高中数学概念、方法、题型、易误点汇整人教版新课标

高中新课标数学概念、方法、题型、易误点汇整
第一部分 集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q
，则P+Q 中元素的有________个。

（2）设
{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，
{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点
)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________ （3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S
a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个
2.遇到
A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？
要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

如集合
{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且
A
B B =，则实数a ＝______.
3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n
2
，12-n ，12-n .
22-n
如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M
⊂⊆≠集合M 有______个。

4.集合的运算性质： ⑴B x A x B A ∈∈⇔⊆则,； ⑵}|{B x A x x B A ∈∈=且 ； }|{B x A x x B A ∈∈=或 ；⑶C U A={x|x ∈U 但x ∉A}；⑷B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ (讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况)；
⑸()U C A
B U U
C A C B =⑹()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，
}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝___ __，B ＝_ __.
5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；
{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合
{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M
N =___
（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，
}R λ∈，则=N M _____
（答：)}2,2{(--）
6. 数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数
12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

(4)、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B; 7.四种命题及其相互关系。

： 原命题:
p q ⇒;逆命题: q p ⇒;否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）注意命题p q ⇒的
否定与它的否命题的区别: 命题
p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q”，
“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q” 注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b
a +是奇数”，否定是“若a 和
b 都是偶数，则b a
+是奇数”
（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理
论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？
如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 ；
（2）已知函数
2
(),11
x x f x a a x -=+
>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。

8．逻辑连接词： p q p ∧q p ∨q ⌝p ⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； 真 真 真 真 假 ⑵或（or ）：命题形式 p ∨q ； 真 假 假 真 假 ⑶非（not ）：命题形式⌝p . 假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
9.复合命题真假的判断。

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全
真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。

如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；
⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________
10.充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；若
p q ⇒，p 就是q 的充分条件，反过来q 就是p 的必要条件；若p q ⇒且q p ≠;
则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）;
（2）利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件（B 是A 的必要条件）；若A=B ，则A 是B 的充要条件；
如（1）给出下列命题：①实数0=a
是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是
b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______
（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2
≤+++-a a x a x 。

若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是
11．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示； 全称命题p ：)(,
x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数的三要素（定义域、解析式、值域）: 判定相同函数:定义域相同且对应法则相同
⑴求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a
x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中
0A π
<<, 最大角3π≥，最小角3
π≤等。

如（1）函数lg 3y x =-____；
（2）若函数2743
kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______； （3）函数
()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________；
（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实
数a 的取值范围;
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知
[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

如（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________；
（2）若函数
2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________．
⑵求函数解析式的常用方法：
①待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：
2()f x ax bx c =++；顶点式：
2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。

如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：2
1()212
f x x x =++）
②代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已知,sin )cos 1(2
x x f =-求()
2x
f
的解析式（答：242
()2,[f x x x x =-+∈）；（2）若221)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：
223x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)
0,(-∞∈x 时，
)(x f =________
（答：(1x ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()
g x 的值域。

③方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于
()f x 及另外一个函数的方程组。

如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2
()33
f x x =--）；（2）已知()f x 是奇函数，)
(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11
-x ,则()f x = （答：21
x x -）。

⑶求定义域:使函数解析式有意义(若是实际问题中的变量还要使实际问题有意义)(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底
数?;零指数幂的底数?);
如：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{}4
2|≤≤x x ）
；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）
． ⑷求值域:
①配方法：如：求函数
225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）
； ②逆求法（反求法）：如：313x
x
y =+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围
（答：（0,1））；
③换元法：如（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17
[4,
]8
-）；（2
）21y x =++的值域为_____
（答：
[)3,+∞）
t =，0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）
； ④有界法：利用函数有界性（x
a 、x sin 、x cos 等），三角函数转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求
值域；
如：
2sin 11cos y θθ-=
+的值域（答：3
(,]2
-∞）；
⑤不等式法
――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。

如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成
等比数列，则
2
12
21)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞）。

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如求
1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x
=++
，
()3log 5y x =--的值域为______（答：80(0,
)9、11
[,9]2
、[)0,+∞）； ⑦数形结合：根据函数的几何图形或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等），利用数型结合的方法来求值域。

