2019-2020学年吉林省白城一中高一(上)期中数学试卷(PDF版,含解析)

2019-2020学年吉林省白城一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|14}A x x =< ，{|0}}B x x =<，则下列结论正确的是()
A ．A B
⊆B ．(){|0}}R B A x x = ðC ．{}
()|1R A B x x = ðD ．{|14}
A B x x =<< 2．已知扇形的周长是3cm ，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为()A ．1sin1
2
B ．2
12
cm C ．2
1cm D ．2
2cm 3．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于()
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数2()2log 3x f x x =+-的零点所在区间()
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
5．下列函数中既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的函数是()
A ．()22x x
f x -=-B ．()22x x
f x -=+C ．2()lo
g ||
f x x =D ．4
()f x x -=6．关于x 的一元二次方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则a 的取值范围为(
)
A ．0a <
B ．0a >
C ．1a <-
D ．1a >7．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系()
A ．a b c
<<B ．a c b
<<C ．b a c
<<D ．b c a
<<8．若函数20.3()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上单调递减，且2log 0.1b =，0.22c =，则(
)
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c
<<9．若实数x ，y 满足1
|1|0x ln
y
--=，则y 关于x 的函数的图象大致是()
A ．
B ．
C
．D
．
10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0x ∈，)+∞时，()22x f x =-，则不等式
2(log )0f x >的解集为()
A ．1
(0,)(2,)
2
+∞ B ．1
(,1)(2,)
2+∞ C ．(2,)
+∞D ．1(,1)
2
11．已知()f x 是定义在[2-，2]上的奇函数，当(0x ∈，2]时，()21x f x =-，函数
2()2g x x x m =-+，如果对于任意1[2x ∈-，2]，存在2[2x ∈-，2]，使得21()()g x f x =，
则实数m 的取值范围是()
A ．(,2)
-∞-B ．(5,2)--C ．[5-，2]-D ．(-∞，2]
-12．已知函数2
2122,0
()2||,0
x x x f x log x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩ ，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，
2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2
1234
4
x x x x x ++的取值范围是()A ．(3,)-+∞B ．(,3)-∞C ．[3-，3)D ．(3-，3]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数()8log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点
．
14．已知函数2()21f x x ax =-+，若对任意的(0x ∈，2]，恒有()0f x ，则实数a 的取值范围
．
15
．若sin cos αα+=，则1
tan tan αα
+
的值为．
16．已知函数211
()21
x x e f x x e -=-+，若(4)()84f m f m m --- ，则实数m 的取值范围为
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知幂函数()a f x x =
的图象经过点．（1）求幂函数()f x 的解析式；
（2）试求满足(1)(3)f a f a +>-的实数a 的取值范围．
18．已知角θ的终边在射线2y x =上．（1）求tan θ的值；（2）求
2cos 3sin sin cos 3cos sin θθ
θθθθ
++-的值．
19．设函数2()1f x x ax =++．
（1）已知函数2()log ()g x f x =的定义域为R ，求实数a 的取值范围．
（2）已知方程()0f x =有两个实数根1x ，2x ，且1x ，2(0,2)x ∈，求实数a 的取值范围．
20．（1）设6a lg =，20b lg =，用a ，b 表示2log 3；
（2）已知常数0a >，函数2()2x x f x ax
=+的图象经过点6(,)5P p ，1(,)5Q q -．若236p q pq +=，
求a 的值．
21．已知函数2(43)y lg x x =+-+-的定义域为M ，（1）求M ；
（2）当x M ∈时，求函数2()234(3)x x f x a a +=+<- 的最小值．
22．已知函数2()log (41)x f x mx =++．（Ⅰ）若()f x 是偶函数，求实数m 的值；
