南安一中2015～2016学年度高一下学期期中考数学(答案)

南安一中2015～2016学年度高一下学期期中考数学科答案
一、选择题：（5×12=60）
二、填空题：（4×4=16）
13． 4 ； 14．10； 15． 1 ； 16． 8 ； 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设两个非零向量1e 和2e 不共线.
（Ⅰ）如果=1e +2e ，=128e +2e ，=133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线； （Ⅱ）若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由. 解: （Ⅰ）
.
.,55521三点共线C B A AB
e e CD BC BD ∴=+=+= …………………6分
（Ⅱ）6
69
60cos 6)1(4)-()(2121=∴=-=-⋅⋅-+=⋅+︒m m m m e e e e m ……12分
18．（本小题满分12分）（Ⅰ）已知角α终边上一点P (－4,3)，求c o s (
)s in ()2119c o s ()s in ()22
π
απα
ππαα
+---+的值． （Ⅱ）已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，求
4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+的值.
解：（Ⅰ）∵3tan 4
y x α=
=-， ∴cos()sin()
sin sin 2tan 119sin cos cos()sin()
22
π
απααααππαααα+---==--+＝－34 ……………6分 （Ⅱ）∵a
b , ∴3cos α－sin α＝0，∴tan α＝3.
4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－2
5＋3tan α
.把tan α＝3代入上式得：
4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝5
7
.……………12分
19．（本小题满分12分）已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+
-．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 的定义域为[,]64
ππ
-,求单调递减区间和值域．
解：（Ⅰ）
()4cos sin()14cos (sin cos cos sin )1666f x x x x x x πππ
=+-=+-
21
4cos cos )1cos 2cos 12
x x x x x x =+-=+-
2cos 22sin(2)6
x x x π
=+=+……………4分
所以()f x 的最小正周期为π．……………6分 （Ⅱ）①令32222
6
2k x k π
π
πππ+
≤+
≤+
，则263
k x k ππππ+≤≤+，当0k =时有 263
x π
π
≤≤
，又[,]64x ππ∈-
，()f x ∴函数的单调递减区间为[,]64
ππ
；……………9分
②由64x ππ-≤≤得22663x πππ-≤+≤，于是
当26
2
x π
π
+=
，即6
x π
=
，()f x 取的最大值为2；
当26
6
x π
π
+
=-
，即6
x π
=-
，()f x 取的最小值为1-．
()[1,2]f x ∴-函数的值域为…………………………………12分
20. （本小题满分12分）已知sin cos αα+=
，4πα∈（0，），3sin -=45πβ（），42
ππ
β∈（，）． （Ⅰ）求sin 2α和tan 2α的值； （Ⅱ）求cos(2)αβ+的值．
解：（Ⅰ）由题意得(sin α＋cos α)2＝9
5，
即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝4
5.…………………2分
又2α∈(0，π
2
)，∴cos2α＝
1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝4
3
.……………4分
（Ⅱ）∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝4
5
，
于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425
.
又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－24
25.……………6分
又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝7
25
.………………………8分
又cos 2
α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15
(α∈(0，π
4))．……10分
∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×(－2425)－55×725＝－115
25.……12分
21．（本小题满分12分）已知函数()sin(),(0,0)2
f x A x π
ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示．
(Ⅰ)求()f x 的解析式；
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐
标缩短为原来的
12倍，再将所得函数图象向右平移6
π
个 单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间；
(Ⅲ)当5[,
]212x ππ
∈-
时，求函数()()123
y f x x ππ
=+
+的最值．
解：(Ⅰ)由图得：34T ＝116π－π3＝96π＝32π，∴T ＝2π，∴ω＝2π
T
＝1.
又f (116π)＝0，得：A sin(116π＋φ)＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－11
6π，
∵0<φ<π2，∴当k ＝1时，φ＝π6
.
又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4，∴f (x )＝4sin(x ＋π
6)．…………4分
(Ⅱ)将f (x )＝4sin(x ＋
π6)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2
倍，纵坐标不变得到y ＝4sin(2x ＋π6)，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin[2(x －π6)＋π6]＝4sin(2x －π
6
)，
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )，
∴g (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π
3
](k ∈Z )．…………8分
(Ⅲ)y ＝f (x ＋π12)－2f (x ＋π3)＝4sin[(x ＋π12)＋π6]－2×4sin[(x ＋π3)＋π
6]
＝4sin(x ＋π4)－42sin(x ＋π2)＝4(sin x ·cos π4＋cos x ·sin π
4)－42cos x
＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin(x －π
4)．
∵x ∈[－π2，512π]，x －π4∈[－34π，π6]，∴sin(x －π4)∈[－1，1
2]，
∴函数的最小值为－4，最大值为2. …………12分 22．（本小题满分14分）
已知向量⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a ，且,2,0⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈πx 求:
（Ⅰ）b a ⋅及b a
+；
（Ⅱ）若()b a b a x f +-⋅=λ2,（λ为常数）的最小值是2
3
-，求实数λ的值．
解：（Ⅰ）x x
x x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos =⋅-⋅=⋅ …………2分
22)2
sin 23(sin )2cos 23(cos
||x
x x x b a -++=+x x 2cos 22cos 22=+=……4分 x x x cos 2||,0cos ],2
,
0[=+∴>∴∈π
…………6分
（Ⅱ）x x x f cos 42cos )(λ-=2
2
21)(cos 2λλ---=x …………8分 .1cos 0],2
,0[≤≤∴∈x x π
①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；…10分 ②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值2
21λ--，由已知得:
2
1
,23212=-=--λλ解得；…………12分
③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得2
341-=-λ
解得85=λ，这与1>λ相矛盾……13分 综上所述，2
1
=λ为所求.……14分。