如（1）已
知点
(,)P x y 在圆221x y +=上，求
2y x +及2y x -的取值范围（答：[33
-、[）；（2）求函数
y =的值域（答：[10,)+∞）；
⑧判别式法：如（1）求
2
1x
y x =
+的值域（答：
11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
）；（2）求函数3y x =+的值域（答：1[0,]2）如求21
1
x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）
⑨导数法;分离参数法;―如求函数
32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48） 用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32x y x x +=
∈--②（)0,(,3
2-∞∈+-=x x
x x y ；③)0,(,1
3
2-∞∈-+-=x x x x y
3．分段函数：.是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值
0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域
内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

如（1）设函数2
(1).(1)()
41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________； （2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________;
4．函数的奇偶性:（1）定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．,．为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

如若函数)(x f 2sin(3)
x θ=+，[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是 ；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数
y =___ 。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：
()()0f x f x ±-=或()1()
f x f x -=±（()0f x ≠）。

如判断11()(
)212
x f x x =+-的奇偶性_ __.
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于
y 轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②若
()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.
如若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3
1(f =2，则不等式2)(log 8
1>x f 的解集为___
③若奇函数
()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。

如若22
()21
x x
a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝___ .
④在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2
f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。

①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②
若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝ ; ⑥既奇又偶函数有无穷多个（
()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）
5．函数的单调性：（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：①定义法（取值――作差――变形――定号）、②导数法.（在区间(,)a b 内，若总有
()0f x '>，则
()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。

如已知函数
3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____ ；
③在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b
y ax a x
=+>,0)b >型函数的图象和单调性在
解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.
如（1）若函数
2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4） 上是减函数，那么实数a 的取值范围是 ；
（2）已知函数1
()2
ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____； （3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪
⎝⎭
且的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ；
④复合函数由同增异减判定 注意①：
)(x f 在区间M
上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，)0(0)()(21><-x f x f
)0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2
121<>--⇔x x x f x f ；
注意②：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，有0)(≥'x f ，
∴
0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

注意③：函数单调性与奇偶性的逆用（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数
)(x f 是定义在)2,2(-上
的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

（答：1223m -<<）；函数()
21
2
log 2y x x =-+的单调递增区间
是________(答：（1,2）)。

特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域 6．函数的周期性 （1）三角函数的周期： ①
π2:sin ==T x y ；②π
2:cos ==T x y ；③
π
==T x y :tan ；
④|
|2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y
（2）类比“三角函数图像”得：
①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2；
②函数
()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 的周期为
2
a ；②若
1
()(0)()
f x a a f x +=
≠恒成立，则2T a =；③若
1
()(0)()
f x a a f x +=-
≠恒成立，则2T a =.
③)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称⇒()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-； ④
)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称⇒⇒()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
⑤如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且
一周期为4||T
a b =-；
如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，
则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5） 如(1) 设
)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：
5.0-)；(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ
是锐角三角形的两个
内角，则
(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答：(sin )(cos )f f αβ>)；
7．指数式、对数式：
m
n
a =，
1m
m
n
a
a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，
lg 2lg51
+=，
log ln e x x
=，
log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。

如2log 1()2的值为________(答：164
)
指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：
αx y = （)R ∈α ； ⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:
)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；
⑸余弦函数：
x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02
=++c bx ax ；
⑻其它常用函数：①一次函数:y=ax+b(a ≠0)②正比例函数：
)0(≠=k kx y 是奇函数；
③反比例函数：)0(≠=
k x k y 平移⇒b
x k
a y -+=(中心为(b,a))；④特别的x y 1=，
⑤函数
)0(>+
=a x
a
x y ；是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a ；递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 递增，在),a [],a (+∞--∞
9．二次函数：⑴解析式（三种形式）：①一般式：c bx ax x f ++=2)((轴-b/2a,a ≠0,顶点?当b=0时，是偶函数;)；②顶
点式：
k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --=；
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

其中①区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数422
12
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）
②实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）；②图象变换法；③导数法 ⑵图象变换： ① 平移变换：ⅰ
)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”
；
ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：
ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
ω
1
倍；
ⅱ
)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；
③ 对称变换：ⅰ
)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0
y )(x f y -=； ⅲ
)(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→
−=x
y )(1x f y -=； ④ 翻转变换：
ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）
； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|
)(x f |在x 下面无图象）；
如要得到
)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右)；
（3）函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)
如将函数a a
x b
y ++=
的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：C)
如（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的1
3
（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单
位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方
程是_______(答：1
2
x =-)．
如（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数
)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：y 轴）
11．函数图象（曲线）的对称性 ①满足条件
()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2
a b
x +=
对称。

