第一章 引力场论xiu
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• 在直角坐标系中，场强度沿坐标轴的三分量应为
Fx
U x
, Fy
U y
, Fz
U z
.
• 根据梯度定义
gradU U i U j U k U x y z
•我们有
F gradU U
• 引力场中任一点的场强F等于该点的势的梯度
5、等势面
凡势之值相等的各点所构成的曲面称为等势面。
B
A
B
UB U A
F dl
F dl
F dl
A
当B无限靠近A时，此增量可写成一微分
dU F dl Fldl
dU F dl Fldl
• 根据全微分定义
dU U dx U dy U dz
x
y
z
F dl (Fx i Fy j Fz k) (dxi dy j dzk) Fxdx Fydy Fzdz
1 2U 4k
1
4k
U n
2
U n
1
正演和反演是地球物理理论研究两大核心内容
3、唯一性定理：如果在空间中某一区域v内，各点的质量密 度和该区域边界面S上各点的势为已知时，那么这个区域内由 泊松方程求解的势是唯一的
§ 1.6 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程和拉普拉斯方程
因为
F 4k
F 0
而
F U
所以 F U 2U 4k
泊松方程 2U 4k
在直角坐标系中，
2U
2U x2
2U y 2
2U z 2
立体角
cos(n r )ds r2
ds' r2
d
N S F n ds kmS d km
当S为一闭合面时：
N
F n ds km
S
S
d
km
km
4 r2 r2
4 km（Q点在S面内部）
N
F n ds km
注：力不是质点本身而是它们的场的作用。（用场的观念去理解）
4、场强叠加原理
对于离散的质点系，由场强叠加原理有
n
F(r ) k
i 1
mi ri3
ri
对于体分布的质量，可将其视为一系列质点的叠加，把质
量体积V分成无数个dv，则 dm dv
(1)观察点P在质量体外
d
F
k
r r3
P
P
U (P) U () F dl F dl
场中任意P点的势等于将一单位质量从无限远处移至P点时 场力所作的功。
势的特点：
A、势的单值性
B、势的相对性
2、点质量的势 将点质量的场强代入势的定义中，即得点质量 m的场中任一点P点的势
P
P km
P km
U(P)
1
4k
2、引力场场强度切向 分量的连续条件
l F dl 0
F dl l
F2 l
F1 l
F2t F1t 0
F2t F1t 0
即
F1t F2t
此式表明：在任意曲面质量两侧，引力场场强度的切向分量 是连续的。
★例2 一均匀圆薄板的场强和势，面质量密度为
F k S
r
r3 ds
5、引力场分布的几何描述——引力场线
引力场线方程
F dl
0
(力线上的线元 dl
应该平行
F
)
引力场线分布
★例1 求薄球壳的场强
§ 1.2 引力场第一基本定律（场强度的通量和散度）
1、质点的场强通量
场强度F的通量是这样规定的，等于场强度的法线分量面积分
N S F n ds
4、场强度的旋度
F dl
F lim L S0 S
由斯托克斯定理得
( F) nds F dl 0
S
L
• 式中S是以回路L为周界的任意曲面。
rotF F 0
引力场的旋度等于零，即引力场是无旋的场。
5、 引力场的基本方程
引力场是无旋的场 rotF F 0
第一章 引力场
§ 1.1 万有引力定律与引力场强度
1、 万有引力定律
Z
万有引力定律表述式
f
12
k
m1m2 r3
r
k是引力常数，其值为 k 6.67108 cm3 g s2
f
12
k
m1m2 r3
r
万有引力定律表明，两个质点间的作用力大小与质点质量
之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线。
dm
k
r
r3
dv
对整个体积积分得
F k
V
r
r3
dv
思考：场强在X,Y,Z三轴上投影Fx，Fy，Fz分别为什么？
(2)观察点P在质量体内或边界上
P点周围一变域V0，径度为
去除奇点后V-V0则为P点外域，则场强度用 旁义（广义）积分定义：
r
F lim k dv
F dl
r3 r dl
r2
dr
或
U k m ,r 0 r
