山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年度第一学期阶段性检测
高三数学（理科）
2019.1 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合A和集合B，根据子集的定义和交并运算检验选项即可得到答案.
【详解】由得,
由得,
则=R,
故选：D.
【点睛】本题考查集合的包含关系以及集合的交并运算，属于基础题.
2.已知命题命题q:，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.
【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.
【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：
（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；
（3）：真假相反.
3.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是定义域上的增函数，
是定义域上的减函数，
是定义域上的减函数，
故选
4.在复平面内，复数满足，则对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标即可.
详解：由，
得，
，
则对应的点的坐标为，
位于第二象限，故选B.
点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的坐标表示法及其几何意义，是基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。

问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。

问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。

这个问题中，戊所得为（）
A. 钱
B. 钱
C. 钱
D. 钱
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意列出等差数列各项，再根据已知条件求得各项值，从而得到答案.
【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，
即a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，得a＝﹣6d，
又五人分五钱，则a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，
∴a＝1，则a+2d＝a+2×＝．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的通项和等差数列性质的应用，考查前n项和的应用，属于基础题.
6.若直线l:x+my+2-3m=0被圆C:截得的线段最短，则m的值为（）
A. -3
B.
C. -1
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
求出动直线过的定点M，当直线l与CM垂直时弦长最短，根据两直线垂直斜率乘积为﹣1，即可求出m．
【详解】动直线l: x+my+2-3m=0即x+2+(y-3)m=0过定点M（-2，3），
圆C的圆心为C（1，0），半径r=5，
∴M在圆C内部，
∴当直线l与线段MC垂直时，弦长最短，
∵k MC=-1，
∴最短弦AB所在直线的斜率为1，
∴，即m=-1
故选：C．
【点睛】本题考查过圆内定点得到的最短弦问题，理解圆的几何性质是关键；过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦为以该点为中点的弦.
7.为了得到的图像，只需把y=sinx图像上的所有的点（）
A. 向右平移个单位，同时横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
B. 向左平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
D. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先结合诱导公式,将两条曲线转化成同名的三角函数,然后结合左加右减上加下减原则以及周期,即可得出答案. 【详解】把y=sinx上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数的图像，再将得到的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像，
故选:C.
【点睛】本题考查的是三角函数的平移和伸缩变换，首先保证三角函数同名，不同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.
8.某几何体的三视图如图所示，俯视图由正三角形及其中心与三个顶点的连线组成，则该几何体外接球的表面积为（）
A. 16
B. 32
C. 36
D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体为正三棱锥，则外接球的球心在三棱锥的高线上，然后利用勾股定理求得球的半径，即可得到球的表面积.
【详解】由三视图可知该几何体为正三棱锥S-ABC，三棱锥的底面是边长为6的等边三角形且三棱锥的高为6，
设三棱锥外接球的球心为O，半径为r,且球心O在高线SD上，在中，OD=6-r,OC=r,CD= ,由勾股定理得，即
，解得r=4,所以外接球得表面积,
故选：D.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球
的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用
（a,b,c为三棱的长）；②若面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
9.在数列中，，则的值为（）
A. 20171008
B. 20171009
C. 20181008
D. 20181009
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件,利用累加法并结合等差数列的前n项和公式即可得到答案.
【详解】
,
,
将以上式子相加得++2，
即++2+1=，
故选：B.
【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n项和公式的应用.
10.若等边△ABC的边长为6，其所在平面内一点M满足3+2=6，则的值为（）
A. 8
B. 6
C. -4
D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知画出图形，把都用表示，展开后代入数量积公式求值．
【详解】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，且，
∴＝
＝＝
＝＝．
故选:A．
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量基本定理的应用，是中档题．
11.已知直线l过点A(-1,0)且与⊙B：相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线l：y＝k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d＝r，求得斜率k，即得到渐近线的斜率，从而得到双曲线的离心率.
【详解】可设直线l：y＝k（x+1），
⊙B：x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），半径为1，
由相切的条件可得，d＝＝1，解得k＝，
可得渐近线方程为y＝x，
直线l方程为y＝（x+1），联立x2+y2﹣2x＝0，解得x＝，y＝，
即D（，），
设双曲线的方程为y2x2＝m（m≠0），
又双曲线E过点D，
代入D的坐标，可得m．
则双曲线的方程为1．
则，，e=2,
故选：B
【点睛】本题考查直线和圆相切的条件，考查双曲线渐近线，属基础题.
12.已知函数有唯一零点，则a=
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
函数的零点满足，
设，则，
当时，；当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为.
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得.故选C.
【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.执行如图所示的程序框图，输出的值为_________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：k=1时，，
第二次运行：k=2时，
第三次运行：此时k=3满足，退出循环，输出
故答案为：.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
14.已知满足，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.
15.已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，若点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的焦点F到其准线的距离为__________________.
【答案】4
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点，可得p＝2c，再由焦点到渐近线的距离为1可得b值，结合，得到c，从而得到答案.
【详解】抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则，又，
点F到双曲线渐近线的距离为1，即，又，解得,即c=2,所以p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离p=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．16.已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数。

若关于x的方程上
在有解，则实数a的取值范围是______________.
【答案】(-∞,-]
【解析】
【分析】
先根据已知结合函数的奇偶性求出函数g（x）与f（x）的解析式，然后再代入到2a•g（x）+h（2x）=0中，分离参数a，将问题转化为函数的最值问题来解．
【详解】由已知得g（x）+h（x）＝2x…①，
所以g（﹣x）+h（﹣x）＝2﹣x，又因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，
所以﹣g（x）+h（x）＝2﹣x，…②．
①②联立解得，．
代入等式2a•g（x）+h（2x）=0得：
a（2x﹣2﹣x）+（22x+2﹣2x）=0在上有解．
令，则22x+2﹣2x＝t2+2．
则原式可化为，．
当t＝时，右式取得最大值为-，即有a-．
故答案为：(-∞,-]．
【点睛】本题考查函数奇偶性性质的应用以及方程有解问题转化为函数最值问题，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2) .
【解析】
试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出
的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
18.已知函数="4tan" xsin（）cos（）.
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f（x）在区间[]上单调性.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为.
.
所以,的最小正周期
（Ⅱ）令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所
求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．
19.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质
定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的
一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设
，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得，从而可求得底面积，体积．
试题解析：（1）证明：连，设，连，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
设．则．
设为平面的法向量，则
取．
又为平面的一个法向量，
∴，∴．
因为为的中点，所以三棱锥的高为，
∴．
考点：线面平行的判定，二面角．
20.（本小题满分12分）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.
试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为==.
考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
21.已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O 为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.
试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
22.已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】
【分析】
（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xe x﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即e x﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围.
【详解】（1）f'（x）＝xe x﹣ax＝x（e x﹣a）
当a≤0时，e x﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增；
当0＜a≤1时，令f'（x）＝0得x＝0或x＝lna．
（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
（ii）当a＝1时，lna＝0，f'（x）＝xe x﹣ax＝x（e x﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；
当a＝1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．
（2）由（I）知f'（x）＝xe x﹣ax
当x∈（0，+∞）时，y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；
即xe x﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；
即e x﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
记g（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），
∴g'（x）＝e x﹣2ax﹣1＝h（x）；∴h'（x）＝e x﹣2a；
（i）当时，h'（x）＝e x﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g'（x）＞g'（0）＝0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（0）＝0，符合题意；
（ii）当时，令h'（x）＝0得x＝ln（2a）；
∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；
∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）＝0；
∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，
∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意；
综上可得a的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等题型．。