特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）−→−
y=f(x)图像关于直线x=a 对称；
两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=
2
a
b -对称。

如已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件
)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：21
2
x x -+)；
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴 的对称曲线方程为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴 的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。

特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为
(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为
(,)0f y x --=。

如己知函数33(),()232
x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线
y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图
像为33,C C 则对应的函数解析式是___________（答：221
x y x +=-+）；
⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a 的对称曲线
C 2方程为：f(2a －x, y)=0;如若函数
x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---）
⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c
-。

如已知函数图象C '与
2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）
提醒：(1)证明函数
)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点
在
)(x g y =的图象上，反之亦然；
如（1）已知函数)(1)(R a x
a a
x x f ∈--+=。

求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。

12. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。

求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。

几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：
()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2
()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()
x f x f y f y =；
③指数函数型：()x
f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()()()
f x f x y f y -=；
④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x
f f x f y y
=-；
⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-。

如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2
(T
f __（答：0）
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
如（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有
A 、
(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（ ）；
（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果2
3
lg
)1(=f ，15lg )2(=f ，求
)2001(f ；
（3）如设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴； （4）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。

如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____ ;
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-
逻辑探究。

如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是_____； （2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______；
（3）已知
()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，
那么不等式()cos 0f x x <的解集是_____________；
（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x f f x f y y
=-，且1x >时，证
()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-．
13．函数零点的求法：⑴直接法（求
0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
14．①求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。

（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立
b
y ax x
=+
型。

②恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a ≥f(x)恒成立⇔a ≥[f(x)]max,;a ≤f(x)恒
成立⇔a ≤[f(x)]min ;
15．导数
⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim
)(000
00
；
⑵常见函数的导数公式: ①'
C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；
⑤a a a
x x ln )('
=；⑥x x e e =')(；⑦a
x x a ln 1)(log '=
；⑧x
x 1)(ln
'=。

⑶导数的四则运算法则：;)(
;)(;)(2
v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± ⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？注意：过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数3()3f x x x =-，
过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y -
-=）。

导数几何物理意义:k=f /
(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

V ＝s /
(t)表示t 时刻即时速度,a=v ′(t)表示t 时刻加速度。

如一物体的运动方程是21s
t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____
（答：5米/秒）
②利用导数判断函数单调性：ⅰ
)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；ⅱ )(0)(x f x f ⇒<'为减函数；
研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f /
(x)>0得增区间;解不等式f /
(x)<0得减区间;注意f /
(x)=0的点; 如：设0>a
函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；
③利用导数求极值：ⅰ求导数
)(x f '；ⅱ求方程0)(='x f 的根；ⅲ检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)
在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值; ④利用导数最大值与最小值：ⅰ求0)(='x f 的根；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ把极值与区间端点函数值比较,最大的
为最大值,最小的是最小值。

如：（1）函数
5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15-）
；（2）已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，
那么b ＋c 有最__值__答：大，152
-）（3）方程010962
3=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1）
特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不
充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否
则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：
－7）
14．（理科）定积分
⑴定积分的定义：
)(lim )(1
i n
i b
a
n f n
a
b dx x f ξ∑
⎰
=∞
→-= ⑵定积分的性质：①
⎰⎰=b
a b
a
dx x f k dx x kf )()( （k 常数）
； ②⎰⎰⎰±=±b
a
b
a b a
dx x f dx x f dx x f
x f )()()]()([212
1
；
③
⎰⎰
⎰+=b
c
b a
c
a
dx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⎰
-==b
a b a a F b F x F dx x f )()(|)()(
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：dx x g x f S b
a
|)()(|⎰-=；
求变速直线运动的路程：⎰=b
a
dt t v S
)(；③求变力做功：⎰=b
a
dx x F W )(
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度
180=，180
1
π
=
弧度，1弧度 )180
(
π
='1857 ≈
⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2
1
212==θ。