对于一质点组而言，场中任一P点的势
U k mi i ri
3、体质量分布的势
P点在质量分布区域外
U
k
V
dv
r
P点在质量分布区域内 U lim
k dv 旁义积分（收敛）
r 0 V V0
4、势的梯度与场强度的关系
两质点之间的作用力符合牛顿第三定律。
两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作 用在同一条直线上.力不能离开物体单独存在。
万有引力定律只能直接用于质点。所谓质点，是指当物 体的线度远小于它们之间的距离时，将其质量集中于一点的 理想化模型。
2、 引力场强度
用引力场强度来描述引力场。
定义：场中某点的场强度
L
rA
r
rA rB
式中rA、rB分别表示点质量m到路径L的起点A和终点B 的距离。
结论：该式表明点质量沿任意路径在引力场中作的功 与路径的起点和终点位置有关，而与路径的形状无关。
3、场强度的环流
L F dl 0
引力场的场强度的环流等于零，这就是引力场第二定律。 引力场第二定律实质上是能量守恒定律在引力场的特殊形 式。
引力场是有散的场，产生引力场的源是质量
divF F 4 k V dV
§ 1.4 引力场的势及梯度
1、势的定义
P
A F dl U (P) U (P0 )
P0
P
或 U (P) U (P0 ) F dl P0选取无穷远处为势为 零P
P
U (P) U () F dl F dl
设区域内解不唯一为u1和u2进一步在s面上为已知值且已知值只有一个所以s面上uu1u20所以u常数求解区域内当点由任意方向趋向s面时ucu边界0所以如果在空间中某一区域v内各点的质量密度和该区域边界面s上各点的场强度为已知时那么这个区域内由泊松方程求解的场强度是唯一的但势可以相差任一常数地球物理反演具有多解性
V
V
所以引力场场强的散度
F 4k
结论：场中每一点上场强度散度只与该点质量密度成比例， 引力场场源点在场强散度不为零之处。
§ 1.3 引力场第二基本定律（场强度的环流和旋度）
1、场力所作的功
对于单位质量，场力作的功为 dA F dl
当移动路径为L A F dl
F
等于一单位质点
在
该处所受到
的力。
F lim
f
m m0 0 0
特点：仅是坐标函数，与试探质点（质量很少，几何 尺度很小）无关。
3、 点质量场强度
由万有引力定律，在点质量m的场中与m相距r处，试探质点 m0 受
到的引力为
f
k
mm0 r3
r
f m0 F
F(r) k m r r3
S
S d km（1 2） （0 Q点在S面外部）
N S F n ds 4 km（高斯定理）
这就是引力场强第一定律（高斯定理），其含义为场强矢量F
对于任意一闭合面S的通量S等于S所包围质量的 4 k 倍。
2、任意分布质量场强通量
一组质点 其中
S F n ds 4 k mi i
[U' 2U ' (U ' )2 ]dv
U
'
U
'
ds
V
s n
进一步 (U ')2 dv U ' U ' ds
V
s n
在S面上为已知值，且已知值只有一个，所以S面上U’=U1-U2=0
所以 U ' U ' ds 0 则 (U ')2 dv 0 U ' 0
F Fi
i
体分布质量
m dV
V
V
代入高斯定理得
S F n ds 4 k dV
V
3、引力场的散度
散度的定义
F n ds
F lim S
V 0 V
根据散度定理： F dV s F nds 4k dV
或 F2n F1n 4k
n (F2 F1) 4k
或 F2n F1n 4k
在面质量两边相邻两点上的场强矢量F的法线分量发生一突变，
其值等于面质量密度的 4k 倍
引力场法向分量的边界条件用引力势可表示为
U n
2
U n
表示球心位于原点的球面方程式，因此点质量周围场 中的等势面为以该质点为中心的球面。
§ 1.5 引力场场强通过面分布的连续性
1、引力场场强法向分量的连 续条件
F2
S F dS 4k m
S F dS F2 nS (F1 n)S N侧
m S
F1
n (F2 F1) 4k
L
2、功与路径无关 对一质点m的场来说
F
k
m r3
r
F
dl
k
m r3
r
dl
k
m cos dl
r2
因为 cos dl dr
F
dl
k
m r2
dr
d ( km) r
A F dl rB d(km) km( 1 1 )
r 0 V V0
3
