(word完整版)3最值系列之瓜豆原理

最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一-—求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路．
一、轨迹之圆篇
引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?
考虑到Q点始终为AP中点,连接AO，取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ：AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得:A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
引例2：如图，P是圆O上一个动点,A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
Q
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
Q
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点"，点Q为“从动点"．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）．
【结论】（1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM;
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO：AM,也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【思考1】:如图，P是圆O上一个动点，A为定点,连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是?
【分析】
Q点满足（1)∠PAQ=60°；(2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆:
考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？
【分析】Q
点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP：AQ：1,故Q
点轨迹是个圆．
连接AO，构造∠OAM=45°且AO：AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．
【练习】如图，点P（3,4),圆P半径为2，A（2。

8,0），B（5。

6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点,则AC的最小值是_______．
【分析】M点为主动点,C点为从动点,B点为定点．考虑C是BM中点,可知C点轨迹：取BP中点O,以O为圆心,OC为半径作圆，即为点C轨迹．
当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时,AC取到最小值,根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA,再减去OC即可．
【2016武汉中考】如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中
点，当半圆从点A 运动至点B 时,点M 运动的路径长为________．
【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：
取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．
当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半,即可解决问题．
【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中,AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点,OE =2，连接DE ,将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．
O
A
B
C
D
E F
【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心,2为半径的圆．
F
考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM,与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．
【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．
A
B C
D
E O
【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段,由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．
根据AC =2,可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．
O
E
D
C
B
A
接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心,2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆,以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．
连接AM 并延长与圆M 交点即为所求的点O ，此时AO 最大，根据AB 先求AM ，再根据BC 与BO 的比值
可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．
此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转,当A、C、A’共线时,可得
AO最大值．
A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．
二、轨迹之线段篇
引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q 点轨迹？
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
Q2
A
B C
Q1
【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN,可得AP：AQ=BC：MN）
【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD,
以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F
运动的路径长
是________．
A
【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A
点路径长为8，
故此题答案为8．
【2013湖州中考】如图,已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A 点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
【分析】根据∠PAB =90°，∠APB =30°可得:AP ：AB
，故B 点轨迹也是线段，且P 点轨迹路径长与B
，P 点轨迹长ON
为B
点轨迹长为
【练习】如图，在平面直角坐标系中，A (-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点,点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．
【分析】求OP 最小值需先作出P B 点在直线上运动,故可知P 点轨迹也是直线．
取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．
根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =3
2
．
【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点,且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接
EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ,连接CG ，则CG 的最小值为 ．
G
A
B
C
D
E
F
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长,本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动,由此作出G 点轨迹:
考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．
G 2
CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．
根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°,故12G G ⊥1EG ． 过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1
322
CE ， 所以CH =52，因此CG 的最小值为52
．
G2
三、轨迹之其他图形篇
所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．
【2016乐山中考】如图，在反比例函数2
=-的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一
y
x
支于点B,在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时,点C始终在函数k
=的图像上运动，
y
x
若tan∠CAB
=2，则k的值为（ )
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】∠AOC=90°且AO：OC=1：2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM,故k=4×2=8．
【思考】若将条件“tan∠CAB=2"改为“△ABC是等边三角形”,k会是多少？
【练习】如图，A（—1，1），B（—1,4)，C（—5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在△ABC边上运动一周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．
【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得:Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ
，
可得P点轨迹图形与Q
，故面积比为2：1，△ABC面积为1/2×3×4=6,
故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．
【练习】如图所示，AB =4,AC =2,以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．
A
B
C
D
P
【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心,2为半径的圆,以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M
考虑到AP =2AD ,故P 点轨迹是以N 为圆心,,即可求出PB 的取值范围．。