（Ⅱ）当0m >时，关于x 的方程242
14
(8(log )2log 4)1f x x m
++-=在区间[1，上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．
2019-2020学年吉林省白城一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|14}A x x =< ，{|0}}B x x =<，则下列结论正确的是()
A ．A B
⊆B ．(){|0}}R B A x x = ðC ．{}
()|1R A B x x = ðD ．{|14}
A B x x =<< 【解答】解：{|14}A x x =< ，{|0}B x x =<，
A ∴不是
B 的子集，{|0}R B x x = ð，(){|0}R B A x x = ð，(){|0}R A B x x =< ð，{|0A B x x =< 或14}x < ．
故选：B ．
2．已知扇形的周长是3cm ，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为()
A ．1sin1
2
B ．2
12
cm C ．21cm D ．2
2cm 【解答】解：由题意可得：33r =，解得1r =．∴该扇形的面积211
1sin1sin122
=
⨯⨯=．故选：A ．
3．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于()
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：sin 0α> ，则角α的终边位于一二象限， 由tan 0α<，
∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．
故选：B ．
4．函数2()2log 3x f x x =+-的零点所在区间()
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
【解答】解：f （1）22log 1310=+-=-<，f （2）222log 235320=+-=-=>，
根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为(1,2)故选：B ．
5．下列函数中既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的函数是()
A ．()22x x
f x -=-B ．()22x x
f x -=+C ．2()lo
g ||
f x x =D ．4
()f x x -=【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，()22x x f x -=-，则()22()x x f x f x --=-=-，函数()f x 为奇函数，不符合题意，对于B ，()22x x f x -=+，则()22()x x f x f x --=+=，函数()f x 为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意；
对于C ，2()log ||f x x =，有22()log ||log ||()f x x x f x -=-==，函数()f x 为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意；对于D ，44
1
()f x x x -==，则()f x 既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故选：D ．
6．关于x 的一元二次方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则a 的取值范围为(
)
A ．0a <
B ．0a >
C ．1a <-
D ．1
a >【解答】解：一元二次方程2210ax x ++=，(0)a ≠有一个正根和一个负根，对应的函数2()21f x ax x =++的零点有2个，一个正和一个负；函数经过点(0,1)，所以二次函数开口向下．所以0a <．故选：A ．
7．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系()
A ．a b c
<<B ．a c b
<<C ．b a c
<<D ．b c a
<<【解答】解：函数0.6x y =为减函数；故0.6 1.50.60.6a b =>=，
函数0.6y x =在(0,)+∞上为增函数；故0.60.60.6 1.5a c =<=，故b a c <<，
8．若函数20.3()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上单调递减，且2log 0.1b =，0.22c =，则(
)
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c
<<【解答】解：由2540x x +->，得15x -<<，又函数254t x x =+-的对称轴方程为2x =，
∴复合函数20.3()log (54)f x x x =+-的减区间为(1,2)-，
函数20.3()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上递减，∴11
12a a --⎧⎨
+⎩
，则01a ．而2log 0.10b =<，0.221c =>，b a c ∴<<．
故选：D ．
9．若实数x ，y 满足1
|1|0x ln
y
--=，则y 关于x 的函数的图象大致是()
A ．
B ．
C
．
D
．
【解答】解：1
|1|0x ln y
--= ，|1|
1
()(x f x e
-∴=其定义域为R ，当1x 时，11()(x f x e -=，因为1
01e
<<，故在[1，)+∞上为减函数，