可以证明若 ( ,, ) 为连续函数，上式为一收敛性之旁义积分。
结论：无论P点在质量分布区以外或以内，只要 ( ,, ) 为一连续函数，
P点的场强总可以用寻常积分或由旁义积分来表示，而旁义积分的极限值完 全和寻常积分相同。
同理，面质量产生的引力场强度为
证明（反证法）：假设满足上述条件的解不是唯一的，而是有两组解 U1和U2,只要证明U1=U2即可。
设区域内解不唯一为 U1和 U2, U’=U1-U2, U1和U2都满足泊松方程，则
2U1 4k，2U1 4k，2U’ 0
A dv A nds 设 A UgradV UV (U , V 为 v内S上任意两个连续函数） s V
A (UV ) U2V U V A n UV n U V n
[U 2V U V ]dv U V ds
V
s n
[U 2V U V ]dv U V ds
V
s n
因为U,V是任意函数，设U=V=U’
例题 求一点质量场的等势面
设点质量位于直角坐标系原点（0，0，0），则它在 任意点P(x,y,z)的势：
U k m
km
r
x2 y2 z2
等势面时其方程为
U
km
C
x2 y2 z2
U
km
C
x2 y2 z2
因而等势面的方程式为
x2 y2 z2 (Ckm)2 C12
将一点质量的场强度公式代入上式，即得
N
S
F n ds
km
S
rn r3
ds
km
S
cos(n r2
r
)
ds
规定立体角的正负号如下：如果从角点看到的是ds的内 侧，则为正，相反为负。
质点的场强通量
N
km
S
cos(n r ) r2 ds
4k
若讨论的区域ρ=0（没有质量分布）， 则泊松方
程变为拉普拉斯方程
2U 0
2、引力场的边值问题
A、正演问题：已知体密度和面密度时，可根据边界条 件对泊松方程和拉普拉斯方程求解，确定出场的势，进
而求出场强。 2U 4k
B、反演问题：已知场的势或场强时，可根据泊松方程 来确定场中某点的体质量密度及面质量密度。
U (x, y, z) c(常数)
dU 0
即等势面上任意两点间的势差为零。
而 dU U dx U dy U dz U dl
x
y
z
U dl 0
U dl 0
U 0 dl 0
所以 U与dl 垂直
所以在任意点的F恒与通过该点的等势面垂直，即 力线与等势面正交。
Fx
U x
, Fy
U y
, Fz
U z
.
• 根据梯度定义
gradU U i U j U k U x y z
•我们有
F gradU U
• 引力场中任一点的场强F等于该点的势的梯度
5、等势面
凡势之值相等的各点所构成的曲面称为等势面。
B
A
B
UB U A
F dl
F dl
F dl
A
当B无限靠近A时，此增量可写成一微分
dU F dl Fldl
dU F dl Fldl
• 根据全微分定义
dU U dx U dy U dz
x
y
z
F dl (Fx i Fy j Fz k) (dxi dy j dzk) Fxdx Fydy Fzdz
1 2U 4k
1
4k
U n
2
U n
1
正演和反演是地球物理理论研究两大核心内容
3、唯一性定理：如果在空间中某一区域v内，各点的质量密 度和该区域边界面S上各点的势为已知时，那么这个区域内由 泊松方程求解的势是唯一的
§ 1.6 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程和拉普拉斯方程
因为
F 4k
F 0
而
F U
所以 F U 2U 4k
泊松方程 2U 4k
在直角坐标系中，
2U
2U x2
2U y 2
2U z 2
立体角
cos(n r )ds r2
ds' r2
d
N S F n ds kmS d km
当S为一闭合面时：
N
F n ds km
S
S
d
km
km
4 r2 r2
4 km（Q点在S面内部）
N
F n ds km
注：力不是质点本身而是它们的场的作用。（用场的观念去理解）
4、场强叠加原理
对于离散的质点系，由场强叠加原理有
n
F(r ) k
i 1
mi ri3
ri
对于体分布的质量，可将其视为一系列质点的叠加，把质
量体积V分成无数个dv，则 dm dv
(1)观察点P在质量体外
d
F
k
r r3
P
P
U (P) U () F dl F dl
场中任意P点的势等于将一单位质量从无限远处移至P点时 场力所作的功。
势的特点：
A、势的单值性
