独立种群相互依存模型(1)

独立种群相互依存模型
摘要：本文从种群的增长规律出发，对Logistic 模型进行修改，建立了可以独
立生存、共处时又能互相提供食物的两种群的依存模型。

并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 得出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用的结论。

关键词：Logistic 模型 微分方程组 稳定点
1 问题的复述
如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。

2 合理的假设
2.1 该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。

2.2 考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。

2.3 区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多但有限。

2.4 符号说明
t ：时间 ()1x t 、()2x t ：两物种与t 时刻的个体数 1,2
N ：两种群的最大容纳量
1,2
r ：两种群的固有增长率
1σ：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的1
σ倍
2σ：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的2
σ倍
3 模型的建立
有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从
Logistic 规律。

由因为两种群均可独立生存，共处时又能相互提供食物。

故种群甲乙的数量演变规律可以写作：
()()'121111
12'2122222111x x x t r x N N x x x t r x N N σσ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ （1） 则（1）刻画了该区域所考查两种群的发展规律，即为依存模型。

4 模型的求解
令： ()121211112,1x x f x x r x N N σ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭ （2）
()211222221,1x x g x x r x N N σ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
（3） 令： ()1212112
,1x x
x x N N ϕσ=-
+
（4） ()2112221
,1x x
x x N N φσ=-
+
（5）由（2）（3）知，（1）为自治方程，为此：
令：()()
1212,0
,0f x x g x x =⎧⎪⎨
=⎪⎩ 解为：
()11,0P N ()220,P N ()()11223121211,11N N P σσσσσσ++⎛⎫
⎪--⎝⎭ ()40,0P 此为（1）的四个平衡点。

（
1,20
x ≥）
记 1
21
2x x x x f f A g g ⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭ (2)(3)=
121
1111
11
12
2
2
2122222212122x x x r r r r N N N x x x r r r r N N N σσσσ⎛⎫
-+ ⎪ ⎪ ⎪
-+ ⎪
⎝⎭
记 ()12|i x x P p f g =-+ det()|i P q A = （1,2,3,4i =）
⇒
(1
2
P λ=
- 在i P 处的值列表如下
5 局部稳定性分析
可知，只在
121σσ<情况下，3P 稳定，甲乙才分别趋向非零的有限值，否则
由于二者均能独立生存又互相提供食物，将使二者均趋向无穷。

6 全局稳定性分析
以（4）（5）式作图，并在
1,20
r >，
1,20
x ≥的背景下讨论。

由3P
点的表达式容易看出，要使平衡点3P 有实际意义，即位于相平面第一象限（
1,20
x ≥），必须满足下面两个条件中的一个：
1A ：1σ＜1， 2σ＞1， 12σσ＜1 2A ：1σ＞1， 2σ＜1， 12σσ＜1
由表1可知，仅在条件1A 下3P
才是稳定的。

直线0ϕ=和0φ=将相平面（
1,20
x ≥）划分成4个区域：1S ：.1x ＞0，.2x ＜0；2S ：.1x ＞0，.2x ＞0；3S ：.
1
x ＜0，.
2x ＞0；4S ：.
1x ＜0，.
2x ＜0。

图1画出了条件1A 下相轨线的示意图。

图1
3P 稳定的相轨线图
7 结果分析
1σ＜1， 2σ＞1即乙提供给甲的食物量大于甲消耗的供养甲的食物量，而
甲提供给乙的食物量却小于乙消耗的供养乙的食物量。

在121σσ<时，平衡点
()()11223121211,11N N P σσσσσσ++⎛⎫ ⎪
--⎝⎭是稳定的。

此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。

因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。