又因为()f x 的图象关于1x =轴对称，对照选项，只有B 正确．
10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0x ∈，)+∞时，()22x f x =-，则不等式
2(log )0f x >的解集为()
A ．1
(0,)(2,)
2
+∞ B ．1
(,1)(2,)
2+∞ C ．(2,)
+∞D ．1(,1)
2
【解答】解：当[0x ∈，)+∞时，()22x f x =-，f ∴（1）0=，
又 当[0x ∈，)+∞时，()f x 为增函数，又是定义在R 上的偶函数，故()0f x >时，1x >，或1x <-，
故2(log )0f x >时，2log 1x >，或2log 1x <-，解得：(0x ∈，1
(22
⋃，)+∞，
故选：A ．
11．已知()f x 是定义在[2-，2]上的奇函数，当(0x ∈，2]时，()21x f x =-，函数
2()2g x x x m =-+，如果对于任意1[2x ∈-，2]，存在2[2x ∈-，2]，使得21()()g x f x =，
则实数m 的取值范围是()
A ．(,2)
-∞-B ．(5,2)--C ．[5-，2]-D ．(-∞，2]
-【解答】解：()f x 是定义在[2-，2]上的奇函数，(0)0f ∴=，当(0x ∈，2]时，()21(0x f x =-∈，3]，则当[2x ∈-，2]时，()[3f x ∈-，3]，
若对于1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使得21()()g x f x =，则等价为()3max g x 且()3min g x - ，
22()2(1)1g x x x m x m =-+=-+- ，[2x ∈-，2]，
()(2)8max g x g m ∴=-=+，()min g x g =（1）1m =-，
则满足83m + 且13m -- ，解得5m - 且2m - ，
故52m -- ，故选：C ．
12．已知函数2
2122,0
()2||,0
x x x f x log x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩ ，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，
2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2
1234
4
x x x x x ++的取值范围是()A ．(3,)-+∞B ．(,3)-∞C ．[3-，3)D ．(3-，3]
【解答】解：作出函数()f x 的图象，由图可知，124x x +=-，341x x =；当2|log |2x =时，4x =或14
x =
，则414x < ，
故2
1234444
4
x x x x x x x ++
=-，其在414x < 上是增函数，故44
4
4114x x -+<--+ ；即44
4
33x x -<-
；即2
12
344
x x x x x ++
的取值范围是(3-，3]，故选：D
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数()8log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点
(2,8)
．
【解答】解：对于函数()8log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠，令231x -=，求得2x =，8y =，可得它的的图象恒过(2,8)，故答案为：(2,8)．
14．已知函数2()21f x x ax =-+，若对任意的(0x ∈，2]，恒有()0f x ，则实数a 的取值范围
{|1}
a a ．
【解答】解：2()21f x x ax =-+，对任意的(0x ∈，2]，恒有()0f x ，2210x ax ∴-+ ，对任意的(0x ∈，2]恒成立，1
2a x x
∴+
对任意的(0x ∈，2]恒成立，由基本不等式可得，1
2x x
+ ，当且仅当1x =时取等号，
则22a 即1a 故答案为：{|1}
a a 15．若sin cos αα+=，则1
tan
tan αα
+
的值为2．
【解答】解：将sin cos αα+=，两边平方得：2(sin cos )12sin cos 2αααα+=+=，即1sin cos 2
αα=
，则原式22sin cos 1
2cos sin sin cos sin cos sin cos αααααααααα
+=
+===．故答案为：2
16．已知函数211
()21
x x e f x x e -=-+，若(4)()84f m f m m --- ，则实数m 的取值范围为
[2，
)
+∞．
【解答】解：211
()21x x e f x x e -=-+ ，
211
()21x x e f x x e -∴-=-+，
设211
()()21
x x e g x f x x e -=-=-+，
则111()()111x x x x
x x e e e g x g x e e e ------=-=-==-+++，即()g x 是奇函数，1122
()1111x x x x x e e g x e e e -+-=-=-=-++++，则()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，
21
()()
2
f x x
g x =+
(4)()84f m f m m ∴--- ，
等价为2211
(4)(4)()8422
m g m g m m m -+---- ，
即(4)()8484g m g m m m --+-- ，即(4)()0g m g m -- ，即(4)()
g m g m - ()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，
