四川省内江市2015年中考数学试题及解析

四川省内江市2015年中考数学试题及解析
内江市2015年中考数学试卷
A 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．9的算术平方根是（ ） A ．
﹣3 B ．
±3 C ．
3 D ．
2．用科学记数法表示0.0000061，结果是（ ） A ． 6.1×10﹣
5 B ． 6.1×10﹣
6 C ． 0.61×10﹣
5 D ．
61×10﹣
7
3．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）
A ．
B
．
C
．
D
．
4．有一组数据如下：3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A ． 10
B ．
C ．
D ．
2 5．函数y=
+
中自变量x 的取值范围是（ ）
A ．
x ≤2 B ． x ≤2且x ≠1
C ． x ＜2且x ≠1
D ．
x ≠1 6．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列运算中，正确的是（ ）
A ．
a 2+a 3=a 5 B ．
a 3•a 4=a 12 C ．
a 6÷a 3=a 2 D ．
4a ﹣a=3a 8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）
A ．
40° B ．
45° C ．
60° D ．
70° 9．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A ．
B ．
15．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x 2，且满足+=3，则k的值是．
16．如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有根火柴棒．（用含n的代数式表示）
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推算步骤）
17．（7分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣
2sin60°+．
18．（9分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD 是矩形．
19．（9分）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分
布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？（3）如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
20．（9分）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．（10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k ＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
B卷
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则
BC=．
23．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ=．
24．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；②HO BG；
③S 正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为．
25．已知实数a，b满足：a 2+1=，b2+1=，则2015|a﹣b|=．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）
26．（12分）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）=；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=．
（2）猜想：
（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）=（其中n 为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
27．（12分）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB 的长．
28．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x 轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN 的面积S与t的函数关系式；
（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N 的坐标．
内江市2015年中考数学试卷答案
A卷
选择题
1.C
2.B
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.A
9.D 10.C 11.B 12.C 填空题
13.2y（x+2）（x﹣2）． 14. 15.2 16.2n （n+1）
解答题
17.
解答：解：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+ =2﹣1+2﹣+2
=3+．
18.
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，
∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
19.
解答：解：（1）根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；
则第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；如图：
（2）根据题意得：考试成绩评为“B”的学生大约有：×1500=420（名）；
（3）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的有10种情况，
∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为：=．
20.
解答：解：过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD•cot45°=PD，
ND=PD•cot30°=PD，
∵MD+ND=MN=2，
即PD+PD=2，
∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．
21.
解答：解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得：，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，
根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；
④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣
50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
B卷
填空题
22.623.
24.②25.1
解答题
26.
解答：解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式=a n﹣b n，
故答案为：a n﹣b n；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．
27.
解
解：（1）连接OC，如图1，
答
：
∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=OC，
∴OC==h，
∴AB=2OC=h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，
则OF=4，AB=2OF=8．
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径
AB的长为8．28.
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：
，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，
∴NP==y N=﹣t2+t+1，
∴S=AB•PN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴=，
∴=，
∴PN=2PO．
①当﹣＜t＜0时，PN==y N=﹣t2+t+1，
PO==﹣t，
∴﹣t 2+t+1=﹣2t，
整理得：3t2﹣9t﹣2=0，
解得：t1=，t2=．
∵＞0，﹣＜＜0，
∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN==y N=﹣t2+t+1，PO==t，
∴﹣t 2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t 3=﹣，t4=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．。