B、势的相对性
2、点质量的势 将点质量的场强代入势的定义中，即得点质量 m的场中任一点P点的势
P
P km
P km
U(P)
1
4k
2、引力场场强度切向 分量的连续条件
l F dl 0
F dl l
F2 l
F1 l
F2t F1t 0
F2t F1t 0
即
F1t F2t
此式表明：在任意曲面质量两侧，引力场场强度的切向分量 是连续的。
★例2 一均匀圆薄板的场强和势，面质量密度为
F k S
r
r3 ds
5、引力场分布的几何描述——引力场线
引力场线方程
F dl
0
(力线上的线元 dl
应该平行
F
)
引力场线分布
★例1 求薄球壳的场强
§ 1.2 引力场第一基本定律（场强度的通量和散度）
1、质点的场强通量
场强度F的通量是这样规定的，等于场强度的法线分量面积分
N S F n ds
4、场强度的旋度
F dl
F lim L S0 S
由斯托克斯定理得
( F) nds F dl 0
S
L
• 式中S是以回路L为周界的任意曲面。
rotF F 0
引力场的旋度等于零，即引力场是无旋的场。
5、 引力场的基本方程
引力场是无旋的场 rotF F 0
第一章 引力场
§ 1.1 万有引力定律与引力场强度
1、 万有引力定律
Z
万有引力定律表述式
f
12
k
m1m2 r3
r
k是引力常数，其值为 k 6.67108 cm3 g s2
f
12
k
m1m2 r3
r
万有引力定律表明，两个质点间的作用力大小与质点质量
之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线。
dm
k
r
r3
dv
对整个体积积分得
F k
V
r
r3
dv
思考：场强在X,Y,Z三轴上投影Fx，Fy，Fz分别为什么？
(2)观察点P在质量体内或边界上
P点周围一变域V0，径度为
去除奇点后V-V0则为P点外域，则场强度用 旁义（广义）积分定义：
r
F lim k dv
F dl
r3 r dl
r2
dr
或
U k m ,r 0 r
对于一质点组而言，场中任一P点的势
U k mi i ri
3、体质量分布的势
P点在质量分布区域外
U
k
V
dv
r
P点在质量分布区域内 U lim
k dv 旁义积分（收敛）
r 0 V V0
4、势的梯度与场强度的关系
两质点之间的作用力符合牛顿第三定律。
两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作 用在同一条直线上.力不能离开物体单独存在。
万有引力定律只能直接用于质点。所谓质点，是指当物 体的线度远小于它们之间的距离时，将其质量集中于一点的 理想化模型。
2、 引力场强度
用引力场强度来描述引力场。
定义：场中某点的场强度
L
rA
r
rA rB
式中rA、rB分别表示点质量m到路径L的起点A和终点B 的距离。
结论：该式表明点质量沿任意路径在引力场中作的功 与路径的起点和终点位置有关，而与路径的形状无关。
3、场强度的环流
L F dl 0
引力场的场强度的环流等于零，这就是引力场第二定律。 引力场第二定律实质上是能量守恒定律在引力场的特殊形 式。
引力场是有散的场，产生引力场的源是质量
divF F 4 k V dV
§ 1.4 引力场的势及梯度
1、势的定义
P
A F dl U (P) U (P0 )
P0
P
或 U (P) U (P0 ) F dl P0选取无穷远处为势为 零P
P
U (P) U () F dl F dl
设区域内解不唯一为u1和u2进一步在s面上为已知值且已知值只有一个所以s面上uu1u20所以u常数求解区域内当点由任意方向趋向s面时ucu边界0所以如果在空间中某一区域v内各点的质量密度和该区域边界面s上各点的场强度为已知时那么这个区域内由泊松方程求解的场强度是唯一的但势可以相差任一常数地球物理反演具有多解性
V
V
所以引力场场强的散度
F 4k
结论：场中每一点上场强度散度只与该点质量密度成比例， 引力场场源点在场强散度不为零之处。
§ 1.3 引力场第二基本定律（场强度的环流和旋度）
1、场力所作的功
对于单位质量，场力作的功为 dA F dl
当移动路径为L A F dl
F
等于一单位质点
在
该处所受到
的力。
F lim
f
m m0 0 0
特点：仅是坐标函数，与试探质点（质量很少，几何 尺度很小）无关。