如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22
cm ）
2．三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),
(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==
ααx
y
=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．” (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．
5．函数y=++⋅)sin(
ϕωx A b （0,0>>A ω）①五点法作图;②振幅?相位?初相? ③周期T=ω
π
2,频率? ④φ=k π时奇函数; φ=k π+2π时偶函数.⑤)sin(ϕω+=x A y 对称轴：ω
ϕ
π
π-+
=2
k x ；对称中心：))(0,(Z k k ∈-ω
ϕπ；
)cos(ϕω+=
x A y 对称轴：ωϕπ-=k x ；对称中心：))(0,2(Z k k ∈-+ω
ϕππ；总之，函数
)sin(ϕω+=x A y 在对称
轴处取得最值,在对称中心处值为0;余弦正切可类比. 如（1）函数
522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数3
1f (x )ax bsin x (a,b =++为常数）
，且
57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是
__________、____________（答：
128
k (
,)(k Z )ππ
-∈、
28
k x (k Z )ππ
=
+∈）；（4）已
知
f (x )s i x )c o s (x )θθ=++为偶函数，求θ的值。

（答：6
k (k Z )π
θπ=+
∈）
6．同角三角函数的基本关系：x x
x
x x tan cos sin ;
1cos sin 22
==+；
如：知11tan tan -=-αα，则
α
αα
αcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin
2
++ααα＝_________（答：35-
；5
13
）；
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±
②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
± 。

8．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；
②ααααα
2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α
αα2tan 1tan 22tan -=。

如：函数
25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212
[k ,k ](k Z )π
π
ππ-
+
∈）
9．正、余弦定理⑴正弦定理
R C c
B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB
C ∆外接圆直径） 注：①C B A c
b a sin :sin :sin ::=；②C R
c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③
C
B A c
b a C
c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=等三个；注：bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
等三个。

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。

方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等
10。

几个公式:⑴三角形面积公式：
))(2
1
(,))()((sin 2
1
21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=
---===
∆； ⑵内切圆半径r=c
b a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin C c
B b A a == ⑶巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβα
β=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等
如（1）已知2tan()5α
β+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：322
）；（2）已知,αβ为锐角，
sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43
(1)55
y x x =<<）
⑷辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b a
θ=)如：（1）当函数
23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：3
2
-)；（2）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇
函数，则tan ϕ=
(答：－2)；
11．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：
第四部分 数列
1．定义：
⑴等差数列 *),2(2(11n 1
n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛
Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；
⑵等比数列 N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2
n 1n n ∈≥⋅=⇔≠=⇔
++a a a q q a a a n
｛ )0k ,1q ,0q (kq k S n 0,(n ≠≠≠-=⇔=⇔的常数）均为不为q c cq a n n ；
⑶等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）
或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

等比数列的判断方法：定义法
1(n n a q q a +=为常数）
，其中0,0n q a ≠≠或11
n n n n a a a a +-=(2)n ≥。

⑷等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b A +=。

等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒：①等差（等比）数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d （q ）称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

②为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）；奇数个数成等比，可设为…，2,,,,a a a aq aq q q …
（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)
,,,aq aq q
a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，
且公比为2
q 。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

③等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q
=和1q ≠两种情形讨论求解。

不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,()a b a b ≠的等差中项
为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______ 2．等差数列的性质：
（1）当公差0d
≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前
n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. A
其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解； ②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥b 时，一解（一锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

（2）若公差0d
>，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
如 ①等差数列{}n a 中，12318,3,1n
n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ ；
②在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则（ ）
A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0
B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0
C 、12
5,S S S 都小于0，67
,S S 都大于0 D 、12
20,S S S 都小于0，2122
,S S 都大于0
(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k
、
p
是非零常数)、*
{}(,)
p nq a p q N
+∈、
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n
时，
S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中
，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶
S S
k k
=+。

如 ①在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______；
②项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.
（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为
n A 、n B ，且
()n n A f n B =，则21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. 如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3
41
3-+=n n T S n n ，那么=n n b a ___________；
(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所
有非正项之和。

法一：由不等式组⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨
⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*
n N ∈。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如①等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；
②若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n
是 ；
3.等比数列的性质：
（1）当m n
p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.
如①在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___；
②各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a ++
+= 。

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n
a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a
b 、成等比数列，则{}n n a b 、
{}n n
a
b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。

当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.
如①已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足
1lo g 1lo g a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++=，则
101102200x x x
++
+=
.；
②在等比数列}{n a 中，
n
S 为其前n 项和，若
140
,1330101030=+=S S S S ，则
20
S 的值为___
___；
(3)若1
0,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递
减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.
(4) 当1q ≠时，b aq q
a
q q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式
的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且3n
n S r =+，则r ＝。