4m m ∴- ，即2m ，
即实数m 的取值范围是[2，)+∞，故答案为：[2，)
+∞三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数()a f x x =
的图象经过点．（1）求幂函数()f x 的解析式；
（2）试求满足(1)(3)f a f a +>-的实数a 的取值范围．【解答】解：（1）幂函数()a f x x =
的图象经过点
，2a ∴=，
解得12
a =
，∴
幂函数12
()0)f x x x == ；
（2）由（1）知()f x 在定义域[0，)+∞上单调递增，则不等式(1)(3)f a f a +>-可化为1030
13a a a a +⎧⎪
-⎨⎪+>-⎩
，解得13a < ，
∴实数a 的取值范围是(1，3]．
18．已知角θ的终边在射线2y x =上．（1）求tan θ的值；（2）求
2cos 3sin sin cos 3cos sin θθ
θθθθ
++-的值．
【解答】解：（1）在射线2y x =上任取一点(1,2)，可得2tan 21
θ==；在射线2y x =上任取一点(1,2)--，可得2tan 21θ-=
=-，综上，tan θ的值为2．
（2）2222cos 3sin 23tan sin cos 23tan tan 242sin cos 83cos sin 3tan 3tan 155
sin cos tan θθθθθθθθθθθθθθθθ++++=+=+=+=--+-+．19．设函数2()1f x x ax =++．
（1）已知函数2()log ()g x f x =的定义域为R ，求实数a 的取值范围．
（2）已知方程()0f x =有两个实数根1x ，2x ，且1x ，2(0,2)x ∈，求实数a 的取值范围．
【解答】解（1）因为2()log ()g x f x =的定义域为R ，()0f x ∴>的解集为R ，即210x ax ++>对任意实数x 恒成立，
△240a =-<，解得22a -<<，
所以实数a 的取值范围是(2,2)
-（2）根据二次方程实根分布得：0(0,2)2(0)0(2)0
a f f >⎧⎪⎪-∈⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ ，解得：522a -<<-所以实数a 的取值范围是5(2
-，2)-20．（1）设6a lg =，20b lg =，用a ，b 表示2log 3；
（2）已知常数0a >，函数2()2x x f x ax
=+的图象经过点6(,)5P p ，1(,)5Q q -．若236p q pq +=，求a 的值
【解答】解：（1）23a lg lg =+，12b lg =+，所以21lg b =-，321lg a lg a b =-=-+，231321
lg a b log lg b -+==-．（2）由题意
5162p ap =+，得26p ap =-，512q aq -=+，得126q aq =-，所以2126()366
p q ap aq a pq pq +=--== ，所以236a =，0a >，
所以6a =．
21
．已知函数2(43)y lg x x =
+-+-的定义域为M ，（1）求M ；（2）当x M ∈时，求函数2()234(3)x x f x a a +=+<- 的最小值．
【解答】解：（1）由题意，2202430
x x x x -⎧⎪+⎨⎪-+->⎩ ，解得12x ，(1M ∴=，2]；
（2）令2((2,4])x t t =∈，2
2
224()()433()33a a f x g t at t t ==-+=+-163a ︒-<<-，即2243a <-<时，224()()33
min a a g t g =-=-；26a ︒- ，即243
a - 时，()min g t g =（4）4816a =+24816,6()4,633
min a a f x a a +-⎧⎪∴=⎨--<<-⎪⎩ ．22．已知函数2()log (41)x f x mx =++．
（Ⅰ）若()f x 是偶函数，求实数m 的值；（Ⅱ）当0m >时，关于x 的方程24214(8(log )2log 4)1f x x m ++-=在区间[1
，上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）若()f x 是偶函数，则有()()f x f x -=恒成立，即：22log (41)log (41)x x mx mx -+-=++．于是2222412log (41)log (41)log (log (41)24x x x
x x mx x -+=+-+=-+=-，即是22mx x =-对x R ∈恒成立，
故1m =-．
（Ⅱ）当0m >时，2log (41)x y =+，在R 上单增，y mx =在R 上也单增所以2()log (41)x f x mx =++在R 上单增，且(0)1f =，则24214(8(log )2log 4)1f x x m ++-=可化为24214(8(log )2log 4)(0)f x f x m
++-=，又()f x 单增，得242
148(log )2log 40x x m ++-=，换底得222248()2log 404log x x log m
-+-=，
即22242(log )2log 40x x m
-+-=，令2log t x =，则[0t ∈，32，问题转换化为242240t t m -+-=在[0t ∈，3]2，有两解，即24224t t m
=-++，令2224y t t =-++，则22192242()22
y t t t =-++=--+，∴当12t =时，函数取得最大值92，当0t =时，函数4y =，当32t =时，函数取得最小值52
，
若方程242
14(8(log )2log 4)1f x x m ++-=在区间[1，上恰有两个不同的实数解，则等价为4942m <
，解得819
m < ，故求m 的范围为
819m < ．。