[文理通用]2016年届高中三年级数学一轮复习8.9直线及圆锥曲线的位置关系精品试题

【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 8.9直线与圆锥曲线
的位置关系精品试题
(45分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )
A.-2
B.-
C.-4
D.-
【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F,取直线y=,则其与y=2x2交于
A,B,所以x1x2=·=-.
【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧
解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.
2.(2013·绍兴模拟)无论m为任何数,直线l:y=x+m与双曲线C:-=1(b>0)恒有公共点,则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(,+∞)
C.(,+∞)
D.(2,+∞)
【解析】选B.直线l:y=x+m的斜率等于1,过点(0,m),双曲线C:-=1(b>0)的两条渐近线的斜率分别为±,由题意得>1,即b2>2,故双曲线C的离心率e=>=,故选B.
【加固训练】
双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过F作l∥l2且l交双曲线C于R,交l1于M,若=λ,且λ∈,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A.(1,]
B.(,)
C.(,)
D.(,+∞)
【解析】选B.由题意得令l1:y=-x,l2:y=x,
l:y=(x-c),
由l交双曲线C于R,令
解此方程组得R,
故有=,
由l交l1于M,令
解此方程组得M,
故有=,
由=λ,
得=λ,
所以=-,
整理得a2=(1-λ)c2,即e2=,
又λ∈,
所以e2∈(2,3),即e∈(,).
3.已知椭圆+=1的焦点是F1,F2,如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2,则下面结论正确的是( )
A.P点有两个
B.P点有四个
C.P点不一定存在
D.P点一定不存在
【解析】选D.设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b=4,c=3.以F1F2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点,所以P点一定不存在.
4.(2013·衢州模拟)已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1(m>0)恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,5)
C.[1,5)∪(5,+∞)
D.[1,5)
【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m≥1,又因为椭圆
+=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).
【误区警示】本题易误选D,根本原因是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1≤m<5,而忽视其焦点可能在y轴上.
5.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等
于( )
A.3
B.4
C.3
D.4
【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题.
【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,
得AB的中点M.
又M在直线x+y=0上,可求出b=1,
则|AB|=·=3.
6.直线l:y=x+3与曲线-=1交点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.当x≥0时,曲线为-=1;当x<0时,曲线为+=1,直线l:y=x+3过(0,3),与双曲线
-=1(x≥0)有2个交点,显然l与半椭圆+=1(x<0)有1个交点,所以共3个交点.
7.(2013·衡水模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积等于1,则以a,b,m 为边长的三角形一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选B.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2,
所以e1=,e2=,
故e1·e2==1
⇒(m2-a2-b2)b2=0,
即a2+b2-m2=0,
所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.
8.(2014·杭州模拟)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,)
B.(,)
C.(,2)
D.(2,+∞)
【解析】选D.如图所示,过点F2(c,0)且与渐近线y=x平行的直线为y=(x-c).
与另一条渐近线y=-x联立
解得
即点M,
所以|OM|==.
因为点M在以线段F1F2为直径的圆外,
所以|OM|>c,
所以>c,解得>2,
所以双曲线离心率e==>2,
故双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).
【加固训练】
已知双曲线左、右焦点分别为F1,F2,点P为其右支上一点,∠F1PF2=60°,且=2,若|PF1|,|F1F2|2,|PF2|成等差数列,则该双曲线的离心率
为( )
A. B.2 C.2 D.
【解析】选A.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因此有m-n=2a,
|F1F2|=2c,
=·m·n·=2,m·n=8.
又m+n=×4c2=2c2⇒(m+n)2=4c4.①
由余弦定理cos∠F1PF2
=
==⇒m2+n2=8+4c2
⇒(m+n)2=4c2+24.②
①②两式联立解得c2=3⇒c=,
所以⇒
⇒2a=2,a=1,e==.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2014·湖州模拟)设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则||+||= .
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=2,且=4y1,=4y2,两式相减整理得,==,所以直线AB的方程为x-2y+7=0.将x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由抛物线定义得
||+||=y1+y2+2=10.
答案:10
10.已知两定点M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=2,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:①y=x+1;②y=x+2;③y=-x+3;④y=-2x.其中是“A型直线”的序号是.
【解析】由条件知考虑给出直线与双曲线x2-=1右支的交点情况,作图易知①③直线与双曲线右支有交点,故填①③.
答案:①③
11.(2014·无锡模拟)若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是.
【解析】由题意知:>2,即<2,所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.
答案:2
12.(2013·浙江高考)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.
【解析】设直线l:my=x+1,代入y2=4x得y2-4my+4=0,则y A+y B=4m.因为Q为线段AB的中点,则y Q==2m,x Q=my Q-1=2m2-1,
故Q(2m2-1,2m),又|FQ|2=4,
所以(2m2-2)2+(2m)2=4⇒m4-m2=0,
所以m=±1.
答案:±1
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2013·厦门模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a2与b2的等差中项为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.
【解析】(1)由题意得
解得:即椭圆E的方程为+=1.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
因线段AB的垂直平分线与x轴相交,
故AB不平行于y轴,即x1≠x2.
又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,
即(x1-t)2+=(x2-t)2+,
所以t=+①
因为A,B在椭圆上,
所以=4-,=4-.
将上式代入①,得t=.
又因为-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,
所以-6<x1+x2<6,则-<t<,
即实数t的取值范围是.
【一题多解】(1)同原题.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2. (ⅰ)若y1=y2,则线段AB的垂直平分线方程为x=0,即t=0.
(ⅱ)若y1≠y2,则线段AB的垂直平分线方程为
y-=-.
因为P(t,0)在直线上,
所以t=+, ①
因为A,B在椭圆上,
所以=4-,=4-.
将上式代入①,得t=.
又因为-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,
所以-6<x1+x2<6,则-<t<.
综合(ⅰ)(ⅱ)得实数t的取值范围是.
14.(2013·安徽高考)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.
(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程.
(2)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q,证明:当a变化时,点P在某定直线上.
【解析】(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=,从而椭圆E的方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直
线F2P的斜率=,故直线F2P的方程为y=(x-c),当x=0时,y=,即点Q的坐标为
,因此直线F1Q的斜率=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1,化简得
=-(2a2-1) ①,
将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.
15.(能力挑战题)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0),
从而有
解得
又a2=b2+c2,
所以b2=12.
故椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=x+t(t≠0).
由得3x2+3tx+t2-12=0.
因为直线l与椭圆C有公共点,
所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0.
解得-4≤t≤4.
另一方面,由直线OA与l的距离d=4可得=4, 从而t=±2.
由于±2∉[-4,4],
所以符合题意的直线l不存在.
【一题多解】本题(1)问还可以用如下方法解答: 依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则有解得b2=12或b2=-3(舍去).
从而a2=16.
所以椭圆C的方程为+=1.。