三角函数与平面向量高考试题分析

平面向量高考试题分析
一、平面向量在教材中的地位：
1. 掌握向量的基本概念，基本运算，相关公式，注意定比分点坐标公式和平移
公式。

2. 掌握正余弦定理在解三角形中的运用。

3. 三角函数与平面向量、平面几何、解析几何等知识点的综合运用是高考得重
点与热点，尤其是三角函数与向量的综合。

这就要求熟练掌握三角变换公式；
掌握三角初等函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；掌握三角函数最
值、值域及与之有关问题的解法。

二、平面向量
1.向量的基本概念和运算
数乘向量：a λr
向量平行：1221b a x y x y λ=⇒=r r
向量数量积：1212cos a b a b x x y y θ==+r r r r g
向量垂直：112200a b a b x y x y ⊥⇒=⇔+=r r r r g
向量模：a ==u u r 2.解斜三角形
三角形面积公式：11()22111sin sin sin 222S ha r a b c S ac B ab C bc A =
=++=== 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
=== 余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+-
三、平面向量高考试题类型
主要考察平面向量的相关概念和运算法则以及基本技能，如向量的平行、
垂直、向量夹角等。

单独考察多以填空题和选择题形式出现。

平面向量与三角、几何、解析几何相关的交叉内容，多以解答题形式考查。

1.平面向量基本知识考查： 例1.(5,6),(,5),a b x a b x =-=r r r r 若与平行，则为（ ）
由向量坐标运算可得两非零向量有1221a b x y x y ⇒=r r P ，所以256
x =- ,,2,3i j x y ABC AB i j AC i k j k =+=+r r u u u r r r u u u r r r 例2.在平面直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量。

在直角三角形中，若，则的可能值个数是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4 (2,1),(3,),(1,1)AB AC k BC k ===-u u u r u u u r u u u r
（1） 若角A 为直角，则606AB AC k k =+=⇒=-u u u r u u u r g
（2） 若角B 为直角，则2101AB BC k k =+-=⇒=-u u u r u u u r g
（3） 若角C 为直角，则230BC AC k k k =-+=⇒u u u r u u u r g 无解
所以可能值有2个
点评：平面向量的基本概念，基本运算及相关公式，只要掌握其相关知识，不
难解决此类问题。

2.平面向量在解析几何中的应用 22(4,0)(4,0)sin sin 1259sin ABC A C B x y A C B ∆-++==例
3.在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆
上，则（ ）。

设三角形的三边为,,a b c ，因为B 在椭圆上，由椭圆定义知108
a c
b +=⎧⎨=⎩ 又由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C ===，则sin sin 5sin 4
A C a c
B b ++== 24,,0F y x A B
C FA FB FC FA FB FC =++=++=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r 例4.设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则F 为三角形重心，A,B,C 三点的横（纵）坐标的和为F
点横（纵）坐标的3倍。

F 为焦点，由抛物线的定义有111336A B C F FA FB FC x x x x ++=+++++=+=u u u r u u u r u u u r
点评：此类题目主要考查的是向量与圆锥曲线的有关知识，能熟练向量的有关运
算及圆锥曲线的基本定义性质，考查学生的运算和推理能力。

3.三角函数与平面向量的综合题
2306()2sin ()24ABC AB AC AB AC f θθπ
θθθ∆≤≤=+u u u r u u u r u u u r u u u r g 例5.已知的面积为，且满足，设和的夹角为。

（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值。

解：设三角形三角A,B,C 所对边为a,b,c ，则
21(1)cos ,sin 32
0cos 6,06cot 60cot 1
[,]42
(2)()2sin ()24
1cos(2)21sin 222
12sin(2)3
212[,]sin(2)136323
2()3
5,12AB AC bc S bc bc f f θθθθθππθπθθθπθθθθπ
θππππθθθπθ===≤≤∴≤≤⇒≤≤∴∈=+=-+=+-=+--∈∴≤-≤∴≤≤∴=u u u r u u u r g Q Q max min ()3;,()24f f θπθθ==
= (sin(),cos ),(cos(),cos ),[,]().212221222
3cos ()5()(,)(0)x x x x a b x f x a b x f x f x c m n m c
πππππ=+=+-∈==-=<<r r r r g r r 例6.已知向量，函数（1）若，求函数的值；（2）将函数的图像按向量平移，使得平移后得图像关于原点对称，求向量解：
211111()sin()cos()cos sin()cos cos 2122122262242
11sin()262
347cos ,[,]sin ()5252011()(,)()sin()262
s x x x f x x x x x x x x x f x f x c m n f x x m n πππππππ=++-=+--=--=--=-∈∴=∴===---+∴Q r （1）（2）将函数的图像按向量平移后图像解析式为函数图像要关于原点对称，则56in()016611
20(0,)22m k m m n n n m πππππ⎧+=⎪⎧⎧⎪--==⎪⎪⎪⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+==⎪⎪∈⎪⎩⎩⎪⎩
点评：主要考查的是平面向量数量积的计算，其符号运算和坐标运算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。

对于向量和三角函数得综合题，向量往往起到的是“包装”的作用，其本质还是三角函数问题，要透过现象看本质，熟练利用三角公式相应的向量运算及相关知识解决此类问题。