高中数学 课时跟踪检测(七)映射与函数 新人教B版必修1

课时跟踪检测（七） 映射与函数
层级一 学业水平达标
1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中，是A 到B 的映射的有( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
解析：选A 根据映射定义知①②正确．③中A 的元素4在B 中无对应元素，所以该对应不是A 到B 的映射．④中A 的元素3在B 中有两个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射．
2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{y |0≤y ≤2}，按对应关系f 不能构成从M 到N 的映射的是( )
A ．f ：x →y ＝1
2x
B ．f ：x →y ＝1
3x
C ．f ：x →y ＝2
3
x
D ．f ：x →y ＝x
解析：选C 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝8
3∉N ，所以C 中的对应关系f 不能构成从M 到N
的映射．
3．下列对应法则中，能建立从集合A ＝{1,2,3,4,5}到集合B ＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )
A ．f ：x →x 2
－x B ．f ：x →x ＋(x －1)2
C ．f ：x →x 2＋1
D ．f ：x →x 2
－1
解析：选D 集合B 中的每个元素都可以写成x 2
－1的形式．
4．在映射f ：A →B 的作用下A 中的元素(x ，y )与B 中的元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中的元素是( )
A ．(－1,2)
B ．(0,3)
C ．(1,2)
D ．(－1,3)
解析：选C 由题意知⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －1＝0，3－y ＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝2，
所以与B 中元素(0, 1)对应的A 中
的元素是(1,2)．
5．有下列对应：①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－x
x ＋1
；
②A ＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B ＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的
体重}，f ：每个火炬手对应自己的体重；
③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x . 其中是A 到B 的映射的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B ①中，对于A 中元素－1，在f 下无意义，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中元素4，在B 中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
6．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与
A 中的元素(－1,2)对应的
B 中的元素为________．
解析：由题意知，与A 中元素(－1,2)对应的B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)． 答案：(－3,1)
7．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.
解析：由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝－10.
∴y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：10
8．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(kx ，
y ＋b )．若B 中的元素(6,2)在此映射下的原象是 (3, 1)，那么k ＝______，b ＝______.
解析：由题意⎩
⎪⎨
⎪⎧
3k ＝6，
b ＋1＝2，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝2，
b ＝1.
答案：2 1
9．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，
x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝
⎛⎭
⎪⎫32，5
4
的原象．
解：将x ＝2代入对应法则，得其象为(2＋1,3)． 令⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝32，x 2
＋1＝5
4
，得x ＝1
2
.
所以2的象是(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，54的原象是12. 10．已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4
，a 2
＋3a }，且a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，求a 及k 的值．
解：∵B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应， ∴A 中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10， 即a 4
＝10或a 2
＋3a ＝10.
∵a ∈N ，∴仅有a 2
＋3a ＝10，得a ＝2，a ＝－5(舍)． 则有k 的像是a 4
.∴3k ＋1＝24
，得k ＝5. 综上得，a ＝2，k ＝5.
层级二 应试能力达标
1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开平方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数
D ．A ＝R ，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x ，x ＜
；
解析：选A 在B 中，集合A 中的元素1在B 中有±1两个元素与之对应，∴B 不正确．C 中，集合A 中的元素0没有倒数，∴C 不正确．D 中，当x ≥0时，B 中无对应元素，D 不正确．
2．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x >0}，B ＝R ，且f ：x →x 2
－2x －1，则
A 中元素1＋2的象和
B 中元素－1的原象分别为( )
A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2
D ．0,0或 2
解析：选B x ＝1＋2时，x 2
－2x －1＝(1＋2)2
－2(1＋2)－1＝0. ∴1＋2的象为0.当x 2
－2x －1＝－1时， 得x ＝0或2. ∵x >0，∴x ＝2，即－1的原象是2.
3．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选A 注意到对应法则是f ：a →|a |，因此3和－3对应集合B 中的元素3；2和－2对应集合B 中的元素2；1和－1对应集合B 中的元素1；4对应集合B 中的元素4.所以B ＝{1,2,3,4}，有4个元素．
4．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )
①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x
，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2
，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N
＝R ，f ：x →y ＝
1|x |＋x
，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3
，x ∈M ，y ∈N .
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．②④
解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
5．定义f (x ，y )＝(y 2,
2y －x )，若f (m ，n )＝(1,2)，则(m ，n )＝________.
解析：由题知⎩
⎪⎨
⎪⎧
n 2
＝1，
2n －m ＝2，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
n ＝1，
m ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
n ＝－1，
m ＝－4.∴(m ，n )＝(0,1)或(－4，－
1)．
答案：(0,1)或(－4，－1)
6．设a ，b 为实数，集合M ＝
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
－1，b a ，1，N ＝{}a ，b ，b －a ，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.
解析：由f ：x →x ，知集合M 中的元素映射到集合N 中没有变化，且N 中只有3个元素，所以M ＝N .又因为M 中－1,1为相反数，所以a ，b ，b －a 这3个元素中有2个互为相反数，分情况讨论，知b ＝0，a ＝±1，所以a ＋b ＝±1.
答案：±1
7．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1，4x ＋2y －1)．
(1)是否存在这样的元素(a ，b )，它的象仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．
(2)判断这个映射是不是一一映射．
解：(1)假设存在元素(a ，b )，它的象仍是(a ，b )．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －2b ＋1＝a ，4a ＋3b －1＝b ，
得a ＝0，b ＝1
2
.
∴存在元素⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，它的象仍是自己． (2)对任意的(a ，b )(a ∈R ，b ∈R)，
方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －2y ＋1＝a ，4x ＋3y －1＝b ，
有唯一解．
这说明B 中任意元素(a ，b )在A 中有唯一的原象， 所以映射f ：A →B 是A 到B 的一一映射．
8．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求映射f ：
A→B的个数．
解：①当A中三个元素对应B中一个元素时，都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有1个；
都对应－1或1时，
∵(－1)＋(－1)≠－1,1＋1≠1，
∴这样的映射不合题意．
②当A中三个元素对应B中两个元素时，
∵1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1,0＋(－1)＝－1，
∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个．
③当A中的三个元素对应B中的三个元素时，
∵(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0，
∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有2个．
综上所述，满足题设条件的映射共有7个.。