几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换

g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
1
Rz
ห้องสมุดไป่ตู้
Req1z,
1 1
w2
z
Im
qz
先求w0’ qc
qB
Aq0 Cq0
B D
或者
qB
AqA CqA
B D
wc
1 1 F
q0 if
01 l 10 1
f w02
w0
w0 wc
l
l qA qB
lc
if l
lF l f 2 ifF
qB
y
x
z
k1
k2
f
k3
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线
对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其
焦距
fx
f
cos
R cos
2
对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线
（弧矢光线），其焦距
fy
f
cos
R
2 cos
高斯光束通过光学元件的变换
高斯函数
r2
e w2 (z)
二、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式
C2r0*e js
如果为实数，则能保证rs为有限值
要求1
A
D
2
0
1 cos A D 1
2
2
将A, D表示式代入:
A D 2 4
1 4
1
L f2
L f1
1
L f2
1
L f1
2
共轴球面腔的 稳定性条件
1
L 2 f1
L 2 f2
L2 4 f1 f2
1
L 2 f1
1
L 2 f2
A D 1 L
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
中的参数rmax、
课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:
Tn
A C
Bn D
1
sin
A sin
n sinn
C sin n
1
rnn T n r11
D
sin
B sin n
n sinn
1
其中 arccos 1 A D
2
可求得rn,n
总结： 1、反射镜R符号规定： •凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0； •凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。 2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0） 无关； 3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。
薄透镜与球面反射镜等效
f2
f1 1 f2
f1
f2
f1
f2
f1
r0 ,0
2
r1,13
L
往返周 期单位
f1
R1 2
f2
R2 2
r11
1
1 f1
0 1
1 0
L
1
1 1
f2
T
A C
B D
1
1 f1
0 1
1 0
A 1 L f2
0 1
1 0
L
1
r00
A C
B D
r00
T
r00
L
1
1 1
f2
0 1
1 0
0时，q(z) R(z)，波动光学几何光学
三、ABCD矩阵应用（1）－高斯光束通过透镜的变换
w0
w0 wc 已知：w0, l, F
l
求：通过透镜后lc处，高斯光束
l qA qB
lc
参数wc, Rc
关键
方法:由ABCD公式 qB
qB
iwo2
l
ReqB l',ImqB w0
z=0 q0= if f = w02/ B处 1/qB = 1/qA- 1/F
n2
n1 n2
0
1 0 Tn1n2 0 n1 n2
4. 薄透镜传输矩阵
r, r,
r r r l r l
r 1 1 r 1
l
l
l l f
f
r r
1 0
1 r f
Tf
1
f
1
5.球面镜反射矩阵
r,
r r
r,
2
R
r CA
L R1
1
L R2
1
球面腔稳定性条件
w0
w0 wc
l
l qA qB
lc
l
F
l F F l F 2
2
f
2
w02
F
w02 F 2
l 2
f
2
F 12l1lf22
l' l
w02
w02
F
1 2
l1
f2 l2
1 2
l
1
w02 l
2
1 2
Rl
2、球面反射镜实现自在现变换
FR 2
3、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
几何光学: l=F l’= (平行光)无实象
w0
w0 wc
3. l < F
0 l F
仍有实象
l
l=0
几何光学: l < F 虚像
l qA qB
lc
四、ABCD矩阵的应用（2）－高斯光束的自再现变换
w0 ' l'
l
w0
2.12.1
or qC lc l q0 2.12.2
1、利用透镜实现自再现变换
2(
A
2
D
)rs
1
rs
0
不稳定 rmax
往返周 期单位
S-4 S-3 S-2 S-1 S
稳定
S+1 S+2 S+3
设 rs r0 e j s r0e js
rs2
2(
A
2
D
)rs1
rs
0
r0e
js
e
j 2
2
A
2
D
e
j
1
0
e j
A D 2
j 1
A
D
2
1
2
2
rs
C1r0e js
B D
r
2 r 2 r
R
R
1
TR
2
R
0 1
1 1
f
0 1
f R 2
薄透镜与球面反射镜等效
6. ABCD矩阵的应用 － 球面镜腔
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r0 ,0 1
2
r1,1 3
r11 TR1TLTR2TL r00
T
r00
A C
B D
r00
1
if
l1
F
F l 2 f 2
F
1 0 1 F 1
qA if l
qB
i
w02
l
ImqB
w02
ReqB l'
l
F
l F F l F 2
2
f
2
w02
F
w02F 2
l 2
f
2
w0
F
w0 l F 2 f 2
讨论: 高斯光束成象与几何光学成象规律的比较
1. l >> F 即有 ( l - F )2>>f 2 和几何光学成象规律相同
1 11 R2 R1 F
高斯光束
R1 R2
q1 q2
11 q2 R2 i w22
1 1 1 R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
3. 光学系统－传输矩阵为
A C
B D
的光学系统
1
2
R2
R1
r22
A C
B D
r11
球面波
r2 Ar1 B1 2 Cr1 D1
近轴光 ,
L
L
f1
f2
f1
T
A C
B D
1
1 f1
0 1
1 0
L
1
1 1
f2
0 1
1 0
L
1
A 1 L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
B
L 2
L f2
D
L f1
1
L f1
1
L f2
A C
B D
1
L f2 1 f1
1 f2
1
L f1
L 2
L f2
L f1
1
L f1
1
q参数经过等效一周期透 镜序列后变为
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
g1g2
1 4
1
r0
p
f
T1
1
L f
1 f
L 2
L f
,
1 L f
A D 1 L
2
f
L 2
R
p 1
T2
1
2L
f 1
2L ,
1
r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
•高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同
自由空间 透镜
R2 R1 L
1 11 R2 R1 F 球面波
q2 q1 L 1 11 q2 q1 F
高斯光束
q2
Aq1 Cq1
B D
－ABCD公式
1
qz
1
Rz
i
w2 z
l
F
l F F2 l F 2 f
2
F
F2 lF
l
lF
F
1 1 1 l l F
腰斑放大率 K w0
F
F l
w0 l F 2 f 2 l F l
2. l = F 时 l F
f w02
w02
F
w02F 2
l2
f
2
lF
w02
w02 F 2 f2
w0 F w0
和几何光学成象规律不同
>0 < 0 <0
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
TL
1 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r
A C
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
r0
1.自由空间
球面波
R1 z1, R2 z2
R2 R1 z2 z1 R2 L
R2 R1 L
高斯光束
q1 q0 z1 两式相减 q2 q0 z2
q2 q1 L
2.薄透镜(透镜焦距为F）
球面波
R1 R2 S1
S2 1 1 1
l1 l2 F
l1
l2
物距 像距 焦距
近轴情况 R1 l1, R2 l2 发散(+) 会聚(-)
L f2
q
L
f1
q
f2
Aq Cq
L
B D
f1
对于自再现模有 q q
Cq2 D Aq B 0
1
qz
1
Rz
i
w2 z
AD BC 1
q
AD
2C
A D 2C
2
1 C2
当Im q 0时可得到一实的光斑半径wz为保证q参数有虚部，
要求
A
D
2
1
2
0
1
L 2 f1
1
L 2 f2
1即
0
1