 的结果是 ( ) A ．m B ．m 1 C ．1-m D ．1
1
-m
5. 如图1，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，
∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 6．分式方程
的解是（ ）
A. x= -2
B. x=2
C. x=1
D. x=1或x=2 7. 如图，在△ABC 中，AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ） 8. 若a 、b 、c 是三角形三边的长，则代数式a 2+b 2－c 2－2ab 的值（ ）. A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零 D ．非正数 9.已知关于x 的分式方程
+
=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）
考 生 须 知
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共 4 页。

2.本试卷满分100分，考试时间 100分钟。

3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。

4.考试结束，将试卷、机读卡及答题纸一并交回监考老师。

A ．
3 B ．
4 C ．
6 D ．
5 ---北京市第十三中学分校
第一学期期中 八年级 数 学 试 卷
A ．m ＞2
B ． m ≥2
C ．
m ≥2且m ≠3
D ． m ＞2且m ≠3
10. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，
推导出“式子x +x
1
（x ＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是x 1，矩形的周长是2（x +x
1
）；当矩形成为正
方形时，就有x =x 1（x ＞0），解得x =1，这时矩形的周长2（x +x
1
）=4最小，因此
x +x
1
（x ＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x ＞0）的最小值是（ ） 第Ⅱ卷
二、填空题：（每题2分，共16分） 11．分解因式：x 2y ﹣y= 12.分式方程
=
的解为x= ．
13. 若分式
有意义，则实数x 的取值范围是 _______________ ． 14. 化简
﹣
的结果是 ________ ．
15. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，添加一个条件 使△ABC ≌△AED ，你添加的条件是
（填一种即可），根据 .
16. 已知如图点D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法： ①AD =CD ②D 到AB 、BC 的距离相等
③D 到△ABC 的三边所在直线的距离相等
④点D 在∠B 的平分线
其中正确的说法的序号是_____________________.
A ．
2 B ．
3 C ．
6 D ．
10 1
2
E
D
C
B
D
B
A
C
D
A
17. 已知△ABC 中，AB =BC ≠AC ，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，
这样的三角形一共能作出_____个．
18． 观察下列等式： 第一个等式：a 1=
=
﹣
；
第二个等式：a 2=
=
﹣
；
第三个等式：a 3=
=
﹣
；
第四个等式：a 4=
=
﹣
．
则式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= __________________ ；用含n 的代数式表示第n 个等式：
a n =_______________________________________________ ； 三、分解因式：（每题4分，共12分） 19．9x 2－y 2－4y －4 20. ()
22
2164
x x -+ 21.()()2
233y x y x ---
四、计算题：（每题4分，共20分） 22．化简：11(
)x x x --÷22x x x -- 23．化简：1
23
1621222+-+÷
-+-+x x x x x x x ． 24. 解方程：
= ． 25. 解方程：1211
422+=+--x x
x x x
26．先化简，再求值：1
2112
2
2+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a a a ，其中()()210a a +-=．
五、解答题（27、28、每题5分，29题4分，30题4分，31每题4分， 共22分）
27. 已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．
求证：AC =AD ．
28. 端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进
甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙
E
A B
C
D
种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
29. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB>AD ，试判断AB-AD 与CD-CB 的大小关系，并证明你的结论．
30. 已知：在△ABC 中，D 为BC 边上一点，CD=AB ，且∠BDA=∠BAD ， AE 是△ABD 的中线，
求证：AC =2AE
31. 对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=
（其中a 、b 均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）==b ．
（1）已知T （1，﹣1）=﹣2，T （4，2）=1． ① 求a ，b 的值； ② 若关于m 的不等式组恰好有3个整数解，
求实数p 的取值范围；
（2）若T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均
有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？
第30题图
E D
A
B
--北京市第十三中学分校 第一学期期中 八年级 数学答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C A B
C
A
A
C
C
二、填空题
12． y （x+1）（x ﹣1） 13． 2 14．x≠5 15．a
+-
11 16．AB=AE ，SAS 17．②③④ 18． 5 19．
；
=
三、因式分解 19. 9x 2－y 2－4y －4
=()2
229+-y x
=()()2323--++y x y x
20. =(
)(
)
x x x x 44442
2
-+++ =()()2
2
22-+x x
21. ()()2
2
33y x y x ---
()
2
22
x 416x +-
=()()y x y x y x y x 3333+---+- =()()y x y x 2244+- =()()y x y x +-8
四、计算题
22. 11
()x x x
--÷2
2x x x -- =()212--•-x x x x x
=x-1
23. 123
1621222+-+÷-+-+x x x x x x x
=()()()()3
11132122
+-•
-++-+x x x x x x x =
1
2
1222+=++-x x x x
24.
= ．
解：方程两边都乘以（x +2）（x ﹣2），得 x +2=4， 解得x =2，
经检验x =2不是分式方程的解，原分式方程无解．
25. 1211
422+=+--x x
x x x
解： ()2
1
121242214)
1(2142222-
==-=+--=-+--=-+-x x x x x
x x x x x x x x x
经检验21-
=x 是分式方程的解，原分式方程的解为2
1-=x 。

26. 12112
2
2+-+÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a a a a a a =()()()()1111122+-•⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----a a a a a a a a a =()()()
11112
+-•
-+a a a a a a =
21
a
a - a 2+a ﹣2=0的解为1;2=-=a a 当2-=a 时，原式=4
3
-
； 当1=a 时，原式无意义。

五、解答题
27∵∠BAE =∠CAD
∴∠BAE-∠CAE =∠CAD-∠CAE ∴∠BAC=∠EAD 在△ABC 与△AED 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠DE CB EAD BAC E B ∴△ABC ≌△AED ∴AC=AD
28. 解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元， 由题意得，
+
=260，
解得：x =2.5，
经检验：x =2.5是原分式方程的解， （1+20%）x =3， 则买甲粽子为：
=100个，乙粽子为：
=160个．
答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．
29. 证明：在AB 上截取AE=AD ，连接EC ∵对角线AC 平分∠BAD ∴∠EAC=∠DAC 在△EAC 与△DAC 中
E
A
B
C
D D
A
E
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AC AC DAC EAC AD AE
∴△EAC ≌△DAC ∴CE=CD 在△BEC 中
CE-BC<BE
即：CD-CB<AB-AD
30.证明：延长AE 至F ，使EF=AE 。

连接FD ∵∠BDA=∠BAD ∴AB=BD
∵ AE 是△ABD 的中线 ∴ BE=ED=
在△AEB 与△FED 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=FE AE FED AEB ED BE
∴ △AEB ≌△FED
∴ AB=FD 且FDE B ∠=∠ ∵ AB=DC ∴ FD=CD
∵ B DAB ADC ∠+∠=∠ FDE ADB ADF ∠+∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠ 在△ADF 与△ADC 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC DF ADC ADF AD AD
∴△ADF ≌△ADC ∴ AF=AC ∵AE AF 2= ∴ AC=2AE
31.解：（1）①根据题意得：T （1，﹣1）=
=﹣2，即a ﹣b =﹣2；
E D
A
B
C
T=（4，2）==1，即2a+b=5，
解得：a=1，b=3；
②根据题意得：，
由①得：m≥﹣；
由②得：m＜，
∴不等式组的解集为﹣≤m＜，
∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，
∴ 2 < 3，
解得：﹣2 ≤p ＜﹣；
（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，整理得：（x2﹣y2）（2b﹣a）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴2b﹣a=0，即a=2b．。