3、 点质量场强度
由万有引力定律，在点质量m的场中与m相距r处，试探质点 m0 受
到的引力为
f
k
mm0 r3
r
f m0 F
F(r) k m r r3
S
S d km（1 2） （0 Q点在S面外部）
N S F n ds 4 km（高斯定理）
这就是引力场强第一定律（高斯定理），其含义为场强矢量F
对于任意一闭合面S的通量S等于S所包围质量的 4 k 倍。
2、任意分布质量场强通量
一组质点 其中
S F n ds 4 k mi i
[U' 2U ' (U ' )2 ]dv
U
'
U
'
ds
V
s n
进一步 (U ')2 dv U ' U ' ds
V
s n
在S面上为已知值，且已知值只有一个，所以S面上U’=U1-U2=0
所以 U ' U ' ds 0 则 (U ')2 dv 0 U ' 0
F Fi
i
体分布质量
m dV
V
V
代入高斯定理得
S F n ds 4 k dV
V
3、引力场的散度
散度的定义
F n ds
F lim S
V 0 V
根据散度定理： F dV s F nds 4k dV
或 F2n F1n 4k
n (F2 F1) 4k
或 F2n F1n 4k
在面质量两边相邻两点上的场强矢量F的法线分量发生一突变，
其值等于面质量密度的 4k 倍
引力场法向分量的边界条件用引力势可表示为
U n
2
U n
表示球心位于原点的球面方程式，因此点质量周围场 中的等势面为以该质点为中心的球面。
§ 1.5 引力场场强通过面分布的连续性
1、引力场场强法向分量的连 续条件
F2
S F dS 4k m
S F dS F2 nS (F1 n)S N侧
m S
F1
n (F2 F1) 4k
L
2、功与路径无关 对一质点m的场来说
F
k
m r3
r
F
dl
k
m r3
r
dl
k
m cos dl
r2
因为 cos dl dr
F
dl
k
m r2
dr
d ( km) r
A F dl rB d(km) km( 1 1 )
r 0 V V0
3
可以证明若 ( ,, ) 为连续函数，上式为一收敛性之旁义积分。
结论：无论P点在质量分布区以外或以内，只要 ( ,, ) 为一连续函数，
P点的场强总可以用寻常积分或由旁义积分来表示，而旁义积分的极限值完 全和寻常积分相同。
同理，面质量产生的引力场强度为
证明（反证法）：假设满足上述条件的解不是唯一的，而是有两组解 U1和U2,只要证明U1=U2即可。
设区域内解不唯一为 U1和 U2, U’=U1-U2, U1和U2都满足泊松方程，则
2U1 4k，2U1 4k，2U’ 0
A dv A nds 设 A UgradV UV (U , V 为 v内S上任意两个连续函数） s V
A (UV ) U2V U V A n UV n U V n
[U 2V U V ]dv U V ds
V
s n
[U 2V U V ]dv U V ds
V
s n
因为U,V是任意函数，设U=V=U’
例题 求一点质量场的等势面
设点质量位于直角坐标系原点（0，0，0），则它在 任意点P(x,y,z)的势：
U k m
km
r
x2 y2 z2
等势面时其方程为
U
km
C
x2 y2 z2
U
km
C
x2 y2 z2
因而等势面的方程式为
x2 y2 z2 (Ckm)2 C12
将一点质量的场强度公式代入上式，即得
N
S
F n ds
km
S
rn r3
ds
km
S
cos(n r2
r
)
ds
规定立体角的正负号如下：如果从角点看到的是ds的内 侧，则为正，相反为负。
质点的场强通量
N
km
S
cos(n r ) r2 ds
4k
若讨论的区域ρ=0（没有质量分布）， 则泊松方
程变为拉普拉斯方程
2U 0
2、引力场的边值问题
A、正演问题：已知体密度和面密度时，可根据边界条 件对泊松方程和拉普拉斯方程求解，确定出场的势，进
而求出场强。 2U 4k
B、反演问题：已知场的势或场强时，可根据泊松方程 来确定场中某点的体质量密度及面质量密度。
U (x, y, z) c(常数)
dU 0
即等势面上任意两点间的势差为零。
而 dU U dx U dy U dz U dl
x
y
z
U dl 0
U dl 0
U 0 dl 0
所以 U与dl 垂直
所以在任意点的F恒与通过该点的等势面垂直，即 力线与等势面正交。