2021年四川省广安市邻水县袁市中学高二数学文联考试题含解析

2021年四川省广安市邻水县袁市中学高二数学文联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 椭圆上两点间最大距离是8，那么=（）
A．32 B．16 C．8 D．4
参考答案：
B
2. 数列的通项公式是，若其前项的和为，则项数为（）A．12 B．11 C．10 D．9
参考答案：
C
3. 空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2
参考答案：
C
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，
所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．
故选C．
4. 若集合，（）。

A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
5. 函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】3O：函数的图象．
【分析】根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可．
【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，
当x＞0时，函数单调递增，
所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．
故选C．
6. 若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2 C.
D．a|c|>b|c|
参考答案：
C
略
7. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时的假设为（）A．三个内角中至多有一个不大于60°B．三个内角中至少有两个不大于60°
C. 三个内角都不大于60°D．三个内角都大于60°
参考答案：
D
由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60°”，故选D.
8. 在矩形中，，为的中点. 若，则的长为
A． B． C． D．参考答案：
B
9. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，-2，-3），（0，1，0），
（0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（）
A． 1 B． C．
D．
参考答案：
D
略
10. 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()
A．α>β>γ B．β>α>γ C．γ>α>β D．β>γ>α
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过直线：上一点作圆：的切线，若关于
直线对称，则点到圆心的距离为_ ．
参考答案：
略
12. 已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 .
参考答案：
13. 按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1：
表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：
表2：
从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为_____________.
参考答案：
【分析】
在2018年人口最多的前10大姓氏中找出位于《百家姓》的前24位的姓氏，并确定这些姓氏的数目，再利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率。

【详解】2018年中国人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是赵、李、
周、吴、王、陈、杨、张，共8个，故所求概率为，故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题关键就是要确定所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于基础题。

14. 已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．参考答案：
相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】先根据圆的方程得出圆的圆心坐标和半径，求出圆心距和半径之和等，再根据数量关系来判断两圆的位置关系即可．
【解答】解：根据题意，得
⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，
R+r=4，R﹣r=2，
则4＜5，
即R+r＜O1O2，
∴两圆相离．
故答案为：相离．
15. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共有种
参考答案：
24
16. 已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F与AM的交点在y轴上；
⑤AB′与A′B交于原点．
其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）
参考答案：
①②③④⑤
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'F=AF，B'F=BF，从而由相等的角，由此可判断A'F⊥B'F；
②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=，从而AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA'为矩形，则可得结论；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可得结论．
【解答】解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A=AF，B'B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；
②取AB中点C，则CM=，∴AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点
故答案为①②③④⑤．
17. 若命题“?x∈R,使x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．
参考答案：
[－1,3]
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 有一副扑克牌中（除去大小王）52张中随机抽一张，求
（1）抽到的是红桃K的概率（2）抽到的是黑桃的概率
（3）抽到的数字至少大于10的概率（A看成1）
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】求出基本事件数与总数的比值即可得出结论．
【解答】解：（2）∵一副除去大小王的52张扑克牌中红桃K共有1张，
∴随机抽取一张，这张牌为红桃K的概率=．
（2）∵一副除去大小王的52张扑克牌中黑桃共有13张，
∴随机抽取一张，这张牌为黑桃的概率是=．
（3）∵一副除去大小王的52张扑克牌中抽到的数字至少大于10的共12张，
∴随机抽取一张，抽到的数字至少大于10的概率==．
19. 过点P（,0）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M，N．
（1）写出直线的一个参数方程；
（2）求|PM|?|PN|的最小值及相应的α值．
参考答案：
解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．
（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得
+=0，
∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得
，
∵α∈
∴C上的点到l距离的最大值为，最小值为．
考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用已知可得：直线的一个参数方程为（t为参数）．（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得
+=0，由于直线与椭圆相交两点，可得△＞0，得出
sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|?|PN|=|t1t2|=即可．
解答：解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．
（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得
+=0，
∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得
，
∵α∈
∴C上的点到l距离的最大值为，最小值为．
点评：本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查点到直线距离的最值的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos2α+sin2α=1的合理运用
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线
与线段、分别交于点、.
(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.
①求证:圆心在定直线上；
②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理
由.
参考答案：
(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以
b=3……………3分
而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分(Ⅱ)①解法一:易得直线,
所以可得,再由∥,得……………8分
则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,
由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分
经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分
解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分
设的外接圆的方程为,
则,解得…10分
所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…11分②由①可得圆C的方程为………13分
该方程可整理为,
则由,解得或,
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分
21. 已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证:中至少有一个小于2。

参考答案：
22. （本小题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的最大值.
参考答案：
解：（Ⅰ）由条件得，，……………2分其定义域是关于原点对称，…………………………………3分又，故是奇函数. ……6分（Ⅱ）法1：由得，，（）
当时，，，,
（）式化为，……………………………………………………9分而，………………………………11分
又，所以，，，，
因此恒成立等价于，故实数的最大值为1. ……………14分法2：由得，，（）
当时，，,
（）式化为，（）…………………………………9分设，，则（）式化为，…………11分
再设，则恒成立等价于，
，，解得，故实数的最大值为1.………14分。